指数型复合函数的单调性
指数型复合函数的单调性(对象：高一学生60-80分)
学习目标：1.理解复合函数的定义。
2.会判断指数型复合函数的单调性。(主要是两种类型y=(x)f a 和y=f(x a )）
重难点：指数型复合函数的单调性。
内容要点：
1.复合函数的定义。
设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为
中间变量（内函数），y 为因变量（外函数）。例如y= 2x 412x +?? ???
这样的函数我们称为复合函
数，因为含有指数函数，叫指数型复合函数。
2.接下来，我们回顾一下一些初等函数的单调性。
（1）f(x)=24x x + 增区间[-2,+∞), 减区间（-∞，-2） （2）f(x)=2
23x x -- 增区间[1,+∞), 减区间（-∞，1）
(3) f(x)=2x 增区间[-∞,+∞]
3.那么指数型复合函数单调性如何判断？
例1. 判断y=2412x x +?? ???单调性。
解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R
设u=2x 4x +,y=12u ?? ??? (将原函数分解为内函数和外函数)
由u=2x 4x +=2
(x 2)4+-知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=12u
?? ???为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞） （根据“同增异减”得出单调区间）
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x的限制，然后解不等式，求并集。第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。
练习1.（1）函数y=
21
1
2
x-
??
?
??的单调递增区间为（A）
A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)
（2 ) 函数y=
2
(x3)
2+的单调递增区间[-3,+∞)
(3) 函数f(x)=32x-在（-∞,0]上的单调性是（B）
A增函数B减函数C常函数D不具有单调性
例2求函数y=
232(a1)
x x
a-++>
解：复合函数定义域为R
设u(x)=-2x+3x+2=-
2
317
24
x
??
-+
?
??,易知u（x）在（-∞，
3
2]上是增函数，在(
3
2+∞上是减
函数.
当a>1时，y为增函数
∴原函数在（-∞，3
2]是增函数，在(
3
2,+∞)上是减函数。
练习 2.求y=
223
2x x
-++
的单调区间
在[-1,1)上单调递增，在[1,3]上是单调递减。
总结y=
(x)
f
a（t=f（x））的单调性的一般规律
当a>1时，y=t a是单调递增的
f(x)的增区间就是原函数的增区间，f(x)的减区间就是原函数的减区间
（2）当0 f （x ）的增区间就是原函数的减区间 f(x)的减区间就是原函数的增区间。 4.下面来看函数y= (a )x f 的单调性. 例3.求函数y=21223x x +-+的单调区间 解：y=21223x x +-+= x 2x 22232x -?+=+（2）（2-1） 设t=2x 则t>0 当t ≥1时，y=2(t 1)2-+在[1,+∞)上为增函数。 2x ≥1,即x ≥0 ，而2x 在[0,+∞)上为增函数 由复合函数的单调性的判定方法知原函数在[0,+∞)上为增函数， 同理原函数在（-∞,0]上为减函数。 练习3.求函数y=x 112 42x ????-- ? ?????的单调性 解：y=x 11242x ????-- ? ?????=211222x x ??????--?? ? ?????????=2 119224x ????--?? ??????? 设t=12x ?? ???,则t>0 当t ≥12时，y=2 119224x ????--?? ?????? ?在[12,+∞)上为增函数， 12x ?? ???≥12即x ≤1,12x ?? ???在（-∞,1]上减函数 由复合函数的单调性判定方法知原函数在（-∞,1]上为减函数。 同理 原函数在（1，+∞）上为增函数。 课后习题： 判断下列指数型复合函数的单调性 1.y=2x 2313x --?? ??? 2.y=212x +?? ??? 3.y=227x x - 4.y=24112x x -+?? ??? 5.y=221x x a a +-(a>0,a ≠1) 6.y=222x x a ++(-2≤x ≤2) 7.y=1224x x +- 函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+ （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 同时a等于0函数无意义一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b) （8）显然指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 底数的平移： 对于任何一个有意义的指数函数： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 即“上加下减，左加右减” 底数与指数函数图像： （1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。 （2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。 （3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 幂的大小比较： 比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。 比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1. （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1. （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如： <1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。 函数单调性的应用 一、比较大小 例1 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小. 解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2， ∴f (－1)＝f (5). ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (2) (3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错. 三、求参数的值或取值范围 例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围. 解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1 指数函数 1．指数函数の定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 の图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且の图象和性质。 a>1 0 ()x f c の大小关系是_____． 分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x の取值围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数の值域是[)01， ． 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 对数函数的单调性及其性质 一、相关内容 1、当0 2、选择题 1) 若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．1 2lg 2x x x >> 2) 若b a ,是任意实数,且b a >，则（ ） A 22b a > B 1-b a D b a ??? ??0 B ．a 1－a >1 C ．log a (1－a )<0 D ．(1－a )2>a 2 6) 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 7) 已知log 12b 《指数型复合函数单调性》进阶练习 一，选择题 1.若函数y=（2a-1）x 在R 上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A.a ＞1 B. C.a≤1 D. 2.函数21()3x y =的值域是（ ） A.（0，+∞） B.（0，1） C.（0，1] D.[1，+∞） 3.函数 11 ()2x y -=的值域是（ ） A.（0，+∞） B.（-1，+∞） C.（1，+∞）． D.（-1，1） 二，填空题 4.设指数函数()(1)x f x a =-是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ______ ． 5.不等式的解为 ______ ． 参考答案 1.B 2.C 3.A 4.1＜a＜2． 5.（-∞，-1]． 解析： 1.解： 函数y=（2a-1）x在R上为单调减函数， ∴0＜2a-1＜1解得＜a＜1 故选 B 指数函数y=a x，当0＜a＜1时为定义域上的减函数，故依题意只需0＜2a-1＜1，即可解得a 的范围 本题主要考查了指数函数的单调性，通过底数判断指数函数单调性的方法，属基础题 2. 解： 由题意令t=x2≥0∴y=≤=1∴0＜y≤1故选C 本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可． 本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质． 3. 解： ∵1-x∈R ∴， 故函数的值域为（0，+∞） 故选A. 先根据1-x∈R结合指数函数的性质，进而求得函数的值域． 本题主要考查了函数的值域．作为函数的基础题型，应掌握一些求函数定义域和值域的方法． 函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“ 2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往 往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； 若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3 导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 浅说指数函数单调性证明的理论依据 巴中市第五中学 王晓军 在人教版高中数学第一册（上）中，根据指数函数的图像归纳出了指数函数的单调性。在教师教学用书中，以“当1>a 时,若0>x ，则1>x a ；当10<x ，则10< 指数函数的概念及其性质 一、单选题(共11道，每道9分) 1.若函数满足，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算 2.若函数是指数函数，则的值为( ) A.2 B. C. D.-2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算 3.函数的定义域是( ) A.(-∞，2] B.["0，2"] C.(-∞，2) D.(0，2] 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的定义域 4.函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域 5.若，则函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域 6.若函数的图象恒过定点(1，2)，则b的值 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 7.不论a是何值，函数恒过一定点，这个定点坐标是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 8.若函数的图象在第一、三、四象限，则有 A.， B.， C.， D.， 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 9.函数在上是( ) A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 10.函数在上的最小值为( ) A.-1 B.0 C.2 D.10 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 11.已知函数，，若有，则b的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数综合题 指数函数和函数单调性以及集合的练习题 选择题： 1.（2010届·广东高三六校联考（理））1．已知集合，，则集合 （ ） A ． B ． C ． D ． 2.在下列对应关系中，哪些能构成A 到B 的映射？, 3．若A ＝{1，3，x }，B ＝{x 2，1}，且B A ，则这样的x 的值有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.函数y ＝1x ＋1 的定义域是 …………………………………( ) ［－1，＋∞ ［－1,0) －1，＋∞ －1,0) 5．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 6．设f (x )＝|x －1|－|x |，则f [f ()]＝ （ ） A ． － B ．0 C ． D ．1 7..已知f(x)＝1x 2－1 ，g(x)＝x ＋1，则f(g(x))的表达式是…………………… ( ) 1x 2＋2x x 2 x 2－1 x 2x 2＋2x 1x 2－1 8.函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞ 9.（2005福建理5）函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><5 1 11.函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、2,则#A B 为（ ）. A. {}|02x x << B.{}|12x x <≤ C.{}|012x x x ≤≤≥或 D.{}|012x x x ≤≤>或 填空题： 13.对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 14.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是 ，值域是 . 15.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 函数单调性的应用 授课人：刘晓健 教学内容：函数单调性的应用 教学目的：利用单调性解决二次函数最值，含参数的函数问题，及解决抽 象函数问题。 教学重点：含参数问题的讨论，抽象函数问题。 教学难点：单调性的综合应用。 教学过程： 一 ．教材预知 1. 用定义证明函数单调性的步骤是（1） ，（2） ， （3） ，（4） ，（5） 。 2. 若函数y=f(x)在某区间上是增（减）函数，则y=- f(x)在这个区间上为 函数；若函数y=f(x) 和 y=g(x)在某个公共区间上都是增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在这个区间上是 函数。 3. 若函数y=f(x) 在闭区间[a, b]上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值，当 f(x)在[a, b]上递增时，y max = ,y min = ;当f(x)在[a, b]上递减时, y max = ,y min = 。 二．基础自测 1. 已知f(x) , g(x)定义在同一区间上，f(x)是增函数，g(x)是减函数，且g(x)≠0，则（ ） A. f(x) + g(x) 为减函数 B. f(x) - g(x)为增函数 C ．f(x)·g(x)是减函数 D. f(x) g(x) 是增函数 2. 函数y=f(x) 在R 上单调递增，且f(m 2)>f(-m)，则实数m 的取值范围是（ ） A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) C.(-1,0 ) D. (-∞,-1 )∪( 0,+∞) 3.已知x ∈[0,1]，则函数y=2x+2-1-x 的最大值为 ，最小值 为 。 三．例题精选 类型一 函数的最值问题 例1：函数f(x)= ax 2-2ax+2+b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a, b 的值. 解题过程（略） 点评：二次函数在某个区间[a ,b]上的最值只可能在两个端点或顶点处取得。 即时突破：已知函数f(x)= -4x 2+4ax-4a-a 2在[0,1]内有最大值-5，求a 的值。 类型二 已知单调性求参数值或取值范围 例2：已知函数f(x)=x-a /x+a /2在( 1,+∞)上是增函数，求实数a 的取值范围。 解题过程（略） 点评：已知函数f(x)在区间A 上是增（减）函数，确定某个与该函数有关的参数值或取值范围问题，基本思路是：（1）设x 1 指数函数单调性考法题型 题型一 比较指数式的大小 【典例1】 (2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b 0的解集为________． 【解析】 ∵f (x )为偶函数， 当x ＜0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4. ∴f (x )＝? ???? 2x －4， x ≥0，2－x －4，x ＜0， 当f (x －2)＞0时，有????? x －2≥0，2x －2－4＞0或????? x －2＜0，2－x ＋2－4＞0， 解得x ＞4或x ＜0. ∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}． 【答案】 {x |x >4或x <0} 【解题技法】简单的指数方程或不等式问题的求解策略 (1)a f (x )＝a g (x )?f (x )＝g (x )． (2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0 函数x x y ln =的单调性及其应用 1 函数x x y ln = 的单调性及其相应的结论 用导数可证得： 定理1 (1)函数x x y ln = 在),e [],e ,0(+∞上分别是增函数、减函数(其图象如图1所示). 图1 (2)②当e b a ≤<<0时，a b b a <； ②当b a e <≤时，a b b a >； ③当10≤时，a b a b a b b a b a b a >=<,,均有可能． 2 定理1的应用 2.1 推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论 高考题1 (2014年高考湖北卷第22题)π为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数x x x f ln )(= 的单调区间； (2)(文)求3 e e 3 ,3,,e ,3,e ππππ这6个数中的最大数与最小数； (理)将3 e e 3 ,3,,e ,3,e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 下面给出这道高考题的解法． 解 (1)增区间为(0,e)，减区间为),e (+∞． (2)(文)由(1)的结论还可证得结论：当b a <≤e 时，a b b a >． 由此结论，得3e e 33,e ,3e ππππ>>>． 又由幂函数、指数函数的单调性，得e e 333,e e 3>>>>ππππ． 所以所求最大数与最小数分别是e 3,3π． (由此解法还可得结论：若e a b c ≤<<，则,,,,,b a c a c b a b a c b c 中的最大者、最小者分 别是,c a b b ．) (理)由(1)的结论可得e)0(e 1ln << 指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>? ?≤??x x 时，a 恒等于，时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠? 且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； （2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ． 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）4x y =；（2）4 y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且；（6）4x y -=． 分段函数单调性及其应用 基本理论 函数???>≤=a x x f a x x f x f ),(,),()(2 1在R 上单调递增，则)(x f 满足两个条件： （1） )(1x f 在],(a -∞上单调递增，)(2x f 在),(+∞a 上单调递增； （2） ).()(21a f a f ≤ 数学应用 1.(直接应用）已知???≥<+-=1, log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是________________. ` 变式拓展：若函数x a x x x f 2)(+-=在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 已知函数.,1)(2 R a a x x x f ∈+-+=求)(x f 得最小值. 【 2（从反方向角度考查） 设? ??>-≤+-=,1,1,1,)(2x ax x ax x x f 若存在2121,,x x R x x ≠∈，使得)()(21x f x f =成立，求实数a 的取值范围. · 3（从数列问题函数化角度考查） 设数列)(7, ,7,4)2(*N n n a n n n a a n ∈?? ?<+≥++-=是递增数列，则实数a 的取值范围是_______________. 4.（从“间断点”处回归函数考查） 已知函数)(0,)3()4(,0),1()(22222R a x a x a a x x a k x k x f ∈?????<-+-+≥-+=.若对任意的非零实数1x ，都存在唯一的非零实数2x ，使得)()(21x f x f =成立，求实数k 的取值范围. 第四课时 指数函数的定义域与值域以及单调性 主备人 张岳超 校对 年级主任 孙重社 备课组长 张建民 课题 指数函数的定义域与值域以及单调性 课时 考纲要求 掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识. 学习重点 掌握指数函数的性质及应用. 学习难点 理解指数函数的简单应用模型． 填空 1.形如)(x f a y =的函数的定义域是使)(x f 有意义的x 的集合. 2.形如) (x f a y =的值域都是先求出)(x f 的值域，再有单调性得出) (x f a y =的值域，若 1,0≠>a a 且，要对a 进行分类讨论. 例1 求函数1 1 5 -=x y 的值域 解： 01 1 ≠-x .1511 ≠∴-x ， }{ 10≠>∴y y y 且值域为. 练习： 求下列函数的值域 （1）x x y 22)31(-= （2）1 21 2+-=x x y （3）x x y 422 --= （4）1329-?+=x x y （5）x y -=3) 3 1( 指数函数单调性的应用 一、 幂的大小比较 （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； 例1 14 .33 3与π 解：构造函数x y 3= ∴>=,13a x y 3=在），（∞+∞-上是增函数 14.33314.3>∴>ππ 练习： 比较4 3 41 -)3 2(32-与）（的大小 （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断. 例2 5 .05.035.0与）（的大小 x a y = 在y 轴右侧，底大图高，所以5.05.035.0< 练2：比较41 -41 -55 1与）（的大小 （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较 例3 比较的大小与5 .06.06.05.0 解：因为上是减函数，在R y x 5.0=所以5.06 .05.05.0<.又因为x a y = 在y 轴右侧，底大 图高，所以5.06 .06.05 .0< 练3：比较3 .01 .09 .04.1与的大小 （4）对于三个（或三个以上）的幂的大小比较，则应先根据值的大小进行分组，再比较各组数的大小即可. 例4 比较21 332314 332-234），（），（，）（的大小.2函数的单调性及其应用高三复习专题
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