4.8正多边形的概念以及正多边形与圆的关系(2015年)

1. (2015 湖北省随州市) 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）

A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°

答案：A

2. (2015 浙江省金华市) 如图，正方形ABCD和正三角形

AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则EF

GH

的值是

A. 6

B. 2

C. 3

D. 2

答案：

答案C.

考点正方形和等边三角形的性质；圆周角定理

；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，特殊元素法的应用.

分析如答图，连接AC,EC，AC与EF交于点M.

则根据对称性质，AC 经过圆心O ，

∴AC 垂直 平分EF ，01EAC FAC EAF 302∠=∠=∠=. 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则AC 22=.

∵AC 是⊙O 的直径，∴0AEC 90∠=.

在Rt ACE ?中，3AE AC cos EAC 2262

=?∠=?=， 1CE AC sin EAC 2222

=?∠=?=. 在Rt MCE ?中，∵0FEC FAC 30∠=∠=，∴12CM CE sin EAC 222

=?∠=?

=. 易知GCH ?是等腰直角三角形，∴GF 2CM 2==.

又∵AEF ?是等边三角形，∴EF AE 6==. ∴EF 63GH 2

==. 故选C .

3. (2015 四川省眉山市) 已知⊙O 的内接正六边形周长为12cm ，则这个圆的半经是_________cm ．

答案：

分析：首先求出∠AOB=×360°，进而证明△OAB 为等边三角形，问题即可解决．

解答：解：如图，

∵⊙O 的内接正六边形ABCDEF 的周长长为12cm ，

∴边长为2cm ，

∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB ，

∴△OAB 为等边三角形，

∴OA=AB=2，

即该圆的半径为2，

故答案为：2．

点评：本题考查了正多边形和圆，以正多边形外接圆、正多边形的性质等几何知识点为考查的核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是关键．

4. (2015 四川省达州市) 】．已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为cm．

答案：】．

分析：根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可．

解答：解：如图所示，

连接OA、OB，过O作OD⊥AB，

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠OAD=60°，

∴OD=OA?sin∠OAB=AO=，

解得：AO=2．．

故答案为：2．

点评：本题考查的是正六边形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

5. (2015 四川省成都市) 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）

A．2，B．2，πC．，D．2，

答案：

分析：正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．

解答：解：连接OB，

∵OB=4，

∴BM=2，

∴OM=2，

==π，

故选D．

点评：本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．

6. (2015 山东省淄博市) 如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．

答案：

分析：首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．

解答：解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，

∴∠C=180°﹣72°=108°，

∵CD=CB，

∴∠CDB=36°，

∵AF∥CD，

∴∠DFA=∠CDB=36°，

故答案为：36．

点评：本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．

7. (2015 辽宁省营口市) 圆内接正六边形的边心距为23cm，则这个正六边形的面积为cm2．

答案：243

8. (2015 山东省青岛市) 】．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）

A．30° B．35° C．45° D．60°

答案：

分析：连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利