用因式分解法解方程
【课后作业】
1、解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=,x2=.
2、用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程
、求解。
3、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c=，该方程的另一根为，
该方程可化为（x-1）（x）=0
4、方程x2=x的根为（）
A.x=0
B. x1=0,x2=1
C. x1=0,x2=-1
D. x1=0,x2=2
5、用因式分解法解下列方程：
（1）x2+16x=0 （2）5x2-10x=-5
（3）x（x-3）+x-3=0 （4）2(x-3)2=9-x2
（5）（x+2）2=3x+6；（6）（3x+2）2-4x2=0；
（7）5（2x-1）=(1-2x)(x+3)；（8）2（x-3）2+(3x-x2)=0.
6、用适当方法解下列方程：
（1）（3x-1）2=1；（2）2（x+1）2=x2-1；
（3）(2x-1)2+2(2x-1)=3；（4）(y+3)（1-3y）=1+2y2.
1
高一数学用因式分解法解下列方程 (1)
高一数学：用因式分解法解下列方程 1.a^4-4a+3 2.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n 3.x^2+(a+1/a)xy+y^2 4.9a^2-4b^2+4bc-c^2 5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b) 答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3) 2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1] 3.(ax+y)(1/ax+y) 4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c) 5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b) = (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc) =c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc =c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc =(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b) =(a-2b-c)^2 1.x^2+2x-8 2.x^2+3x-10 3.x^2-x-20 4.x^2+x-6 5.2x^2+5x-3 6.6x^2+4x-2 7.x^2-2x-3 8.x^2+6x+8 9.x^2-x-12 10.x^2-7x+10 11.6x^2+x+2 12.4x^2+4x-3
解方程：（x的平方+5x-6）分之一=（x的平方+x+6）分之一 十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例： 1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为1 -2 1 ╳6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 5 ╳-4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为 1 -3 1 ╳-5
用因式分解法解一元二次方程练习题
用因式分解法解一元二次方程 一.公因式： （一）1.解方程 x2-5x=0 x(x-1)=0 3x2=6x x2-5x=7x t(t＋3)＝28 x2＝7x x2＋12x＝0(1＋2)x2－(1－2)x＝0 (3－y)2＋y2＝9 （二）1.解方程 4x(x+3)+3(x+3)=0 3x(x+1)+4(x+1)=0 (2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0 x(x－5)＝5－x (2t＋3)2＝3(2t＋3) 二、平方差,解方程： (x+5)(x-5)=0 x2-25=0 4x2－1＝0 (x－2)2＝256 0 1 92x 三、十字交叉,解方程： 4x2-4x+1=0 (x+3)(x+2)=0 x2-5x+6=0 x2-2x-3=0 x2－4x－21＝0 (x－1)(x＋3)＝12 3x2＋2x－1＝0 (x－1)2－4(x－1)－21＝0 5x2－(52＋1)x＋10＝0 四、完全平方,解方程： x2-6x+9=04X2-4X+1=0 (Y-1)2+2(Y-1)+1=0 五、三角形的一边长为10，另两边长为方程x2-14x+48=0的两个根，求三角形的周长？ 六、解关于x的方程(1)x2－2mx－8m2＝0；(2)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0 七、6．已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，试求 y x y x 的值 八、已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值． 九、已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值 十、一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．
用因式分解法解一元二次方程
典型例题一 例 用因式分解法解下列方程 6223362+=+x x x 解：把方程左边因式分解为： 0)23)(32(=-+x x ∴032=+x 或023=-x ∴ 3 2,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。 典型例题二 例 用因式分解法解下列方程。 1522+=y y 解: 移项得：01522 =--y y 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y ∴.3,2 521=-=y y 说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题三 例 用因式分解法解下列方程 （1）021362=+-x x ； （2）0)23(9)12(322=--+x x ； 分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征. 解：（1）原方程可变形为 ,0)2)(16(=--x x 016=-x 或02=-x ， ∴2,6 121==x x . （2）原方程可化为 0)633()332(22=--+x x ， 即 0)633332)(633332(=+-+-++x x x x ， ∴0)363)(6335(=-+-+x x ， ∴06335=-+x 或0363=-+x ， ∴321,5 13221+=-=x x . 说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法. 典型例题四
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 因式分解法解一元二次方程的一般步骤是: （1）移项 把方程的右边化为0; （2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; （3）转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程; （4）求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 例1. 用因式分解法解方程:x x 32=. 解:032=-x x ()03=-x x ∴0=x 或03=-x ∴3,021==x x . 例2. 用因式分解法解方程:()()01212 =---x x x . 解:()()0211=---x x x ()()()()0 11011=+-=---x x x x ∴01=-x 或01=+x ∴1,121-==x x . 例3. 解方程:121232-=-x x . 解:0121232=+-x x ()()0230 44322=-=+-x x x ∴221==x x . 例4. 解方程:332+=+x x x . 解:()0332=+-+x x x ()()()()0310 131=-+=+-+x x x x x
∴01=+x 或03=-x ∴3,121=-=x x . 因式分解法解高次方程 例5. 解方程:()()013122 2=---x x . 解:()()031122=---x x ()()()()()()022*******=-+-+=--x x x x x x ∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x ∴2,2,1,14321=-==-=x x x x . 例6. 解方程:()()034322 2=+-+x x . 解:()()043322=-++x x ()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x ∵032>+x ∴()()011=-+x x ∴01=+x 或01=-x ∴1,121=-=x x . 用十字相乘法分解因式解方程 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=?≥0且?的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程. 例7. 解方程:0652=+-x x . 分析:()124256452 =-=?--=?,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x ∴02=-x 或03=-x ∴3,221==x x .
用因式分解法解方程
课题：2.3 用因式分解法求解一元二次方程 学情分析 学生已经学习了解方程的方法，也学习了因式分解的方法，掌握了配方法和公式法解方程。具备一定的合作与交流的能力。 教学目标1.掌握用因式分解法解一元二次方程． 2.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 二、探索新知 （学生活动）请同学们口答下面各题． （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- ． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2． 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例1．解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，?另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0 于是，得：x=0或4x-11=0 x1=0，x2= （2）移项，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0 因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0 于是，得x-2=0或x-4=0 x1=2，x2=4 例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．
用因式分解法解一元二次方程---详细答案
用因式分解法解一元二次方程 【主体知识归纳】 1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A ＝0或B ＝0． 【基础知识讲解】 1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法． 2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法． 【例题精讲】 例1：用因式分解法解下列方程： (1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6． (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3． (3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0． ∴x 1＝0，x 2＝2 3． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了． (2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：
因式分解法解一元二次方程练习题
因式分解法解一元二次方程练习题 姓名： 1．选择题 (1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( ) A ．x 1＝－16，x 2＝8 B ．x 1＝16，x 2＝－8 C ．x 1＝16，x 2＝8 D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ) A ．x ＝ 2 1 B ．x ＝ 2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝5 3，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( ) A ．y 1＝5，y 2＝－2 B ．y ＝5 C ．y ＝－2 D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5 B ．x 1＝－1，x 2＝－5 C ．x 1＝1，x 2＝5 D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5 B ．5或11 C ．6 D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．填空题 (1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______． (2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________． (4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； （3） x 2＝7x ； (4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0． 4．用适当方法解下列方程： (1)x 2－4x ＋3＝0； (2)(x －2)2＝256； （3）x 2－3x ＋1＝0； (4)x 2－2x －3＝0； (5)(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)； (6)(3－y )2＋y 2＝9； (7)(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0； (8)5x 2 －(52＋1)x ＋10＝0； (9)2x 2－8x ＝7； (10)(x ＋5)2－2(x ＋5)－8＝0．
因式分解法解一元二次方程典型例题
例 用因式分解法解下列方程： (1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0 y ＋1＝0或y ＋6＝0 ∴y 1＝－1，y 2＝－6 (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0 (2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0 ∴t 1＝2 1，t 2＝3． (3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0 ∴x 1＝0，x 2＝2 3 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了． (2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解： 原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2． (3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考 典型例题二 例 用因式分解法解下列方程 6223362+=+x x x 解：把方程左边因式分解为： 0)23)(32(=-+x x ∴032=+x 或023=-x ∴ 3 2,2321=- =x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式， 均可用因式分解法求出方程的解。
因式分解法、配方法解一元二次方程
一、填空题（因式分解法） 1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________. 2.方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程___________或___________，分别解得： x1=_________,x2=_________. 3.填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程 解：3x(x+5)__________=0 (x+5)(__________)=0 x+5=__________或__________=0 ∴x1=__________,x2=__________ 4.用因式分解法解一元二次方程的关键是 （1）通过移项，将方程右边化为零 （2）将方程左边分解成两个__________次因式之积 （3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程 （4）分别解这两个__________，求得方程的解 5.x2－(p+q)x+qp=0因式分解为____________. 6.用因式分解法解方程9=x2－2x+1 (1) 移项得__________； （2）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________； （3）分别解这两个一次方程得x1=__________,x2=__________ 二、选择题 1.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（） A.(2x－2)(3x－4)=0 ∴2－2x=0或3x－4=0 B.(x+3)(x－1)=1 ∴x+3=0或x－1=1 C.(x－2)(x－3)=2×3 ∴x－2=2或x－3=3 D.x(x+2)=0 ∴x+2=0 2.方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是（） A.x1=b,x2=a B.x1=b,x2= a 1 C.x1=a,x2= a 1 D.x1=a2,x2=b2 三、计算题 1.x2－25=0 2.(x+1)2=(2x－1)2 3.x2－2x+1=4 4.x2=4x
因式分解法解二元一次方程
教育学课教案 授课主题分解因式法解二元一次方程 教学内容 分解因式：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。例如：m2-n2=（m+n）（m-n) 原则： ①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。 ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。 ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。 ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本结论： 分解因式与整式乘法为相反。 分解方法 公式法 1、平方差公式x2-a2=（x+a）（x-a） 2、完全平方公式x2±2ax+a2=（x±a）2（对应的还可以有一个口诀：“首平方，尾平方，首尾二倍放中央”）
提取公因式法 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。 例如：222()ax bx a b x +=+ 十字相乘法 十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 的逆运算来进行因式分解。 例如:ax 2+bx+c 型的式子的因式分解 如果有a =1a 2a ，c=12c c ，且有1a 2a +12c c =b 时，那么ax 2+bx+c=1122()()a x c a x c ++ 例：分解7x 2-19x-6 图示如下：1a =7 2a =1 1c =2 2c =-3 因为 -3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19， 所以，原式=(7x+2)(x-3)． 利用分解因式法解二元一次方程: 当二元一次方程的一边为0，而另一边分解成两个一 次因式的乘积时，这种解二元一次方程的方法叫分解因式法。
因式分解法
《因式分解法》教学设计 第四师74团中学陈平 一、内容和内容解析 1．内容 用因式分解法解一元二次方程． 2．内容解析 教材通过实际问题得到方程，让学生思考解决方程的方法除了之前所学习过的配方法和公式法以外，是否还有更简单的方法解方程，接着思考为什么用这种方法可以求出方程的解，从而引出本节课的教学内容． 解一元二次方程的基本策略是降次，因式分解法将一个一元二次方程转化为两个一次式的乘积为零，是解某些一元二次方程较为简便灵活的一种特殊方法．体现了降次的思想，这种思想在以后处理高次方程时也很重要． 基于以上分析，确定出本节课的教学重点：会用因式分解法解特殊的一元二次方程．二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）了解用因式分解法解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程； （2）学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程． 2．目标解析 （1）学生能理解因式分解法的概念，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤，会利用因式分解求解特殊的一元二次方程； （2）学生通过对比一元二次方程的结构类型，选用适当的方法合理的解方程，增强解决问题的灵活性． 三、教学问题诊断分析 学生在此之前已经学过了用配方法和公式法求一元二次方程的解，然后通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法”而达到“降次”目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，体现了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，符合学生的认知规律． 在实际的教学中，学生在利用因式分解法解方程式往往会在因式分解上存在着一定的困难，从而不能将方程化成两个一次式乘积的形式．另外在面对一元二次方程时，缺乏对方程
因式分解法解一元二次方程教案备课讲稿
精品文档 精品文档2.4分解因式法解一元二次方程教案 本课的教学目标是： 1、知识与技能目标：1、会应用分解因式的方法求一元二次方程的解。 2、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法。 1、方法与过程目标： 1、理解分解因式法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程; 2、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。 通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转 化”“降次”的数学思想方法。 3、情感与态度目标：通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二 次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高 了解题速度和准确程度。再之，体会“降次”化归的思想。从而培养 学生主动探究的精神与积极参与的意识。 教学重点与难点 教学重点：运用分解因式法解一些能分解因式的一元二次方程。 教学难点：发现与理解分解因式的方法。 1．复习提问 如果AB=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零． “至少”有下列三层含义 ①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0 三、教学过程设计 1：复习：将下列各式分解因式（为新知识学习做铺垫） 将下列各式分解因式： (1)5X2-4X (2)X2-4X+4 (3)4X(X-1)-2+2X (4) X2-4 (5) (2X-1)2-X2 理由是：通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度。 2．新课讲解 引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法 例1 解方程5x2＝4x． 解：原方程可变形x（5x-4）＝0……第一步 ∴x＝0或5x-4＝0……第二步 ∴x1=0，x2=-4/5． 教师提问、板书，学生回答． 分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法． 例2 用分解因式法解方程解方程x-2＝x（x-2）
解一元二次方程因式分解法
22.2.1 解一元二次方程(因式分解法) 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为1 2 ， 1 2 的一半应为 1 4，因此，应加上（ 1 4 ）2，同时减去（ 1 4 ）2．（2）直接用公式求解． 二、探索新知 （学生活动）请同学们口答下面各题． （老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ （学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0， 所以x1=0，x2=-1 2 ． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2． 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例1．解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 x1=0，x2=11 4 （2）x1=2，x2=4 例2．已知9a2-4b2=0，求代数式 22 a b a b b a ab + --的值． 分析：要求 22 a b a b b a ab + --的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出 a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误． 解：原式= 22222 a b a b b ab a --- =- ∵9a2-4b2=0
因式分解法解一元二次方程练习题
因式分解法解一元二次方程 1．选择题 (1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( ) A ．x 1＝－16，x 2＝8 B ．x 1＝16，x 2＝－8 C x 1＝16，x 2＝8 D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ) A ．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝ 53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝5 3，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2 B ．y ＝5C ．y ＝－2 D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5 B ．x 1＝－1，x 2＝－5 C ．x 1＝1，x 2＝5 D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5 B ．5或11 C ．6 D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．1．方程)2()2(2-=-x x 的根是 2．方程46)1)(3(+=++x x x 的解是 3．方程02)12(3)12(2=++++y y 的解是 3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； （3） x 2＝7x ； (4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0． (9)y 2＋7y ＋6＝0； (10)t (2t －1)＝3(2t －1)； (11)(2x －1)(x －1)＝1．(12)1522+=y y （13）021362=+-x x ； （14）0)23(9)12(322=--+x x ； （15）03652=--x x ；
因式分解法解一元二次方程练习题
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 因式分解法解一元二次方程练习题 姓名： 1．选择题 (1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( ) A ．x 1＝－16，x 2＝8 B ．x 1＝16，x 2＝－8 C ．x 1＝16，x 2＝8 D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2 －15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ) A ．x ＝ 2 1 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝5 3 ，x 2＝ －3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( ) A ．y 1＝5，y 2＝－2 B ．y ＝5 C ．y ＝－2 D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2 ＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5 B ．x 1＝－1，x 2＝－5 C ．x 1＝1，x 2＝5 D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2 －3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2 －16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5 B ．5或11 C ．6 D ．11 (8)方程x 2 －3|x －1|＝1的不同解的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．填空题 (1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______． (2)方程(2x ＋1)2 ＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2 ＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________． (4)关于x 的方程x 2 ＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．
用因式分解法解一元二次方程
初三学年数学《用因式分解法解一元二次方程》导学案 课型：展示课 备课组：初三备课组 制作人：李秀娟 学习目标：1.熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤。 2.通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的 思想。 学习重点： 用因式分解法解一元二次方程 学习难点： 正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（A、B表示两个因式）思维导航：1. 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分 解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法. 2. 分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于 零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果 两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.” 授课模式：目标导航、双主高效 1.一元二次方程的一般式是什么？ 2.请用已学过的方法解方程：x —4=0 你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 分解因式法的定义： 温馨提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.” 解下列方程 1、x－3x－10=0 2、(x+3)(x－1)=5 温馨提示:到黑板做的既快又准，而且抢到教鞭的同学，获得讲课的机会。
接力竞赛游戏：解下列方程 温馨提示:各小组指派2名同学参加“做题接力竞赛”，每人一题，以既快又准的小组为获胜组。 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.（基础题）下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？ )2(5)2(3)1(+=+x x x 05)13)(2(2 =-+x . 48.462;83563)2)(5(18 )2)(5(21==∴==+==-?=+-=+-x x x x x x x x x x 或原方程的解为，得由，得由原方程化为 解：解方程
因式分解法解二元一次方程教案
21.2.3 因式分解法 教学内容 用因式分解法解一元二次方程． 教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应 为1 2，1 2 的一半应为1 4 ，因此，应加上（1 4 ）2，同时减去（1 4 ）2．（2） 直接用公式求解． 二、探索新知 （学生活动）请同学们口答下面各题． （老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ （学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-1 2 ． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？） 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例1．解方程
（1）10x-4.9 x 2 =0 （2）x （x-2）+x-2 =0 (3)5x 2-2x-14 =x 2-2x+ 34 (4)(x-1) 2 =(3-2x) 2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 （方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。） 练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）． A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7 B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=2 5 ，x 2=35 C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2 D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1 三、巩固练习 教材 练习1、2． 例2．已知9a 2 -4b 2 =0，求代数式22 a b a b b a ab +--的值． 分析：要求22 a b a b b a ab +--的值，首先要对它进行化简，然后从已 知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误． 解：原式= 22222a b a b b ab a ---=- ∵9a 2-4b 2=0 ∴（3a+2b ）（3a-2b ）=0 3a+2b=0或3a-2b=0， a=-23b 或a=23b 当a=-23 b 时，原式=-223 b b -=3 当a=2 3 b 时，原式=-3． 四、应用拓展 例3．我们知道x 2-（a+b ）x+ab=（x-a ）（x-b ），那么x 2-（a+b ）x+ab=0就可转化为（x-a ）（x-b ）=0，请你用上面的方法解下列方程． （1）x 2-3x-4=0 （2）x 2-7x+6=0 （3）x 2+4x-5=0
初中数学用因式分解法解一元二次方程及答案(可编辑修改word版)
初中数学用因式分解法解一元二次方程 一．选择题（共7 小题） 1．（2013 秋?广州校级期中）用因式分解法解一元二次方程x（x﹣1）﹣2（1﹣x）=0，正确的步 骤是（） A．（x+1）（x+2）=0 B．C．D． （x+1）（x﹣2）=0 （x﹣1）（x﹣2）=0 （x﹣1）（x+2）=0 2．（2012 春?萧ft区校级期中）解一元二次方程2x2+5x=0 的最佳解法是（） A．因式分解法B．开平方法C．配方法D．公式法 3．解一元二次方程（y+2）2﹣2（y+2）﹣3=0 时，最简单的方法是（） A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法 4．（2015?东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣2x=0 的解是（） A．0 B．2 C．D．0，2 0，﹣2 5．（2014?平顶ft二模）一元二次方程﹣x2=3x 的解是（） A．3 B． ﹣3 C．3，0 D． ﹣3，0 6．（2011 春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0 实数解的条件是（） A．c≤0 B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 7．（2011?北京模拟）若x=﹣1 是一元二次方程x2﹣ax=0 的一个解，则a 的值（）A． ﹣1 B．1 C．0 D．±1 二．填空题（共3 小题） 8．（2012 秋?开县校级月考）一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0 的解是．9．（2012?铜仁地区）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0 的解是．
10．（2014 秋?禹州市期中）一元二次方程（4﹣2x）2﹣36=0 的解是． 三．解答题（共10 小题） 11．（2006 秋?阜宁县校级月考）用指定的方法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣4x+1=0（配方法）； （2）3x（x﹣1）=2﹣2x（因式分解法）； （3）x2﹣x﹣3=0（公式法）． 12．用因式分解法解下列关于x 的一元二次方程． （1）x2+x﹣k2x=0 （2）x2﹣2mx+m2﹣n2=0． 13．（2008?温州）（1）计算：； （2）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①x2﹣3x+1=0；②（x﹣1）2=3；③x2﹣3x=0；④x2﹣2x=4． 14．用因式分解法解下列一元二次方程： （1）5x2=x （2）4（2x+3）﹣（2x+3）2=0 （3）（x﹣2）2=（2x+3）2
因式分解法解一元二次方程练习题及答案
因式分解法解一元二次方程练习题 1．选择题 (1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( ) A ．x 1＝－16，x 2＝8 B ．x 1＝16，x 2＝－8 C ．x 1＝16，x 2＝8 D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ) A ．x ＝ 2 1 B ．x ＝ 2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝5 3，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( ) A ．y 1＝5，y 2＝－2 B ．y ＝5 C ．y ＝－2 D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5 B ．x 1＝－1，x 2＝－5 C ．x 1＝1，x 2＝5 D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5 B ．5或11 C ．6 D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．填空题 (1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______． (2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________． (4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； （3） x 2＝7x ； (4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0． 4．用适当方法解下列方程： (1)x 2－4x ＋3＝0； (2)(x －2)2＝256； （3）x 2－3x ＋1＝0； (4)x 2－2x －3＝0； (5)(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)； (6)(3－y )2＋y 2＝9； (7)(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0； (8)5x 2 －(52＋1)x ＋10＝0； (9)2x 2－8x ＝7(精确到0．01)； (10)(x ＋5)2－2(x ＋5)－8＝0．