阶常微分方程解

第七节 二阶常系数线性微分方程的解

法

在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。

§ 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法

设给定一常系数二阶线性齐次方程为

22dx y d ＋p dx

dy ＋qy ＝0

其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。

我们先分析方程可能具有什么形式的特解，从方程的形

式上来看，它的特点是22dx y d ，dx

dy

，y 各乘以常数因子后相加

等于零，如果能找到一个函数y ，其22dx y d ，dx

dy

，y 之间只相

差一个常数因子，这样的函数有可能是方程的特解，在初等函数中，指数函数e rx

，符合上述要求，于是我们令

y ＝e rx

(其中r 为待定常数)来试解

将y ＝e rx ，dx

dy ＝re rx

，22

dx y d ＝r 2e rx 代入方程

得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx ＝0

或 e rx （r 2

＋pr ＋q ）＝0

因为e rx

≠0，故得 r 2＋pr ＋q ＝0

由此可见，若r 是二次方程

r 2＋pr ＋q ＝0

的根，那么e rx 就是方程的特解，于是方程的求解问题，就转化为求代数方程的根问题。称式为微分方程的特征方程。

特征方程是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程有两个不相等的实根r １，r 2，此时e r １x

，

e r2x 是方程的两个特解。

因为 x r x

r 21e

e ＝e x )r r (21 ≠常数

所以e r1x ，e r2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程的通解为

y ＝C 1e r1x

＋C 2e r2x

(2)若特征方程有两个相等的实根r 1＝r 2，此时p 2－4q ＝0，即

有r 1＝r 2＝2

p

，这样只能得到方程的一个特解y １＝e r １x ，

因此，我们还要设法找出另一个满足1

2

y y ≠常数，的特解y 2，

故12y y 应是x 的某个函数，设1

2

y y ＝u ，其中u ＝u(x)为待定函数，即

y 2＝uy 1＝ue r １x

对y 2求一阶，二阶导数得 dx

dy 2＝dx du e r1x ＋r １ue r1x

＝(dx du ＋r 1u)e r1x

222dx y d ＝(r 2

１u ＋2r 1dx du ＋22

dx

u d )e r1x

将它们代入方程得

(r 21u ＋２r 1dx du ＋22dx u d )e r1x ＋p(dx

du ＋r 1u)e r1x ＋que r1x

＝0

或

［22dx u d ＋(2r 1＋p) dx

du ＋(r ２１＋pr 1＋q)u ］e r1x

＝0

因为e r1x ≠0，且因r 1是特征方程的根，故有r ２１＋pr １＋

q ＝0，又因r 1＝－2

p

故有2r 1＋p ＝0，于是上式成为

22dx

u

d ＝0

显然满足22dx

u

d ＝0的函数很多，我们取其中最简单的一个

u(x)＝x

则y 2＝xe rx 是方程的另一个特解，且y 1，y 2是两个线性无关的函数，所以方程的通解是 y ＝C 1e r1x

＋C 2xe r1x

＝(C 1＋C 2x)e r1x

(3)若特征方程有一对共轭复根 r 1＝α＋i β，r 2＝α－i β

此时方程有两个特解

y 1＝e (α＋i β)x

y 2＝e （α－i β）x

则通解为 y ＝C 1e

（α＋i β）x

＋C 2e

（α－i β）x

其中C 1，C 2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式

e ix

＝cosx ＋isinx ，e －ix

＝cosx －isinx

有 2

1

(e ix ＋e －ix )＝cosx

i

21

(e ix －e －ix )＝sinx

21 (y 1＋y ２)＝21e αx (e i βx ＋e －i βx )＝e αx

cos βx

i 21 (y 1－y 2)＝i

21e αx (e i βx －e －i βx

)＝e αx sin βx

由上节定理一知，21 (y 1＋y 2)，i

21

(y 1－y 2)是方程的两个

特解，也即e αx cos βx ，e αx

sin βx 是方程的两个特解：且它

们线性无关，由上节定理二知，方程的通解为

y ＝C 1e αx cos βx ＋C 2e αx sin βx

或 y ＝e αx (C 1cos βx ＋C 2sin βx)

其中C 1，C 2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程复数根的实部和虚部。 综上所述，求二阶常系数线性齐次方程的通解，只须先求出其特征方程的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下

特征方程r 2

＋pr ＋q ＝0的

根 微分方程22dx y d ＋p dx

dy ＋qy

＝0的通解

有二个不相等的实根r 1，r 2

y ＝C 1e r1x ＋C 2e r2x 有二重根r 1＝r 2 y ＝(C 1＋C 2x)e r1x

有一对共轭复根β-α=β+α=i r i r 21

y ＝e αx (C 1cos βx ＋C 2sin

βx) 例1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解

(1) 22dx y d ＋3dx

dy

－１０y ＝0

(2) 22dx y d －4dx dy

＋4y ＝0

(3) 22dx y d ＋4dx

dy

＋7y ＝0

解 (1)特征方程r 2＋3r －10＝0有两个不相等的实根

r 1＝－5，r 2＝2

所求方程的通解 y ＝C 1e －5r ＋C 2e 2x

(2)特征方程r 2

－4r ＋4＝0，有两重根 r 1＝r 2＝2

所求方程的通解y ＝(C 1＋C 2x)e 2x

(3)特征方程r 2＋4r ＋7＝0有一对共轭复根 r 1＝－2＋3i r 2＝－2－3i

所求方程的通解 y ＝e －2x (C 1cos 3x ＋C 2sin 3x)

§ 二阶常系数线性非齐次方程的解法

由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线

性非齐次方程

22dx y d ＋p dx

dy

＋qy ＝f(x)

的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程的一个特解。

方程的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)

的两种常见的形式进行讨论。

一、f(x)＝p n (x)e αx ，其中p n (x)是n 次多项式，我们先

讨论当α＝0时，即当

f(x)＝p n （x ）时方程 22dx y d ＋p dx

dy

＋qy ＝p n (x)

的一个特解。

(1)如果q ≠0，我们总可以求得一n 次多项式满足此方程，事实上，可设特解

~

y ＝Q n (x)＝a 0x n

＋a 1x n －1

＋…＋a n

，

其中a 0，a 1，…a n 是待定常数，将~

y 及其导数代入方程，得方程左右两边都是n 次多项式，比较两边x 的同次幂系数，就可确定常数a 0，a 1，…a n 。

例1. 求22dx y d ＋dx

dy

＋2y ＝x 2－3的一个特解。

解 自由项f(x)＝x 2－3是一个二次多项式，又q ＝2≠0，则可设方程的特解为 ~

y ＝a 0x 2

＋a 1x ＋a 2

求导数 ~

'y ＝2a 0x ＋a 1

~

"y ＝2a 0

代入方程有2a 0x 2＋(2a 0＋2a 1)x ＋（2a 0＋a 1＋2a ２）＝x 2－3比较同次幂系数

???

??-=++=+=3

a 2a a 20a 2a 21

a 22

10100 解得 4

7a 21a 2

1a 210-

=-==

所以特解~y ＝21x 2－21x －4

7

(2)如果q ＝0，而p ≠0，由于多项式求导一次，其次数

要降低一次，此时~

y ＝Q n (x)不能满足方程，但它可以被一个(n ＋1)次多项式所满足，此时我们可设 ~

y ＝xQ n (x)＝a 0x

n ＋1

＋a 1x n

＋…＋a n x

代入方程，比较两边系数，就可确定常数a 0，a 1，…a n 。

例2. 求方程22dx y d ＋4dx

dy

＝3x 2＋2的一个特解。

解 自由项 f(x)＝3x 2

＋2是一个二次多项式，又q ＝0，p ＝４≠0，故设特解 ~

y ＝a 0x 3＋a 1x 2＋a 2x

求导数 ~

'y ＝3a 0x 2＋2a 1x ＋a 2

~

"y ＝6a 0x ＋2a 1

代入方程得

12a 0x 2＋（8a 1＋6a 0）x ＋（２a 1＋4a 2）＝3x 2＋2，比较两边同次幂的系数

???

??=+=+=2

a 4a 20a 6a 83

a 122

1010 解得 32

19a 163a 4

1

a 210=

-==

所求方程的特解 ~y ＝41x 3－163x 2＋32

19

x

(3)如果p ＝0，q ＝0，则方程变为22dx

y

d ＝p n (x)，此时特解

是一个(n ＋2)次多项式，可设

~

y ＝x 2

Q n (x)，代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。

下面讨论当α≠0时，即当f(x)＝p n (x)e αx 时方程

22dx y d ＋p dx

dy ＋qy ＝p n (x)e αx

的一个特解的求法，方程与方程相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子e αx ，如果能通过变量代换将因子e α

x 去掉，使得化成式的形式，问题即可解决，为此设y ＝ue α

x

，其中u ＝u(x)是待定函数，对y ＝ue αx

，求导得

dx dy ＝e αx dx

du ＋αue αx

求二阶导数 22dx y d ＝e αx 2

2dx u d ＋2αe αx dx

du ＋α2ue αx

代入方程得

e αx

［22

dx u d ＋2αdx du ＋α2u ］＋pe αx ［dx

du ＋αu ］＋que

αx

＝p n (x)e αx 消去e αx 得

22dx u d ＋(2α＋p) dx du ＋(α2

＋p α＋q)u ＝p n （x ）

由于式与形式一致，于是按的结论有：

(1)如果α2

＋p α＋q ≠0，即α不是特征方程r 2

＋pr ＋q ＝0的根，则可设的特解u ＝Ｑn (x)，从而可设的特解为

~

y ＝Q n (x)e αx

(2)如果α2

＋p α＋q ＝0，而２α＋p ≠0，即α是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的单根，则可设的特解u ＝xQ n (x)，从而可设的特解为

~

y ＝xQ n (x)e αx

(3)如果r 2＋p α＋q ＝0，且２α＋p ＝0，此时α是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的重根，则可设的特解u ＝x 2Q n (x)，从而可设的特解为

~

y ＝x 2

Q n (x)e αx

例3. 求下列方程具有什么样形式的特解

(1)22dx y d ＋5dx dy

＋6y ＝e 3x

(2) 22dx y d ＋5dx dy

＋6y ＝3xe －2x

(3) 22dx y d ＋αdx

dy

＋y ＝－(3x 2＋1)e －x

解 (1)因α＝3不是特征方程r 2

＋5r ＋6＝0的根，故方程具有形如

~

y ＝a 0e 3x

的特解。

(2)因α＝－2是特征方程r 2

＋5r ＋6＝0的单根，故方程具有形如

~

y ＝x(a 0x ＋a 1)e －2x

的特解。

(3)因α＝－1是特征方程r 2

＋2r ＋1＝0的二重根，所以方程具有形如

~

y ＝x 2(a 0x 2＋a 1x ＋a ２)e －x

的特解。

例4. 求方程22dx

y

d ＋y ＝(x －2)

e 3x

的通解。

解 特征方程 r ２＋1＝0

特征根 r ＝±i 得，对应的齐次方程22dx

y

d ＋y ＝0的通

解为 Y ＝C 1

cos

x ＋C ２

sin

x

由于α＝3不是特征方程的根，又p n (x)＝x －2为一次多项

式，令原方程的特解为 ~

y ＝(a 0x ＋a 1)e 3x

此时u ＝a 0x ＋a 1，α＝3，p ＝0，q ＝1，求u 关于x 的导

数dx

du

＝a 0，22dx u d ＝0，代入

22dx u d ＋(２α＋p) dx

du ＋(α2

＋αp ＋q)u ＝(x －2)得： 10a 0x ＋10a 1＋6a 0＝x －2 比较两边x 的同次幂的系数有

???-=+=2a 6a 101a 10010 解得 a 0＝101，a 1＝－

5013

于是，得到原方程的一个特解为

~

y ＝(101x －50

13)e 3x

所以原方程的通解是

y ＝Y ＋~

y ＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋（101x －50

13

）e 3x

例5. 求方程22dx y d －2dx

dy

－3y ＝(x ２＋1)e －x 的通解。

解 特征方程 r 2－2r －3＝0 特征根 r 1＝－1，r 2＝3

所以原方程对应的齐次方程22dx y d －2dx

dy

－3y ＝0的通解Y

＝C 1e －x ＋C 2e 3x ,由于α＝－1是特征方程的单根，又p n (x)＝x 2

＋1为二次多项式，令原方程的特解

~

y ＝x(a 0x 2＋a 1x ＋a 2)e

－x

此时 u ＝a 0x 3

＋a 1x 2

＋a 2x ，α＝－1，p ＝－2，q ＝－3

对u 关于x 求导 dx

du

＝3a 0x 2＋2a 1x ＋a 2

22dx u

d ＝6a 0x ＋2a 1

代入22dx u d ＋(2α＋p) dx

du ＋(α2＋pr ＋q)u ＝x 2

＋1，得

－12a 0x 2＋(6a 0－8a)x ＋2a 1－4a ２＝x 2＋1比较x 的同次幂的系数有

????

???=--==-0a 8a 6121a 1a 1210

00

解得 32

9a 0

a 4a 2161

a 2011-==--=

故所求的非齐次方程的一个特解为

~

y ＝－4x (3x 2＋4x ＋8

9)e －x

二、f(x)＝p n (x)e αx cos βx 或p n （x ）e αx

sin βx ，即求形如

22dx y d ＋p dx

dy

＋qy ＝p n (x)e αx cos βx

22dx y d ＋p dx

dy ＋qy ＝p n (x)e αx

sin βx

这两种方程的特解。

由欧拉公式知道，p n （x ）e αx

cos βx ，p n (x)e αx

sin x

分别是函数p n (x)e （α＋i β）x 的实部和虚部。

我们先考虑方程

22dx y d ＋p dx

dy

＋qy ＝p n （x ）e （α＋i β）x

方程与方程类型相同，而方程的特解的求法已在前面讨论。

由上节定理五知道，方程的特解的实部就是方程的特解，方程的特解的虚部就是方程的特解。因此，只要先求出方程的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程或的一个特解。

注意到方程的指数函数e （α＋i β）x 中的α＋i β(β≠0)是复数，而特征方程是实系数的二次方程，所以α＋i β最多只能是它的单根。因此方程的特解形为Q n (x)e （α＋i β）x

或x

Ｑn (x)e

（α＋i β）x

。

例6. 求方程22dx y

d －y ＝

e x cos2x 的通解。

解 特征方程 r 2

－1＝0 特征根 r 1＝1，r 2＝－1

于是原方程对应的齐次方程的通解为

Y ＝C 1e x ＋C 2e －x

为求原方程的一个特解~

y 。

先求方程22dx

y

d －y ＝

e （１＋2i ）x 的一个特解，由于1＋2i 不

是特征方程的根，且p n (x)为零次多项式，故可设u ＝a 0，此时α＝(1＋2i)，p ＝0，q ＝－1代入方程

22dx u d ＋(2α＋p) dx du ＋(α2

＋αp ＋q)u ＝1 得［（１＋2i ）2－1］a 0＝1 ，即(4i －4)a 0＝1，得

a 0＝)1i (41 ＝－8

1 (i ＋1)

这样得到22dx y

d －y ＝

e （１＋2i ）x 的一个特解

y ＝－8

1

(i ＋1)e （１＋2i ）x

由欧拉公式

y ＝－81 (i ＋1)e （１＋2i ）x

＝－81

(i ＋1)e x (cos ２x ＋isin2x)

＝－8

1e x

［（cos2x －sin2x ）＋i(cos2x ＋sin2x)］

取其实部得原方程的一个特解

~

y ＝－8

1e x

(cos ２x －sin2x)

故原方程的通解为

y ＝Y ＋~

y ＝C 1e x

＋C 2e －x

－8

1e x

(cos2x －sin2x)

例7. 求方程22dx

y

d ＋y ＝(x －2)

e 3x ＋xsinx 的通解。

解 由上节定理三，定理四，本题的通解只要分别求2

2dx

y

d ＋y ＝0的特解Y ，

22dx

y d ＋y ＝(x －2)e 3x

的一个特解~

1y ，

22dx

y

d ＋y ＝x sin x 的一个特解~

2y

然而相加即可得原方程的通解，由本节例4有

Y ＝C 1cosx ＋C 2sinx ，~

1y ＝(101x －50

13)e 3x

下面求

~

2y ，为求

~

2y 先求方程

22dx

y

d ＋y ＝x

e ix

由于i 是特征方程的单根，且p n （x)＝x 为一次式，故可设u ＝x(a 0x ＋a 1)＝a 0x 2

＋a 1x ，此时α＝i ，p ＝0，q ＝1，

对u 求导

dx

du

＝2a 0x ＋a 1，22dx u d ＝2a 0

代入方程

22dx u d ＋(2α＋p) dx

du

＋(α2＋p α＋q)u ＝x

得 2a ０＋2i(2a 0x ＋a 1)＋0＝x

即 4ia 0x ＋2ia 1＋2a 0＝x

比较x 的同次幂的系数有：

???=+=0a 2ia 21ia 4010 得 4

1a 41i 41a 10=-

==

即方程22dx y

d ＋y ＝x

e ix 的一个特解

~y ＝(－4i x 2＋41x)e ix

＝(－4i x 2＋41

)(cosx ＋isinx)

＝(41x 2sinx ＋41xcosx)＋i(－41x 2cosx ＋4

1

xsinx)

取其虚部，得~

2y ＝－41x 2cos x ＋41

x sin x

所以，所求方程的通解y ＝Y ＋~

1y ＋~

2y

＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋(101－5

13)e ３x －41x ２

cosx ＋41xsinx

综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程

22dx y d ＋p dx

dy

＋qy ＝f(x)

当自由项f(x)为上述所列三种特殊形式时，其特解~

y 可用待定系数法求得，其特解形式列表如下：

自由项f(x)形式

特解形式

f(x)＝p n (x)

当q ≠0时~

y ＝Q n (x)

当q ＝0,p ≠0时~

y ＝Q n (x) 当q ＝0,p ＝0时~

y ＝x 2

Q n (x)

f(x)＝p n （x ）e αx

当α不是特征方程根时

~

y ＝Q n (x)e

αx

当α是特征方程单根时~

y ＝xQ n (x)e αx

当α是特征方程重根时~

y ＝x 2Q n (x)e αx

f(x)＝p n (x)e αx cos βx 或 f(x)＝p n (x)e αx sin βx 利用欧拉公式e i βx ＝cos βx ＋isin βx ，化为f(x)＝

p n (x)e （α＋i β）x

的形式求

特解，再分别取其实部或虚部 以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法，当然可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。

例8. 求y

＋3y ″＋3y ′＋y ＝e x 的通解

解 对应的齐次方程的特征方程为

r 3＋3r 2＋3r ＋1＝0 r 1＝r 2＝r 3＝－1

所求齐次方程的通解Y ＝(C 1＋C 2x ＋C 3x 2)e －x

由于α＝1不是特征方程的根

因此方程的特解~

y ＝a 0e x

代入方程可解得a 0＝

8

1

故所求方程的通解为y ＝Y ＋~

y ＝(C 1＋C 2x ＋C 3x 2)e －x

＋

8

1e x

。 § 欧拉方程

下述n 阶线性微分方程

a 0x n n n ax y d ＋a 1x n －11n 1n dx y d --＋…＋a n －1x dx

dy ＋a n y ＝f(x) 称为欧拉方程，其中a 0，a 1，…a n 都是常数，f(x)是已知

函数。欧拉方程可通过变量替换化为常系数线性方程。下面以二阶为例说明。

对于二阶欧拉方程

a 0x 2

22

dx y d ＋a 1x dx

dy

＋a 2y ＝f(x)

作变量替换令x ＝e t ，即t ＝ln x 引入新变量t ，于是有 dx dy ＝dt dy dx dt ＝

dt dy x 1＝x 1dt dy

22dx y d ＝dx d (x 1dt dy )＝x 1dx d (dt dy )＋dt dy dx d (x 1)

＝x 12

2dt y d dx dt －2x 1dt dy ＝2x 122dt y d －2x 1dt

dy

代入方程得

a 0(22

dt y d －dt dy )＋a 2dt

dy ＋a 1y ＝f(e t

)

即 22dt

y d ＋002a a a dt dy ＋01

a a y ＝0a 1f(e t )

它是y 关于t 的常系数线性微分方程。

例9. 求x 2

22

dx y d ＋x dx dy ＝6lnx －x

1的通解。

解 所求方程是二阶欧拉方程

作变换替换，令x ＝e t

，则 dx dy ＝x 1dx dy

22dx y d ＝2x 122dt y d －2x 1dt dy

代入原方程，可得

22dt

y

d ＝6t －

e －t

两次积分，可求得其通解为

y ＝C 1＋C 2t ＋t 3

－e

－t

代回原来变量，得原方程的通解

y ＝C 1＋C 2lnx ＋(lnx)

3－

x

1

第八节 常系数线性方程组

前面讨论的微分方程所含的未知函数及方程的个数都只有一个，但在实际问题中常遇到含有一个自变量的两个或多