2015年数学建模 B题

B题“互联网+”时代的出租车资源配置

摘要

本文针对现代生活中“打车难”这一问题，寻找引起其发生的主要因素，并在此基础上建立了与之相对应的打车软件服务信息平台，提出了最优控制策略，最后通过对深圳市出租车辆的调查做出了具体检验措施，验证出此模型的合理性。

针对问题一，本文首先运用层次分析方法，筛选出四至五个相对合理的指标以此来评判出对出租车供求的影响；其次运用SPSS软件对这些指标的数据进行预处理，应用主成分分析法从中再次筛选出三个重要指标，分别得出深圳市和佛山市供给量与需求量与对应三个重要指标间的关系，并利用MATLAB软件绘制供求量随影响因素变化的模型。利用灰色预测模型来分别预测未来几年深圳市和佛山市供给量与需求量发展趋势，验证其匹配状况，进而解决不同时间下的匹配度问题。运用灵敏度分析法，修正误差，完善模型。

针对问题二，考虑到出租车补贴主要为燃油补贴，由问题一的模型可知，燃油价格因素直接影响了供给量，通过问题一得出出租车补贴方案对缓解打车难有明显影响。

针对问题三，在软件平台建立上，为实现匹配度最佳，基于打车者与出租车距离最短，等待时间最短，首先利用图论的知识找出最短路径，进而运用改进的遗传算法求出最短时间，寻求到最优方案。其次根据空载量，分情况讨论具体补贴方案。最后根据GPS定位数据随机选取出“滴滴打车”某一时间内的经纬度，对以上服务信息平台进行检验，得出该平台较之前具有更好的合理性。

关键词：主成分分析灰色预测模型SPSS数据处理遗传算法

一、问题重述

随着经济的快速发展，人口密度的增大，“打车难”已成为全国大部分城市所面临的主要问题，人们均是采取“招手打车”方式，这不仅降低了司机载客量，而且对顾客来说，也浪费了很多时间。现在出现了“滴滴打车”，“快的打车”等软件服务平台，让人们利用“互联网+”方便快捷地打到车。而我们这个模型的主要目的既是通过搜集相关合理数据，从而进行以下问题的讨论。

1.寻找合适指标，建立数学模型，分析在不同时间地点的出租车需求量以及供应量之间的匹配程度。

2.通过分析现有不同的补贴方案，比较出租车的供求关系，观察出租车供不应求的现象是否得到缓解。

3.在第二问的基础上，设计合适的补贴方案，重新建立打车软件服务平台，并且论证所设计方案是否合理。

二、问题分析

本题要求我们建立数学模型，研究如何缓解“打车难“这一问题，并分析出租车补贴方案对其是否有缓解作用，并对建立的模型做相应的合理性预测检验。

2.1问题一的分析

问题一要求选取合理指标，并确定对不同时空内出租车资源匹配程度。我们将对搜取到的指标首先进行剔除，归一化处理，使其处于同一量纲下，便于计算研究。其次应用层次分析法，通过各权重的比较确定出对出租车资源匹配影响最重要的指标作为以下论文中的合理指标。为了使结果更有说服性，我们应用灰色预测模型对接下来几年数据进行预测，以此来检验不同时空出租车资源的匹配程度。

2.2问题二的分析

问题二要求分析各公司出租车补贴方案问题，确定各公司的补贴方案对“缓解打车难”是否有帮助。总结出油价补贴是各大公司的主要补贴政策，分析出对油价补贴影响显著的因素，根据这些因素对供需匹配程度的影响，从而间接推测出政府的补贴方案对缓解打车难是否有帮助。

2.3问题三的分析

问题三要求新创建一个打车软件服务平台，此平台在保证空间最短路径的情形下又保证了时间上的最短，达到了双重优化作用。此软件服务平台系统首先应用图

论中的dijkatra算法计算出最短路径d见附录1，其次利用改善后的遗传算法计算出最短等待出租车时间t，为减少循环次数，让d，t从两侧向中间循环，直到寻找到最优方案为止。

三、模型假设

1. 假设在近几年内城市变化对出租车影响程度不大。

2. 假设在使用新的软件服务平台，出租车接收到乘客呼叫信号之后直接到达乘客所在地，中途不再运载其他人。

3. 假设出租车行驶过程中无重大交通事故发生。

（注：其它未提及的符号在文中说明）

五、模型建立与求解

5.1问题一的模型建立与求解

问题一要求确立合理指标来分析不同时空内出租车供给匹配程度。我们认为

由以下步骤完成：

步骤一：运用层次分析法筛选出一些可以影响到不同时空内出租车供应量与需求量间平衡标准的主要指标。

步骤二：运用主层次分析构建各指标数据与出租车供给量与需求量之间的函数关系。

步骤三：分别对不同城市间出租车供应量与需求量数据进行灰色模型预测，进而预算出近二至三年来供求趋势，并利用MATLAB 软件绘制出未来时间内供求拟合图形。

步骤四：对上述数据进行灵敏度分析，对模型是否正确进行检验。 5.1.1层次分析法筛选数据进行数据预处理

首先通过查询相关资料后确定出影响出租车供求关系的合理指标。运用层次分析法筛选出对供求关系影响最为重要的指标，如：汽车里程利用率、燃油费用及人均消费水平等，将以上数据运用MATLAB 软件对数据进行剔除，平滑，归一化处理，使其处于同一量纲下，便于以后的计算及建模求解。

5.1.2运用主成分分析法定性描述供求关系

1.主成分分析定义（相关图表见附录一）

在进行数据分析处理时，涉及的样品往往包含多个变量。但是变量太多不但会增加计算的复杂性，也该给问题的合理解释带来困难。主成分分析通过降维的思想，使重要成分处于明显地位，便于优先处理，将多个变量综合成几个变量，反映原始变量的绝大部分信息。 （1） 总成分分析定义

设总体为12(,,,)q X X X X = ，其中12,,,q X X X 为实际问题中涉及的q 个随机变量，其均值向量为12(,,...,)()T q u u u u E X ==，其协方差矩阵为

*()[(()(()]T ij p p E X E X X E X σ∑==--，为q 阶非负定矩阵 （2） 总成分分析求法

设∑是12(,,,)T p X X X X = 的协方差矩阵，∑的特征值及其正单位变化特 化特征向量分别为120p λλλ≥≥≥≥ 及12,,,p e e e 则

()1

11121

00,,00p

p i i i i p p p e e e e e e e λλλλλT T =????

??

? ? ?∑=∑=P P =

? ? ? ? ? ??

????

?

∑

其中()12,,,p P e e e = 为正交矩阵。

对p 维单位向量a ,有

11111

1

p

p

i i i

i i i i a a a e e a a e e a a a a a λλλλλT

T T T T T T T ==∑=≤=PP ==∑∑

当取1a e =时，()111111e e e e λλT

T ==∑，所以11Y e T =X 就是所求的第一主成分，

它的方差具有最大值1λ。如果第一主成分所含信息不够多，还不足以代表原始的

p 个变量，则需要考虑使用2Y ,为了使1Y 和2Y 反映原始变量的信息不相重叠，要

求1Y 和2Y 不相关，即

于是，在约束条件220a a T =及120a a T =∑之下，求2a 使()2Var Y 达到最大。

现在我们来求p 维单位向量a ，使2Y =a T X 就是所求的第二主成分。由于

()()1211111,,0Cov Y Y Cov a a a a a a a e λT T T T T =X X ====∑∑

于是10a e T =，从而

()21

2

p p

i

i i

i

i i

i i V Y a

a a e e a a a e e a λλT

T T

T

T T ====∑∑∑

22222

2

1

p

p

i i

i i i i a e e a a e e a a a a a λλλλλT T T T T T T ==≤==TT ==∑∑

若取2a e =，则有()222222e e e e λλT

T ==∑，所以22Y e T =X 就是所求的第二主成

分，它的方差最大值2λ。一般地，我们可求得第i 个主成分为i i Y e T =X ，它具有方差i λ，1,2,,i p = 。

以上结果告诉我们，求X 的各主成分等价于求它的协方差矩阵∑的各特征值及相应的正交单位化特征向量，按特征值由大到小所对应的正交单位化特征值为

()1212,0

Cov Y Y a a T ==∑

组合系数的12,,p X X X 的线性组合分别为X 的第一、第二、直至第p 个主成分，而主成分的方差等于相应的特征值。

设∑是()12,,p T

X =X X X 的协方差矩阵，∑的特征值及相应的正交单位化

特征向量分别为120p λλλ≥≥≥ 及12,,,p e e e ,则X 的第i 个主成分为

1122,i i i i ip p Y e e e e T =X =X +X +X 1,2,,i p =

其中()12,,,,i i i ip e e e e T

= 且

()(),1,2,,,0,i i i i i i i i k i k Var Y e e e e i p Cov Y Y e e i k λλT T

T ?====??==≠??∑∑

佛山需求量与各因子之间的关系：

10.1510.2120.153

20.4610.3620.13330.4210.0420.6730.5310.2520.223w x x x w x x x w x x x f w w w =++=++=-+=++

可以得出影响佛山需求量的主要因素是人均GDP ，第三产业所占比重，消

费水平。佛山供给量与各因子之间的关系

f z =

可以得出里程利用率，万人拥有量，空载率，燃料费用各因素均影响佛山的供给量。

深圳需求量与各因子之间的关系：

414

51445

0.210.20.150.510.720.28x x x x f ωωωω=+=-+=+ 可以得出影响深圳需求量的因素为人均GDP,二氧化氮浓度。

深圳供给量与各因子之间的关系

712

7

0.130.15x x f ωω=-= 可以得出影响深圳供给量的因素主要有里程利用率，空载率。

灵敏度分析：

()0/,lim

*/x x x dx u

s u c u u du x

→?==?

2dx

c du

= (),0y u x = (),*2*3dx u x

s x u c c du x y =

==

表示若r 下降0.01则导致x 的下降

01u u c ==

经过灵敏度分析检验，()i x w ，

()i

w f

此方程可使用。

深圳供给量与需求量随各因素的变化：

图（1）

图（2）

0.16

0.17

0.18

-2024681012里程利用率

自然环

境

深圳市供给量

0.18

-50510152025人均GDP

车辆空载率

深圳市需求量

5.1.3数据拟合（相关程序见附录三）

对所选取的供应量及需求量进行回归分析，从而得到函数图像。

（1）分析佛山深圳两大城市中供给量及需求量间的关系,运用MATLAB 编程绘制如下图形

图（3）

0.10470.0884

0.16650.3773

y x y x =+=+

分析：由图形可知，当需求量为0时佛山的供给量大于深圳的供给量，且其总体供给量也大于深圳的供给量，两市的供给量均随需求量的上升而增大，即需求量与供给量呈正相关。

5.1.4灰色预测模型分析（相关表格见附录二，相关程序见附录三） 1 灰色预测模型定义

通过不完全的，少量的信息建立数学模型并对未来趋势加以预定的一类预测方法。灰色系统又是黑箱概念的一种推广，黑箱系统是指信息完全未确定的系统，可知灰色系统即为既有未知信息又有已知信息的系统。 2 灰色系统的特点

（1）可以用灰色数学来预测不确定数量，将其量化 （2）灰色系统可以处理贫信息系统的数据 （3）可以充分利用已知信息，寻找事件内部规律 3 灰色的生成方式

供需关系

需求量

共给量

累加生成累减生成均值生成级比生成 4 灰色模型的精度检验

模型选定后往往不能直接进行使用，而要对其进行检验，常用的检验方法有：相对误差大小校验法；关联度检验法；后验差检验法。

下面介绍后验差检验法：设按GM 建模法求出()

1∧X ，并将()

1∧X 做一次累减转换()

0∧X ，即()

()

()()

()

0000[1,(2),,()]n n ∧∧∧∧X

=X

X

X 。

计算残差得

()

0(0)

(0)

()()(),1,2...e k k k k n x x ∧∧X

==-=

原始序列0X 及残差序列E 的方差分别1S 和22S ，则

221

1

1[()]n S k x n x =-∑

2

221

1[()]n S k x n x =-∑

其中

(0)11

11(),()n n

x x k e e k n n ==∑∑

计算后验差比为

21C S S =

佛山市需求量预测佛山供给量预测

深圳市供给量预测 深圳需求量预测

图（4）

5.2.1问题二的建立与分析

问题二要求对各公司提出的补贴方案进行分析，以此来判定对于“打车难”这一社会问题是否有帮助，选取油价补贴作为评判打车难易程度的重要指标。

*10.2140.2220.1540.5120.7210.2820.10940.1862

Y b l c

Z x x Z x x f z z f x x =-=+=-+=-+=+

c 为政府燃油补贴，c 的数值上升了，出租车司机的燃油费用就降低了，而燃油费用直接影响了这个城市的供给量，使供给量呈现上升趋势，供给量略大于需求量呈现优势，极大地缓解了打车难这一现象。

5.3.1问题三的建立与分析

软件平台的创建，补贴方案的产生及其合理性验证出租车服务软件新平台的创建。

针对打车难这一现象，建立一个新的打车软件平台，拟采用随机抽取一个地区某一天的出租车与乘客的经纬度值进行定位的方法分析最优软件服务方案。 以深圳的某一时间为例：

图（5）深圳市乘客日分布图

-3

-2-10123

-2-1

1

2

3

4

图（6）深圳市出租车日分布图

（1）图论模型的建立

图论应用广泛，分为无向图与有向图，将抽象的事物具体化，常用于解决单向的短距离的问题。

现有的打车软件拥有强大的搜索定位功能，当乘客使用软件时，其位置信息会通过GPS 反馈到平台中，各个出租车的位置坐标也存储在平台中，这样就可以建立以车为起点，乘客为终点的有向图，只有在图中寻找出车到人的最短距离才能使双方达到利益最大。图论算法对于解决最优路径具有绝对的优势，本模型将采用图论中最精确的Dijkstra 算法分析得出乘客与出租车之间的最优距离。

min 12d y y =-

城市土地面积不断扩大，车辆密度也随之逐年增加，很难定量的分析平均土地车量占有率，现将某一大区域划分五个小区域以每个小区域为单位研究各个变量。

图（7）各区域间的距离分布如图

（2）遗传算法

出租车的运力情况往往受天气，路况等自然因素影响，由于这些因素的影响，在保证最小路径行驶的前提下也不一定能在最短的时间内到达目的地，在这些因子的影响下，既在走最短路程的同时所用的时间也是最小的，遗传算法善于搜寻全局最优解，采用遗传算法，在考虑影响因子的条件下，可得到最短的行驶时间min t ， 则有

min min t

d e

采用常规方法求解最小路径与最短时间需要循环的次数多，计算量也相应复杂，因此可采取从两侧向中间查找的方式，建立最短路径与最短时间之间的内在联系，当两种模型在各自的领域中互相产生了交集，则查找停止，此状态下的解就是最优解，大大缩短了查找时间，为乘客与司机带来双向便利。算法具体流程图如下：

图（8）算法实现流程图

当最小时间与最短距离相遇停止迭代，此时即为满足供需要求的最佳方案，保证出租车司机在行驶最小距离的前提下，克服道路阻抗以最短的时间

达到。

二、实施以服务软件为平台的出租车补贴方案

出租车司机获取乘客坐标信息: 当y=0时,即返回值为空，代表司机获取乘

客位置信息失败，此时无人乘车；当y=1时，代表司机获取乘客信息成功，获取乘客坐标的数量即代表该软件服务平台的点击率i ,根据软件服务平台制定如下补贴方案：

m d =

三、验证补贴方案的合理性

根据深圳市滴滴打车软件利用GPS 定位技术随机抽取某一时间的车辆所在位置经纬度，与乘客所在位置的经纬度进行距离分析,已知0.35a =公里/元，2.88d =公里，160m =元。

1)当只能获取车辆坐标，无法获取人的坐标时说明无人使用软件打车 ，此时，用车的起点位置与终点位置间的距离进行燃油补贴：

1

**2

z a d m =>

由此可知出租车在无营业额的条件下仍能补贴一部分钱，且这部分钱足以抵消油价的一半以上，因此第一种补贴方案合理。

2)当同时获取人与车的经纬度位置时选用第二种补贴方案，由调查知该车18i =小于

25，选用0.5*z i =,

0.5*189z ==（元）

根据深圳居民平均消费水平及人均补贴量可知，补贴价钱为9元完全合理。 由此可知此新型软件信息服务平台补贴政策合理，可实行。

六、模型评价

模型的优点模型的优点：

1. 本文采用多个指标进行衡量，使结果更加准确。

2. 本文数据经过归一化处理，统一了单位，结果可信。

3.本文运用遗传算法加图论共同寻找最优化方案，涉及数据范围广 模型的缺点：

1. 对不同地区选取指标数据量有限，只对当地情况适应，对外无可行性。

2.时间选取跨度可能较大，影响整体效果。

3.部分考虑的因素偏离题目所要求的，同时建模中存在模型多次重复使用，

显得比较单一。

七、模型推广

通过建立新的软件服务平台，建立了乘客与出租车司机之间的信息联系，借助GPS定位来确定乘客与司机之间的距离，分别通过图论和遗传算法的叠加，来确定一条最短时间也是最短路径。在已建立的服务平台上，考虑到“乘客共乘”现象，可以相对提高出租车的满载率，缓解一部分供不应求的难题，同时出租车师傅收入也有所提高，缓解招手难的打车现象。

参考文献

[1] 韩彪,王树佳,汪颖,王江.深圳市出租小汽车需求规模探索[J]. 特区经济. 2005(01)

[2] 卢毅,王礼志,卢旭.城市出租车需求仿真预测模型研究[J]. 长沙交通学院学报. 2007(04)

[3] 孙喜梅,李猛,韩彪. 基于类比分析的深圳市特区外出租车需求量预测[J]. 交通信息与安全. 2009(05)

[4] 韩彪.对深圳出租车市场10个热点问题的解释[J]. 深圳大学学报(人文社会科学版). 2010(02)

附录1：利用spss软件统计分析：

提取方法：主成份分析。

图（1.1）

提取方法：主成份分析。

图（1.2）

表4

成份矩阵a

成份

1 2 3

提取方法 :主成份。a

a. 已提取了 3 个成份。

表5

成份得分系数矩阵

成份

1 2 3 Zscore(自然增长率) -.238 .498 .437 Zscore(人均GDP) .343 .389 -.046 Zscore(消费水平) .241 .141 .693

表6

提取方法：主成份分析。