空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案
空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用
有答案
文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
一．空间直角坐标系
如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标
系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标
系，即右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，
中指指向z轴的正方向．
二．空间直角坐标系中的坐标
空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标[例1] 在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．
[例2] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝
b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位
置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．
变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。
2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。
3. 在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，
(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；
(2)写出棱PB的中点M的坐标．
解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，
且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2＝PA2－OA2＝2a2－2a2＝2a.
以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2a,0,0)，D(0，－2a,0)，P(0,0，2a)．
(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(0＋0
2
，
2a＋0
2
，
0＋2a
2
)，
即M(0，
2
2
a，
2
2
a)．
[例3] 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．
变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P关于各坐标平面对称的点的坐标．
解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．
2.在棱长都为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC－A 1B1C1各顶点的坐标．
[正解] 取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连线OA，OO1，
根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且
|OA|＝
3
2
×2＝3，
以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC—A1B1C1各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2)．
三．空间向量在立体几何中的应用
1. 直线的方向向量与平面的法向量
(1) 直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．
(2) 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n⊥α.此时把向量n叫做平面α的法向量．
2. 线面关系的判定
直线l
1
的方向向量为e1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为e2＝(a2，b2，
c
2
)，平面α的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面β的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
(1) 如果l
1∥l
2
，那么e1∥e2?e2＝λe1?a2＝λa1，b2＝λb1，c2＝
λc
1
．
(2) 如果l
1⊥l
2
，那么e1⊥e2?e1·e2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．
(3) 若l
1
∥α，则e1⊥n1?e1·n1＝0?a1x1＋b1y1＋c1z1＝0．
(4) 若l
1
⊥α，则e1∥n1?e1＝k n1?a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1．
(5) 若α∥β，则n1∥n2?n1＝k n2?x1＝kx2，y1＝ky2，z1＝kz2．
(6) 若α⊥β，则n1⊥n2?n1·n2＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
3. 利用空间向量求空间角
(1) 两条异面直线所成的角
①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是?
????
0，π2.
②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|.
(2) 直线与平面所成的角
①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是?
?????
0，π2.
②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|
(3) 二面角
①二面角的取值范围是[0，π]． ②二面角的向量求法：
(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．
(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量，则向量n 1
与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．
题型1 空间向量的基本运算
[例1]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.
(1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．
解：∵A (－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →，
∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．
(1)∵cosθ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5
＝－10
10，∴a 和b 的夹角为
arccos ?
????－
1010. (2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，
k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，
∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝
0，解得k ＝－5
2
或2.
题型2 空间中的平行与垂直
例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，
AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．
求证：(1) AM∥平面BDE ；(2) AM⊥平面BDF.
证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N ，连结NE.则
N ? ??
??22，2
2，0，E(0，0，1)，
A(2，2，0)，M ? ????22，22，1.∴ NE →＝? ??
??－22，－22，1，AM →＝? ??
??－22，－2
2，1.
∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE∥AM.∵ NE
平面BDE ，AM 平面
BDE ，∴ AM ∥平面BDE.
(2) 由(1)知AM →＝? ??
??－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴
DF →＝(0，2，1)，
∴ AM →·DF →＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F ，∴ AM ⊥平面
BDF.
题型3 空间的角的计算
例 3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.
(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2) 求二面角F-OD-E 的正弦值．
解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．
设F(x 0
，y 0
，0)(x 0
>0，y 0
>0)，且x 20
＋y 20
＝4，则EF →＝(x 0
，y 0
－1，－2)，DE →＝
(0，1，0)，
∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴ F(3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2，2)．
设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝????????
EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则?????
n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即?????z 1＝0，
3x 1＋y 1＝0.
令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平
面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝?
????
1，0，32.
设二面角F-OD-E 的平面角为β，则|cos β|＝??????n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77
.∴ sin
β＝
427
. （翻折问题）例 4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．
(1) 求证： DC⊥平面ABC ； (2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； (3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．
解：(1) ∵ 平面ABD⊥平面BDC ，又∵ AB⊥BD，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB⊥DC，又∵ ∠C＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC ABC 平面ABC ，DC 平面ABC ，故DC⊥平面ABC.
(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，
设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ? ??
??32a ，3
2a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD →＝
? ??
??12a ，－3
2a ，0，BF →＝(a ，0，a)．
设BF 与平面ABC 所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC ，
∴ cos ? ????π2－θ＝CD →·BF →|CD →|·|BF →|＝12a 2a ·2a ＝24，∴ sin θ＝2
4.
(3) 由(2)知 FE⊥平面ABC, 又∵ BE
平面ABC ，AE
平面ABC ，∴
FE⊥BE，FE ⊥AE ，
∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝
1
2AB 2＋BC 2＝
7
2
a ， ∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE ＝－17，即所求二面角B －EF －A 的余弦为－1
7
.
课后巩固练习：1.(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．
(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；
(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．
解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1
B →＝(2，0，－4)，
C 1
D →＝(1，－1，－4)． 因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|
＝1820×18＝31010，所以异面直线
A 1
B 与
C 1
D 所成角的余弦值为
310
10
. (2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，
因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1
→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，
取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．
取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝5
3.
因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为
5
3
. 2. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是
AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝2
2
AB.
(1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2) 求二面角DA 1CE 的正弦值． (1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF 平面A
1CD ，BC 1平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD.
(2) 由AC ＝CB ＝2
2
AB 得AC⊥BC. 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建
立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1
(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE
→＝(0，2，1)，CA 1
→＝(2，0，2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则?????
n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即?
??x 1＋y 1＝0，
2x 1＋2z 1＝0.
可取n ＝(1，－1，－1)．
同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则?????m ·CE →＝0，
m ·CA 1→＝0.
可取m ＝(2，1，－2)．
从而cos 〈n ，m 〉＝
n·m |n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝6
3
.即二面角D-A 1C-E
的正弦值为6
3
.
3. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，
∠ACB ＝∠ACD＝π
3
，F 为PC 的中点，AF ⊥PB.
(1) 求PA 的长；
(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值．
解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD，
故AC⊥BD.以O 为坐标原点，OB →、OC →、AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π
3
＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CDsin
π
3
＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．
因为PA⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ? ????0，－1，z 2，又AF →＝? ????0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z)，因AF⊥PB，故AF →·PB →＝
0，即6－z 2
2
＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA
→|＝2 3. (2) 由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由n 1
·AD →＝0，n 1
·AF →＝0，
得?????－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，
因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0，
得?????3x 2＋3y 2＝0，
2y 2＋3z 2＝0，
故可取n 2＝(3，－3，2)．从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1
8
.
故二面角B-AF-D 的正弦值为37
8
.
4. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．
(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SD
DB
为何值时，CD ⊥AB ；
(2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．
解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．
(1) 设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，
0，3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)．
因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23
.
故SD DB ＝1
2
时， CD ⊥AB. (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，
z)，则n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，则?????3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得?????x ＝z ，y ＝3z ，
取n 2＝(1，3，1)，
所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝5
5. 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55
.
5. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．
(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小； (2) 求证：直线BF∥平面AD 1E.
(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．
则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，
E(1，1，1)，∴ED
1
→＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)， AE →＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)，
AC →＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．
设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)． 由
?????ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0???－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0???a ＝2，b ＝－1，由???
??AC →·n ＝0，
AE →·n ＝0??
?－c ＋d ＝0，d ＋1＝0
???c ＝－1，
d ＝－1，
∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n
＝m·n |m |·|n |
＝－2＋1＋1
6×3
＝0，∴二面角D 1AEC 的大小为90°.
(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.
∵E 、F 分别是棱BB 1、AD 的中点，
∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG.
又D
1E 、D 1A 平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ，
∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.
∵GF 、GB 平面BGF ，∴平面BGF∥平面AD 1E. ∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF∥平面AD 1E.
(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD 1E ，亦可) 6. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝是BC 的中点．
(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．
解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，
0)，A 1
(0，0，3)，B 1
(2，0，3)，C 1
(0，4，3).A 1
D →＝(1，2，－3)，A 1C 1
→＝
(0，4，0).
设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，
n ·A 1C 1
→＝4y ＝0.
∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝＝(3，0，1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，
∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→·n 〉|＝
3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535
.
(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1
→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1
D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1
→＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.
令c ＝2，得b ＝＝(0，3，2)．
设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，
∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝2
65
，则sin α
＝3765
＝3455
65.
∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为
3455
65
. 7. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.
(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；
(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为25
5
. 解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，
B(0，2，0)，A 1
(0，2，2)，B 1
(0，4，2)，AA 1
→＝(0，2，2)，BC →＝B 1
C 1
→＝(2，－2，
0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1
→·BC →|AA 1→|·|BC →|
＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC
所成的角是π
3
.
(2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则
P(2λ，4－2λ，2)．
设平面PAB 的法向量为n 1
＝(x ，y ，z)，AP →＝(2λ，4－2λ，2)，
则?????
n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0.?
??λx＋2y －λy＋z ＝0，2y ＝0.???z ＝－λx，
y ＝0.
故n 1＝(1，0，－λ)，
而平面ABA 1的法向量是n 2＝(1，0，0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2
|n 1|·|n 2|
＝
11＋λ2
＝255，解得λ＝1
2，即P 为棱B 1C 1中点，其坐标为P(1，3，2)． 近六年高考题
1. 【2010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.
(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE ；(3)求二面角A-BE-D 的大小．
【答案】设AC 与BD 交与点G 。因为EF 1
2
所以四边形AGEF 为平行四边形.所以AF EG ??（II ）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面相互垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD.
如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C-xyz .则C （0，0，0），A （2，
2，0），B （0，2，0）.
所以22(
,,1)CF =，(0,2,1)BE =-，(2,0,1)DE =-.所以0110CF BE =-+=,1010CF DE =-++=
所以CF BE ⊥,CF DE ⊥.所以CF ⊥BDE.
(III) 由（II
）知，2(
,1)22
CF =是平面BDE 的一个法向量.设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =,则0n BA =，0n BE =.
即(,,)(2,0,0)0(,,)(0,2,1)0
x
y z x y z =-=?
?
?所以0,x =
且,z = 令1,y =则z =所以n =.
从而3
cos ,2||||
n CF n CF n CF ??=
=。 因为二面角A BE D --为锐角， 所以二面角A BE D --的大小为
6
π
. 2．【2011高考北京理第16题】（共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，
PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB ＝，60BAD ∠?＝.
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若PA PB ＝，求PB 与AC 所成角的余弦值； （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长. 3. 【2012高考北京理第16题】（本小题共14分） 如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2.
(I)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；
(II)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；
(III)线段BC 上是否存在点P ，使平面A
1DP 与平面A 1
BE 垂直说明理由 ∴cos ||||1CM n CM n θ?=
===
?，
∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45?。
A
C
4. 【2013高考北京理第17题】(本小题共14分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5， (1)求证：AA 1⊥平面ABC ；
(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；
(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求
1
BD
BC 的值． 【答案】解：(1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .
因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面
ABC .
(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，
B 1(0,3,4)，
C 1(4,0,4)．
设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1110,
0,A B A C ??=???=??n n 即340,40.y z x -=??=?
令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈n ，m 〉＝
16
||||25
?=n m n m .由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为
1625
. 5. 【2014高考北京理第17题】（本小题满分13分）
如图，正方体MADE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥
ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱FD ，PC 分
别交于G ，H . （1）求证：FG AB //；
（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.
6. 【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=?，O 为
EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；
(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．
【解析】解：（Ⅰ）证明：AEF ?为等边三角形，O 为EF 中点，
AO EF ∴⊥
又平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF
平面EFCB EF =，AO ∴⊥平面EFCB ，
AO BE ∴⊥，
（Ⅱ）以O 为原点建立如图坐标系(),0,0E a ，(),0,0F a -，()
0,0,3A a ，
()()
2,32,0B a -
()
,0,3EA a a →
=-，()()
2,32,0EB a a →
=--平面AEF 的法向量()0,1,0m →
=；设平面
AEB 的法向量(),,n x y z →
=， 则030300n EA x z x y n EB →→
→→???=-+=??
???+=???
?=?取(
)
3,1,1
n →
=-5
cos ,15
m n
m n m n
→→
→→
→
→
?∴=
=
=-
?? 又二面角F AE B --为钝角，∴二面角F AE B --的余弦值为5-． （Ⅲ）BE ⊥平面AOC ，BE OC ∴⊥，()()
2,32,0OC a →
=--，
()()()2232320BE OC a a a →→
?=--+-?-=，解得2a =（舍）或43
a =
考点定位：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质，利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题.
7.【2016高考北京理数】（本小题14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，
PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（1）求证：
PD ⊥平面PAB ；
（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD 若存在，求AM
AP
的值；若不存在，说明理由. 【解析】⑴∵面
PAD
面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD ∵AB ⊥AD ，AB ?面ABCD ∴
AB ⊥面PAD
∵PD ?面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB ⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO
∵CD AC ==
CO ⊥AD ∵
PA PD =
∴PO ⊥AD 以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，
则(11
1)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，
011,120
n PD n n PC ??=???
?=-?
????=??，，则PB 与面PCD 夹角θ有 ⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD 设AM AP
λ=，()0,','M y z 由（2）知()0,1,0A ，
()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=?-∴
()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量
∴0BM n ?=即102
λλ-++=∴1=4
λ∴综上，存在M 点，即当14
AM AP
=时，M 点即为所
求.