2009年高考立体几何文科大题及答案
高考立体几何文科大题及答案
1.（2009全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥
中，底面
为矩形，
底面
，
，
，点
在侧棱
上，
。
（I）证明：
是侧棱
的中点；
求二面角
的大小。
2.（2009全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC
（Ⅱ）设二面角A-B
D-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
3.（2009浙江卷文）如图，
平面
，
，
，
，
分别为
的中点．（I）证明：
平面
；（II）求
与平面
所成角的正弦值．
4.（2009北京卷文）如图，四棱锥
的底面是正方形，
，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面
；（Ⅱ）当
且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱
中，
、
分别是
、
的中点，点
在
上，
。求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）平面
平面
.
6.（2009安徽卷文）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD 平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，
和
是平面ABCD内的两点，
和
都与平面ABCD垂直，（Ⅰ）证明：直线
垂直且平分线段AD：.
（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。
7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，
，
．以
的中点
为球心、
为直径的球面交
于点
．
（1）求证：平面
⊥平面
；
（2）求直线
与平面
所成的角；
（3）求点
到平面
的距离．
8.（2009四川卷文）如图，正方形
所在平面与平面四边形
所在平面互相垂直，△
是等腰直角三角形，
（I）求证：
；
（II）设线段
、
的中点分别为
、
，求证：
∥
（III）求二面角
的大小。
9.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝
a(0<
≦1).
(Ⅰ)求证：对任意的
（0、1），都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求
的值。
10.（2009湖南卷文）如图3，在正三棱柱
中，AB=4,
,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE
E.（Ⅰ）证明：平面
平面
; （Ⅱ）求直线AD和平面
所成角的正弦值。
11.（2009辽宁卷文）如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N 分别为AB，DF的中点。（I）若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长；
（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。
12.（2009四川卷文）
如图，正方形
所在平面与平面四边形
所在平面互相垂直，△
是等腰直角三角形，
（I）求证：
；
（II）设线段
、
的中点分别为
、
，
求证：
∥
（III）求二面角
的大小。
13.（2009陕西卷文）如图，直三棱柱
中， AB=1，
，∠ABC=60
.
(Ⅰ)证明：
；
（Ⅱ）求二面角A—
—B的大小。
14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥
中，⊿
是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 （Ⅰ）证明：AB⊥PC （Ⅱ）若
，且平面
⊥平面
，
求三棱锥
体积。
15.（2009福建卷文）如图，平行四边形
中，
，
将
沿
折起到
的位置，使平面
平面
（I）求证：
（Ⅱ）求三棱锥
的侧面积。
16.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体
中，
∥
，
，
，四边形
为平行四边形，
平面
，
．求：
（Ⅰ）直线
到平面
的距离；
（Ⅱ）二面角
的平面角的正切值．
17.(2009年广东卷文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD
平面PEG
参考答案
1、【解析】（I）解法一：作
∥
交
于N，作
交
于E，
连ME、NB，则
面
，
,
设
，则
,
在
中，
。
在
中由
解得
，从而
M为侧棱
的中点M.
解法二:过
作
的平行线.
（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
过
作
∥
交
于
,作
交
于
,作
交
于
,则
∥
,
面
,面
面
,
面
即为所求二面角的补角.
法二：利用二面角的定义。在等边三角形
中过点
作
交
于点
，则点
为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证
，则
即为所求二面角.
解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则
。
（Ⅰ）设
，则
，
，由题得
，即
解之个方程组得
即
所以
是侧棱
的中点。
法2：设
，则
又
故
，即
，解得
，
所以
是侧棱
的中点。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，又
，
，
设
分别是平面
、
的法向量，则
且
，即
且
分别令
得
，即
，
∴
二面角
的大小
。
2、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF
，从而EF
DA。
连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面
，故AF⊥平面
，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。