正比例函数与反比例函数基础知识点

正比例函数与反比例函数基础知识点

知识考点：

1、掌握正、反比例函数的概念；

2、掌握正、反比例函数的图象的性质；

3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。 精典例题：

【例1】填空：

1、若正比例函数13

52

)1(---=m m x m y 的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解

析式是 。

2、已知点P （1，a ）在反比例函数x

k

y =

（k ≠0）的图像上，其中322++=m m a （m 为实数），则这个函数的图像在第 象限。

3、如图，正比例函数kx y =（k ＞0）与反比例函数x

y 3

=

的图像交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，则ABCD S 四边形＝ 。

y

x

例1图

O D

C

B

A

y

x

例2图

P

D

C

B A

O

答案：1、x y 3-=；2、一、三；3、6；4、（2，－4）

【例2】如图，直线b x y +-=（b ＞0）与双曲线x

k

y =

（k ＞0）在第一象限的一支相交于A 、B 两点，与坐标轴交于C 、D 两点，P 是双曲线上一点，且PD PO =。

（1）试用k 、b 表示C 、P 两点的坐标；

（2）若△POD 的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若△OAB 的面积等于34，试求△COA 与△BOD 的面积之和。 解析：（1）C （0，b ），D （b ，0） ∵PO ＝PD ∴22b OD x P ==

，b

k

y P 2=

∴P （

2b ，b

k 2） （2）∵1=?POD S ，有1221=??b

k

b ，化简得：k ＝1 ∴x

y 1

=

（x ＞0） （3）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），由AOB COD BOD COA S S S S ????-=+得：

342

1

2121221-=+b by bx ，又b x y +-=22得38)(221-=+-+b b x b bx ，即38)(12=-x x b 得[

]

1924)(212

212

=-+x x x x b ，再由??

?

??=+-=x y b

x y 1

得012=+-bx x ，从而b x x =+21，121=x x ，从而推出0)12)(4)(4(2

=++-b b b ，所以4=b 。

故348-=+??BOD COA S S

评注：利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法。求两函数图像的交点坐

标，即解由它们的解析式组成的方程组。 探索与创新：

【问题】如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，且OA ＝OB ＝1。这条曲线是函数x

y 21

=

的图像在第一象限的一个分支，点P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a 、b ），由点P 向x 轴、y 轴所作的垂线PM 、PN ，垂足是M 、N ，直线AB 分别交PM 、PN 于点E 、F 。

（1）分别求出点E 、F 的坐标（用a 的代数式表示点E 的坐标，用b 的代数式表示点F 的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；

（2）求△OEF 的面积（结果用含a 、b 的代数式表示）；[

（3）△AOF 与△BOE 是否一定相似，请予以证明。如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由。

（4）当点P 在曲线x

y 21

=上移动时，△OEF 随之变动，指出在△OEF

的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论。

解析：（1）点E （a ，a -1），点F （b -1，b ） （2）EPF FNO EMO MONP EOF S S S S S ????---=矩形 ＝2)1(2

1

)1(21)1(21-+-----b a b b a a ab ＝

)1(2

1

-+b a （3）△AOF 与△BOE 一定相似，下面给出证明

)

(b a P ，y

x

问题图

F

E

N

M B A

O

∵OA ＝OB ＝1 ∴∠FAO ＝∠EBO

BE ＝a a a 2)11(22=+-+ AF ＝b b b 2)11(22=++- ∵点P （a ，b ）是曲线x

y 21

=

上一点 ∴12=ab ，即AF ·BE ＝OB ·OA ＝1 ∴

BE

OA

OB AF =

∴△AOF ∽△BOE

（4）当点P 在曲线x

y 21

=

上移动时，△OEF 中∠EOF 一定等于450，由（3）知，∠AFO ＝∠BOE ，于是由∠AFO ＝∠B ＋∠BOF 及∠BOE ＝∠BOF ＋∠EOF ∴∠EOF ＝∠B ＝450 评注：此题第（3）（4）问均为探索性问题，（4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后，（4）的解决就不难了。在证明三角形相似时，∠EBO ＝∠OA F 是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了点P （a ，b ）在双曲线x

y 21

=

上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键。 跟踪训练： 一、选择题： 1、下列命题中：

①函数x y 3=（2≤x ≤5）的图像是一条直线；

②若y 与z 3-成反比例，z 与x 成正比例，则y 与x 成反比例；

③如果一条双曲线经过点（a -，b ），那么它一定同时经过点（b -，a ）； ④如果P 1（1x ，1y ），P 2（2x ，2y ），是双曲线x

y 4

-=同一分支上的两点，那么当1x ＞2x 时，1y ＞2y 。

正确的个数有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 2、已知M 是反比例函数x

k

y =

（k ≠0）图像上一点，MA ⊥x 轴于A ，若4=?AOM S ，则这个反比例函数的解析式是（ ） A 、x

y 8

=

B 、x y 8-=

C 、x y 8=或x y 8-=

D 、x

y 4

=或x y 4-=

)

(b a P ，y

x

问题图

F

E

N

M B A

O

3、在同一坐标系中函数kx y =和x k y 1

-=

的大致图像必是（ ） x y

x y x y

x

y

A B C D

4、在反比例函数x

m y 2

1--=的图像上有三点（1x ，1y ），（2x ，2y ），（3x ，3y ）若1x

＞2x ＞0＞3x ，则下列各式正确的是（ ）

A 、3y ＞1y ＞2y

B 、3y ＞2y ＞1y

C 、1y ＞2y ＞3y

D 、1y ＞3y ＞2y 5、在同一坐标系内，两个反比例函数x k y 1+=

的图像与反比例函数x

k y 3

-=的图像（k 为常数）具有以下对称性：既关于x 轴，又关于y 轴成轴对称，那么k 的值是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0

二、填空题：

1、若反比例函数7

2

2)5(---=m m x m y 在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，则m

＝ 。

2、A 、B 两点关于y 轴对称，A 在双曲线x

y 1

=上，点B 在直线x y -=上，则A 点坐标是 。

3、已知双曲线x

k

y =

上有一点A （m ，n ），且m 、n 是方程0242=--t t 的两根，则k ＝ ，点A 到原点的距离是 。

4、已知直线x n m y )2(+=与双曲线x m n y -=3相交于点（2

1

，2），那么它们的另一个交点为 。

5、如图，Rt △AOB 的顶点A 是一次函数3++-=m x y 的图像与反比例函数x

m

y =的图像在第二象限的交点，且1=?ABO S ，则A 点坐标是 。 三、解答题：

1、如图，直线l 交x 轴、y 轴于点A 、B ，与反比例函数的图像交于C 、D 两点，如果

选择第5题图

x

y

B

O

A

A （2，0），点C 、D 分别在一、三象限，且OA ＝O

B ＝A

C ＝B

D ，求反比例函数的解析式。

第1题图

x

y

D

C B A

O

第3题图

x

y

N M B

A

O

a

第4题图

x

y

E C

Q D

P

B

A

O

2、已知21y y y +=，1y 与2x 成正比例，2y 与1-x 成反比例，当x ＝－1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝－3，

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当2=

x 时，求y 的值。

3、如图，反比例函数x

y 8

-

=与一次函数2+-=x y 的图像交于A 、B 两点。 （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积。 4、如图，已知双曲线x

y 163

=

（x ＞0）与经过点A （1，0），B （0，1）的直线交于P 、Q 两点，连结OP 、OQ 。

（1）求证：△OAQ ≌△OBP ；

（2）若C 是OA 上不与O 、A 重合的任意一点，CA ＝a )10(<

参考答案

一、选择题：CCCAC 二、填空题：

1、－2；

2、（1，1）或（－1，－1）；

3、2-=k ，52；

4、（2

1

-，2-） 5、（－1，2） 三、解答题：

1、x y 222+=

；2、（1）15212--=x x y ；（2）22

9

5-； 3、（1）A （－2，4），B （4，－2）；（2）6； 4、（1）略；（2）①324-=a ；②存在，C （3

1

，0）