第六章 空间解析几何要求与练习含答案

第

六章 要求与练习

一、学习要求

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法.

3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.

7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程.

二、练习

1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量.

解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的

分向量2k ；（2）AB =

；（3）AB

（4）AB 382)

i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -.

解：(

)

2

220||||||2||||cos60a b a b

a b a b +=

+=++=

()

2

220||||||2||||cos60a b a b a b a b -=

-=+-=7.

3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求

（1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦.

解（1）2223a =

+=平行于向量a 的单位向量221

{,,}333±；

（2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999

-.

4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标.

解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）；

5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求

（1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影； （3）以a 、b 为边的平行四边形的面积以及夹角余弦. 解（1）()6,1,10,137c a b c =?=--=，0

6,1,10)

c --； （2）()

cos ,17

a b a b a b

?=

=

?；

（3）()

sin ,137S a b a b a b =?=?=()

cos ,a b =

6、设0a b c ++=，||3a =，||2b =，||4c =，求a b b c c a ++. 解：(

)

2

22220a b c

a b c a b b c c a ++=+++++=，所以a b b c c a ++=29/2-；

7、求参数k ，使得平面29x ky z +-=分别适合下列条件： （1）经过点(5,4,6)--； （2）与平面2433x y z ++=垂直； （3）与平面230x y z -+=成

4

π

的角； （4）与原点相距3个单位；

解：7、（1）2； （2）1； （3）2

±

； （4）2±； 8、已知平面平行于y 轴，且过点(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -，求平面的方程.

解：设平面方程为：0Ax By D ++=，将(1,5,1P -和(3,2,1)Q -代入求得

1,1, 2.A B D ===-该平面方程为：20x z +-=.

9、已知平面过(0,0,0)O 、(1,0,1)A 、(2,1,0)B 三点，求该平面方程.

解：设平面方程为：0Ax By Cz ++=，将(1,0,1)A 、(2,1,0)B 代入平面方程得，

1,2,1,A B C ==-=-，该平面方程为20x y z --=.

10、求过点(1,2,1)M ，且垂直于已知两平面0x y +=与510y z +-=的平面方程. 解：两平面的法向量为：()()121,1,0,0,5,1n n ==，所示平面的法向量为：

()()()121,1,00,5,11,1,5n n n =?=?=-，则所示的平面方程为：540x y z -+-=.

11、把直线1

24

x y z x y z -+=??

++=?化为对称式方程及参数方程.

解：两平面的法向量为：()()121,1,1,2,1,1n n =-=，则直线的方向向量为：

()()()121,1,12,1,12,1,3s n n =?=-?=-，取直线上一点为：(1，1，1)，则直线对称式方

程为：111,213x y z t ---===-参数方程为:12113x t

y t z t

=-??=+??=+?

.

解二：若取点为：(0，-3/2,5/2) ,则直线对称式方程为：3/25/2

213

x y z --==

- ， 参数方程为:2,3/2,35/2x t y t z t =-=+=+.

12、求过点(0,2,4)且与平面21x z +=及32y z -=都平行的直线方程.

解：两平面的法向量为：()()121,2,2,0,1,3n n ==-，则直线的方向向量为：

()()()111,2,20,1,32,3,1s n n =?=?-=-，则直线方程为：

24231

x y z t --===-，或2234x t

y t z t =-??

=+??=+?

13、一直线过点(2,3,4)A -且和y 轴垂直相交，求其方程.

解：过点(2,3,4)A -的直线与y 轴垂直相交的交点为(0，-3，0)，直线的方向向量为：

(2，0，4)，所以直线方程为：231204x y z -++==

，即30

2124

y x z +=??

?-+=??. 14．将xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为(

)x z

y 52

2

2

=+±，即x z y

522

=+。

15．画出下列各方程所表示的曲面：

(1)2

2

222??

? ??=+??? ??-a y a x ；(2)14922=+z x ；(3)22x z -=。

16．

(1)2=x ；(2)1+=x y ；1=。

17．说明下列旋转曲面是怎样形成的？

(1)14

222

=+-z y x ；(2)()222

y x a z +=-。 解：(1)由xoy 坐标面上的双曲线14

2

2

=-y x ，绕y 轴旋转一周或是yoz 坐标面上的双曲线14

22

=+-z y ，绕y 轴旋转一周得到。 (2)是yoz 坐标面上关于z 轴对称的一对相交直线()22

y a z =-，即a y z +=和

a y z +-=中之一条绕z 轴旋转一周；

或是xoz 坐标上关于z 轴对称的一对相交直线()22

x a z =-，即a x z +=和a x z +-=中之一条，绕z 轴旋转一周。

18．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？

(1)???-=+=3215x y x y ；(2).3

19

42

2??

???==+y y x 解：(1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；

(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示椭

圆柱面19

42

2=+y x 与其切平面3=y 的交线。 19．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线?????=-+=++0

16

22

222

22y z x z y x 的柱面方程。

解：10．从方程组中消去x 得：162322=-z y ，此方程即母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程；

20．从方程组中消去y 得：162322=+z x ，此方程即母线平行于y 轴且通过此曲线的柱面方程。

20．求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影的方程。 解：由1=+z x ，得x z -=1，代入9222=++z y x ，消去z 得

()912

22=-++x y x ，即82222=+-y x x ，这就是通过球面9222=++z y x 与平

面1=+z x 的交线，并且母线平行于z 轴的柱面方程，将它与0=z 联系，得：

??

?==+-0

8

2222z y x x ，即为所求的投影方程。