极坐标与参数方程-题型归纳
高考高频题型整理汇总
——《极坐标与参数方程》
除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外,还涉及以下部分问题。
(一)有关圆的题型
题型一:圆与直线的位置关系(圆与直线的交点个数问题)----利用圆心到直线的距离与半径比较
相离,无交点;:r d > 个交点;相切,1:r d = 个交点;相交,2:r d <
用圆心(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离2
2
00B
A C By Ax d +++=
,算出d ,在与半径比较。
题型二:圆上的点到直线的最值问题(不求该点坐标,如果求该点坐标请参照距离最值求法)
思路:第一步:利用圆心(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离2
2
00B
A C By Ax d +++=
第二步:判断直线与圆的位置关系
第三步:相离:代入公式:r d d +=max ,r d d -=min 相切、相交:r d d +=max min 0d =
题型三:直线与圆的弦长问题
弦长公式222d r l -=,d 是圆心到直线的距离
延伸:直线与圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线、抛物线)的弦长问题 (弦长:直线与曲线相交两点,这两点之间的距离就是弦长) 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”
(二)距离的最值: ---用“参数法”
1.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”:设点---套公式--三角辅助角
①设点: 设点的坐标,点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式:利用点到线的距离公式
③辅助角:利用三角函数辅助角公式进行化一
例如:【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中,曲线的参数方程为,
以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
(I )写出的普通方程和的直角坐标方程;
(II )设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标
的直角坐标方程为.
这里没有加减移项省去,直接化同,那系数除到左边
(Ⅱ)由题意,可设点的直角坐标为 因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,
xOy 1C ()sin x y ααα?=?
?
=??
为参数x 2C sin()4
ρθπ
+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α
.
(欧萌说:利用点到直接的距离列式子,然后就是三角函数的辅助公式进行化一)
当时)(13
sin =+πα即当时,
,此时的直角坐标为.
(三)直线参数方程的几何意义
1.经过点P (x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数)
t t y y t x x (sin cos 00???+=+=αα
若A ,B 为直线l 上两点,其对应的参数分别为t 1,t 2,线段AB 的中点为M ,点M 所对应的参数为t 0,则以下结论在解题中经常用到:
(1)t 0=
t 1+t 22
;(2)|PM |=|t 0|=
t 1+t 22
;(3)|AB |=|t 2-t 1|;(4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|
(5)????
?>+<-+=-=+=+0,0
,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当
(注:记住常见的形式,P 是定点,A 、B 是直线与曲线的交点,P 、A 、B 三点在直线上) 【特别提醒】直线的参数方程中,参数t 的系数的平方和为1时,t 才有几何意义且其几何意义为:|t |是直线上任一点M (x ,y )到M 0(x 0,y 0)的距离,即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为12,t t ,则弦长12l t t =-; 2.解题思路
第一步:曲线化成普通方程,直线化成参数方程
第二步:将直线的参数方程代入曲线的普通方程,整理成关于t 的一元二次方程:02=++c bt at
()sin()2|3d π
αα=
=+-2()6k k Z π
απ=+∈()d αP 31
(,)22
第三步:韦达定理:a c
t t a b t t =
-=+2121, 第四步:选择公式代入计算。
例如:已知直线l :?
????
x =5+3
2t ,
y =3+1
2t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点M 的直角坐标为(5,
3),直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求|MA |·|MB |的值.
解 (1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①
将ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0.②
(2)将?
????
x =5+3
2t ,y =3+1
2t 代入②式,得t 2+53t +18=0.
设这个方程的两个实根分别为t 1,t 2,则由参数t 的几何意义即知,|MA |·|MB |=|t 1t 2|=18.
(四)一直线与两曲线分别相交,求交点间的距离
思路:一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标,利用极径相减即可。
例如:(2016?福建模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中α为参数),曲线C2:(x﹣1)2+y2=1,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.
解:(Ⅰ)∵曲线C1的参数方程为(其中α为参数),
∴曲线C1的普通方程为x2+(y﹣2)2=7.
∵曲线C2:(x﹣1)2+y2=1,
∴把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(x﹣1)2+y2=1,
得到曲线C2的极坐标方程(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ)2=1,
化简,得ρ=2cosθ.
(Ⅱ)依题意设A(),B(),
∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0,
将(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,得ρ2﹣2ρ﹣3=0,
解得ρ1=3,
同理,将(ρ>0)代入曲线C 2的极坐标方程,得,
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣.
(五)面积的最值问题
面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题
例题2016?包头校级二模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为,(t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为
,A,B两点的极坐标分别为.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)点P是圆C上任一点,求△PAB面积的最小值.
解:(1)由,化简得:,
消去参数t,得(x+5)2+(y﹣3)2=2,
∴圆C的普通方程为(x+5)2+(y﹣3)2=2.
由ρcos(θ+)=﹣,化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣,
即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2,即x﹣y+2=0,
则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0;
(Ⅱ)将A(2,),B(2,π)化为直角坐标为A(0,2),B(﹣2,0),
∴|AB|==2,
设P点的坐标为(﹣5+cost,3+sint),
∴P点到直线l的距离为d==,
∴d min==2,
则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4.
极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化
一、直角坐标的伸缩
设点P(x ,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
φ:???>='>=')()(
0,0,μμλλy y x x 的作用下,点P(x ,y)对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩
变换,简称伸缩变换.平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换?????
x ′=λ·x ,λ>0y ′=μ·y ,μ>0
下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆
可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆(重点考察). 【强化理解】
1.曲线C 经过伸缩变换后,对应曲线的方程为:x 2+y 2=1,则曲线C 的方程为( )
A .
B .
C .
D .4x 2+9y 2=1
【解答】解:曲线C 经过伸缩变换①后,对应曲线的方程为:x ′2+y ′2=1②,
把①代入②得到:故选:A
2、在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:由曲线4x 2+9y 2=36变成曲线x ′2+y ′
2=1.
【解答】解:设变换为φ:?????x ′=λx (λ>0),y ′=μy (μ>0),可将其代入x ′2+y ′2=1,得λ2x 2+μ2y 2=1.
将
4x 2+9y 2=36
变形为x 29+y 24=1,比较系数得λ=13,μ=1
2
.
所以?????x ′=13x ,y ′=1
2
y .将椭圆4x 2
+9y 2
=36上的所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12,可得
到圆x ′2+y ′2=1.
亦可利用配凑法将4x 2
+9y 2
=36化为? ?????x 32+? ??
??
?y 22
=1,与x ′2
+y ′2
=1对应项比较即可得?????x ′=x
3,y ′=y 2
.
3、(2015春?浮山县校级期中)曲线x 2+y 2=1经过伸缩变换后,变成的曲线方程是( )
A .25x 2+9y 2=1
B .9x 2+25y 2=1
C .25x+9y=1
D .+=1
【解答】解:由伸缩变换,化为,代入曲线x 2+y 2=1可得25(x ′)2+9(y ′)
2=1, 故选:A .
二、极坐标 1.公式:
(1)极坐标与直角坐标的互化公式如下表:
2.极坐标与直角坐标的转化
(1)点:有关点的极坐标与直角转化的思路 A :直角坐标化为极坐标的步骤
①运用 ②在内由求时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限. B::极坐标化为直角坐标的步骤,运用
(2)直线:直线的极坐标与直角坐标转化的思路 A :直角坐标转化成极坐标
思路:直接利用公式,将式子里面的x 和y 用θρθρsin cos 和转化,最后整理化简即可。
例如:x+3y-2=0:用公式将x 和y 转化,即
02-sin 3cos =+θρθρ B
:极坐标转化成直角坐标
类型①:直接转化---直接利用公式转化
(),x y (),ρθ()222tan 0x y y
x x ρθ?=+?
?=≠?
?
[)0,2π()tan 0y
x x
θ=
≠θ(),ρθ(),x y cos sin x y ρθ
ρθ=??=?cos sin x y ρθ
ρθ=??=?
类型②:利用三角函数的两角和差公式,即()()2sin 2cos k k
ρθαρθα±=±=或
思路:第一步:利用两角和差公式把sin(θ±α)或cos θ±α)化开,特殊角的正余弦值化成数字,整理化简
第二步:利用公式转化
解:第一步:利用两角和差公式把sin(θ±α)或cos θ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字,整理化简,即
第二步:第二步:利用公式转化
类型③:角可以不是特殊角)为倾斜角,可以是特殊(ααθ=,该直线经过原点(极点),对应的直角
坐标方程为kx x即y tanαy =?=
(注:直线的直角坐标方程一般要求写成一般式:Ax+By+C=0) 三、曲线极坐标与直角坐标互换 (一)圆的直角与极坐标互换
cos sin x y ρθρθ=??
=?cos sin x y ρθ
ρθ=??
=?
1.圆的极坐标转化成直角坐标 类型一:θθρsin cos +=
详解:一般θθsin ,cos 要转化成x 、y 都需要跟ρ搭配,一对一搭配。
所以两边同时乘以ρ,即0--,sin cos 22222=++=+∴+=y x y x y x y x 即θρθρρ 类型二:2=ρ
没有三角函数时,可以考虑两边同时平方44222=+=y x 即ρ 2.圆的直角坐标转化成极坐标
3)1()4(22=++-y x
解题方法一:拆开--公式代入
014sin 2cos 801428031216822222=++-∴=++-+=-++++-θρθρρy x y x y y x x 即
解题方法二:代入-拆-合
031sin 2sin 16cos 8cos 3)1sin ()4cos (222222=-++++-=++-θρθρθρθρθρθρ即 014sin 2cos 8014sin 2cos 8)sin (cos 2222=++-=++-+∴θρθρρθρθρθθρ即
【强化理解】
1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化.
①将点M 的极坐标? ????
?4,143π化成直角坐标;
②将点N 的直角坐标(4,-4
3)化成极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【解答】解:①∵x =4cos 143π=4cos 2π3=4×? ??
??
?-12=-2,y =4sin 143π=4sin 2π3=2
3,∴点A 的
直角坐标是(-2,23).
②∵ρ=42+(-43)2=8,tan θ=-43
4=-3,θ∈[0,2π),又点(4,-43)在第四象
限,∴θ=5π3,∴对应的极坐标为? ????
?8,5π3.
2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.
①y 2=4x;
②θ=π
3(ρ∈R );
③ρ2cos2θ=4;
④ρ=
1
2-cos θ
.
【解答】解:①将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y 2=4x ,得(ρsin θ)2=4ρcos θ.化简得ρsin 2θ=4cos
θ.
②当x ≠0时,由于tan θ=y x ,故tan π3=y
x =
3,化简得y =3x (x ≠0);当x =0时,y =0.显然(0,
0)在y =
3x 上,故θ=π
3
(ρ∈R )的直角坐标方程为y =
3x .
③因为ρ2cos2θ=4,所以ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=4,即x 2-y 2=4. ④因为ρ=
1
2-cos θ
,所以2ρ-ρcos θ=1,因此2
x 2+y 2-x =1,化简得3x 2+4y 2-2x -1=0.
3.化极坐标方程ρ2cos θ﹣ρ=0为直角坐标方程为( ) A .x 2+y 2=0或y=1
B .x=1
C .x 2+y 2=0或x=1
D .y=1
【解答】解:∵ρ2cos θ﹣ρ=0,∴ρcos θ﹣1=0或ρ=0,∵,
∴x 2+y 2=0或x=1,故选C .
4.将曲线ρcos θ+2ρsin θ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为( )
A .y+2x ﹣1=0
B .x+2y ﹣1=0
C .x 2+2y 2﹣1=0
D .2y 2+x 2﹣1=0 【解答】解:由曲线ρcos θ+2ρsin θ﹣1=0,及,
可得x+2y ﹣1=0.
∴曲线ρcos θ+2ρsin θ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为x+2y ﹣1=0.故选:B .
5、在极坐标系下,已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l :ρsin ? ?????θ-π4=22.,求圆O 和直线l 的
直角坐标方程;
【解答】解:(1)圆O :ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆O 的直角坐标方程为:x 2+y 2=x +y ,即x 2+y 2-x -y =0, 直线l :ρsin ? ????
?θ-π4=22,即ρsin θ-ρcos θ=1,
则直线l 的直角坐标方程为:y -x =1,即x -y +1=0.
三、参数方程 1.必记的曲线参数方程
抛物线y2=2px(p>0)
2.参数方程与普通方程的转化
(1)参数方程转化成普通方程
类型一:含t的消参
思路:含有t的参数方程消参时,想办法把参数t消掉就可以啦,有两个思路:思路一:代入消元法,把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y),思路二:加减消元:让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。
1=0.
思路二:加减消元:两式相减,x -y -1=0. 类型二:含三角函数的消参
思路:三角函数类型的消参一般的步骤就是:移项-化同-平方-相加 移项:把除了三角函数的其他相加减数字移动左边 化同:把三角函数前面的系数化成相同 平方:两道式子左右同时平方 相加:平方后的式子进行相加 (注:有时候并不需要全部步骤)
例如:圆?????x =1+cos θ,
y =-2+sin θ
消参数θ,化为普通方程是(x -1)2+(y +2)2=1.
解:移项:?
??=+=-θθ
sin 2cos 1y x (三角函数前面系数已经相同,省去化同,直接平方)
平方:?????=+=-θ
θ2
222
sin 2cos 1
)()(y x 相加:
12)y 1-x 22=++()( 3.参数方程涉及题型
(1)直线参数方程的几何意义
(2)距离最值(点到点、曲线点到线、) 【强化理解】
1、直线l的参数方程为为参数).写出直线l的直角坐标方程;
【解答】直线l的参数方程为为参数).
由上式化简成t=2(x﹣1)代入下式得
根据ρ2=x2+y2,进行化简得C:x2+y2=1(2分)
2、.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为()
A.y=x﹣2 B.y=x﹣2(0≤y≤1) C.y=x+2(﹣2≤x≤﹣1) D.y=x+2
【解答】解:将参数方程(θ为参数)化为普通方程为:y=x+2,(﹣2≤x≤﹣1).故选:C.