矩阵的运算和运算规则

矩阵基本运算及应用

201700060牛晨晖

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则

1.1矩阵的加法与减法

1.1.1运算规则

设矩阵，，

则

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！

注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

1.1.2运算性质

满足交换律和结合律

交换律；

结合律．

1.2矩阵与数的乘法

1.2.1运算规则

数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．

特别地，称称为的负矩阵．

1.2.2运算性质

满足结合律和分配律

结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．

分配律：λ(A+B)=λA+λB．

已知两个矩阵

满足矩阵方程，求未知矩阵．

解由已知条件知

1.3矩阵与矩阵的乘法

1.3.1运算规则

设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：

(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即

．

(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．

设矩阵

计算

解是的矩阵．设它为

可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．

1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）

(1) 结合律．

(2) 分配律（左分配律）；

（右分配律）．

(3) ．

1.3.4方阵的幂

定义：设A 是方阵，是一个正整数，规定

，

显然，记号表示个A的连乘积．

1.4矩阵的转置

1.4.1定义

定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得

到的新矩阵称为矩阵A 的转置矩阵，记作或

．

例如，矩阵的转置矩阵为．

1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）

(1)

(2)

(3)

(4) ，是常数．

1.4.3典型例题

利用矩阵

验证运算性质：

解；

而

所以

．

定义：如果方阵满足，即，则

称A为对称矩阵．

对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式

1.5.1定义

定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各

元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记

作或．

1.5.2运算性质

(1) （行列式的性质）

(2) ，特别地：

(3) （是常数，A的阶数为n）

思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A 的行列式之间的关系为什么不是，而是？

不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．

例如，则．

于是，而

2光伏逆变器的建模

光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换