5-1-3-2 数阵图(二).教师版

1. 了解数阵图的种类

2. 学会一些解决数阵图的解题方法

3. 能够解决和数论相关的数阵图问题

.

一、数阵图定义及分类：

1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.

3.

二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；

第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

复合型数阵图

【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，

每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．

31

32

33

212223131211

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题

【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++

10203031233198=++?+++?=（）（）

由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是

例题精讲

知识点拨

教学目标

5-1-3-2.数阵图

12011119833+-=．

【答案】33

【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是

64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分

【解析】 2 【答案】2

【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上

三个数的和.

（1）

17

8

94

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），

（2）

a c

b

49817

则有a+4+9=a+b+c （1）

b+8+9=a+b+c （2）

c+17+9=a+b+c （3）

（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，

c=28-（17+9）=2解：见图.

17

89411

2

15

【答案】

17

89411

2

15

【例 4】 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和

与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？

【考点】复合型数阵图

【难度】3星 【题型】填空

【解析】 为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k

（A+B+C ）+

（A+F+G ）+

（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G ）+A=5k ，

2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k ，56+A=5k.，因为56+A 为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）

7

6543

2

1

【答案】

7

6543

2

1

【例 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)

的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。如果左下图中已有一个数1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。

【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6年级，决赛，第10题，10分

【解析】 答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以3的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以3的

余数也相同。注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同(见答案)，右图中各数是根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。

【答案】

【例 6】 将1至8这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的内，并使每个面上的四个

内的

数字之和都相等。求与填入数字1的有线段相连的三个内的数的和的最大值。

【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【考点】 【难度】星 【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，二试，第13题，15分

【解析】 因为1到8的和为36，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为18。因为每个面的数字和

相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字1在同一个面上的应该有较大的数。尝试最大的三个数8，7，6，则和1，8，7在同一个面上的数应该是18-1-8-7=2，和1，8，6在同一个面上的数应该是18-1-8-6=3，和1，7，6在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是18-1-7-6=4，剩下一个5填在剩下的○中，经检验，符合题意，那么与1相连的三个○的和是67821++=

6

1

82

7

4

5

3

【答案】21

【例 7】 将自然数1到11分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等．

18-c -d 18-b -c

c +

d -6

b+c -612-d

12-c

12-b d

c

b

6

11

10

9

8

75

4

32

16

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 设左下角的数为a ，每条直线上的三个数的和为S ．由于这11个数的和为121166+++=．从左

下角引出的5条直线的总和为5S ，其中左下角的数多计算了4次，则5664S a =+；又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得466S a =+．从而结合上面的两个式子可得18S =，

6a =，即左下角的数为6，每条线上的数之和为18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b ，

c ，

d ，于是可得各个圆圈中的数如图所示．除6以外的10个数分别为：b ，c ，d ，12b -，12c -，

12d -，18b c --，18c d --，6b c +-，6c d +-．由于18121818b c c c d --+-+--=，得到330b c d ++=，即303b d c +=-．所以，只要选取适当的b ，c ，d 的值，使得上面的10个数各

不相同即可．比如，选择9c =，1b =，2d =，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯一，下面再给出两种填法。

3

10

52

7

94

86

111

5

4

98

3

7102

111

6

【答案】

310

527

94

8

6111

5

4

9

83

710

2

111

6

【例 8】 在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆

圈中所填的数是_____________．

★f

e

d

c b a

★

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，11题

【分析】 为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）．

根据题意，有

234a f ++=★ ⑴

234b c ++=★ ⑵

234e d ++=★ ⑶ 234a b e ++= ⑷ 234c d f ++= ⑸

⑴+⑵+⑶-⑷-⑸，有3234?=★，即234378=÷=★．

【答案】78

【例 9】 请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内

数字之和都相等．那么乘积A B C ??= ？

C

B A

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，10题

【解析】 对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个

小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为A B C ++，可得图中每一个小圆圈中的数如下图。

由于中间竖直方向的线段以及从左下角A 出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都是

A B C ++，可以得到，332A B C B C A C ++=-=-，可得2A B C =+，代入得2333B C B C +=-，即6B C =，只能是1C =，6B =，28A B C =+=，则86148A B C ??=??=

【答案】86148A B C ??=??=

【例 10】 下图中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相

等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．

﹡

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 设每行的和为S ，在左下图中，除了a 出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现

了，于是有4(12311)66S a a =+++

++=+；

a ﹡ a

﹡

在右上图中除了a 出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5(12311)4664S a a =+++

++=+．

综合以上两式，4665664S a

S a =+??=+?

，解得6a =，18S =．

考虑到含有*的五条线，有4(12311)18590t *+++++-=?=，即424t *-=．

可见t 是4的倍数，在1～11间可能为4和8，但t 为8时*也为8，重复．所以4t =，7*=． 即每行相等的和为18，标有*的圆圈中所填的数为7． 最终的填法如右下图．

t ﹡

11

10

9876

5

4

3

21

【答案】11

10

98

76

5

4

3

21

【例 11】 “美妙的数学花园”这7个字各代表1~7中的一个数，并且每个圆中4个数的和都是15。如果学比

美大，美比园大，那么，园表示 。

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】（走美杯3年级决赛第11题，12分）

【解析】 首先找出从1到7中四个数之和为15的有以下四组：①1、2、5、7；②2、3、4、6；③1、3、

4、7；④1、3、

5、6需要从其中选出3组，其中每两个组间都有两个相等的数，且这三组都含有

同一个数，分析发现这三组可为①、③、④或②、③、④，当这三组数为①、③、④时即1，2，5，

7；1，3，4，7；1，3，5，6．其中①、③公有的是1，7；①、④公有是1，5；③、④公有1，3，即“妙，花，数”应为3，7，5其中之一．则剩下数字2，4，6应为美、学、园其中之一．又

因为学>美>园，所以学6=，美4=，园2=．当这三组数为②、③、④时同样的方法可分析出园2=．

美5花4

妙1

学7

的3数6

园2

【答案】2

【例 12】 图2中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于130，三角形内两个数的和等于53，

圆内三个数的和等于79，正方形内两个数的和等于50。那么，从左向右，这五个问号依次是

？

？？？？

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第5题，5分 【解析】 根据题意答案为：25，28，27，24，26

【答案】25，28，27，24，26

【例 13】 右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志．请将19分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使

每个圆环内的数字之和都相等．

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空

【解析】 设每个圆内的数字之和为k ，则五个圆内的数字之和是5k ，它等于19的和45再加上两两重叠处

的四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是123410+++=，最大是678930+++=，所以，5453075k ≤+=，5451055k ≥+=，即1115k ≤≤．当11k =，13，14时可得四种填法(见右下图)．

d

c b a 987

654

32

112

34567

89

12345

67

8

9

98

765432

1

当15k =时，如右上图，设两两重叠处的四个数分别为a ，b ，c ，d ，由上面的分析可知，a ，b ，c ，d 分别为6，7，8，9，由于6915+=，7815+=，那么，不论a 为多少，最左边的数总是会

与b ，c ，d 中的某一个相同，矛盾．所以当15k =时没有符合题意的填法．

当12k =时，1254515a b c d +++=?-=．如果a ，b ，c ，d 中有一个数为3，比如3a =，那么

12b c d ++=，这样与b ，c 在同一个圆内的那个数将与d 相同．可见a ，b ，c ，d 都不能为3．如

果a ，b ，c ，d 中至少有3个数大于3，那么它们至少为4，5，6，另一个数至少为1，它们的和将不小于145616+++=，矛盾．所以a ，b ，c ，d 中至少有2个数小于3，这2个数只能为1和2，那么另两个数之和为12．如果这两个数中有一个为a 或者d ，那么最左边或者最右边的数将与a ，b ，c ，d 中的某一个相同，矛盾；如果这两个数为b 和c ，那么与b ，c 在同一个圆内的那个数将只能

为0，这也不可能出现．所以当12k =时也没有符合题意的填法．

【答案】当11k =，13，14时可得四种填法

987

654

32

112

34567

89

12345

67

8

9

98

765432

1

【例 14】 2008年奥运会在北京举行。“奥”、“运”、 “会”、“北”、“京”这五个汉字代表五个连续的自然数，

将其分别填在五环图案的五个环内，满足“奥”+“运”+“会”=“北”+“京”。这五个自然数的和最大是 。

京

北

会

运

奥

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第2题）

【解析】 不妨设最小一个数是x ，那么这5个数是x ，x+1，x+2，x+3，x+4.但无法将它们对应，但无论怎么

样，列出的方程一定是这个形式的：（x+a ）+（x+b ）+（x+c ）=（x+d ）+（x+e ），其中a 、b 、c 、d 、e 分别是0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e ）-（a+b+c ），如果连续5个自然数最大，那么最小的那个自然数也必须取得最大，显然减号前是3、4，减号后0、1、2时，x 取得最大值4，所以这5个数是4、5、6、7、8，和为30

【答案】30

【例 15】 如图，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 代表九个各不相同的正整数，且每个圆中所填数的

和都等于2008。这九个数总和最小为 。

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第12题，15分

【解析】 假设9个数总和是M ，则M A B C D E F G H I =++++++++,上面三个环的总和为：

32008M C G ?=--，所以当12C G +=+时，总和最小为2008336027?+=。

【答案】6027

【例 16】 如图，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 代表九个各不相同的正整数，A ，B ，C ，D ，E ，

F ，

G ，

H ，

I 的总和是2008，并且每个圆中所填的数和都等于M 。(1)M 最大为多少？(2)M 最小为多少？

【考点】复合型数阵图 【难度】6星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6年级，决赛，第11题，15分

【解析】 上面三个环里数的和为3M ，32008M C G ++=，32008M C G =--，所以M 最大可以取668，此

时C ，G 分别为1，3。五环的和是52008M B D F H =++++，要使M 最小，只要取B D F H +++最小为12，此时404M =。

【答案】最大668，最小12

【例 17】 将数字1~9分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向上空格中所填的数字和

等于该箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同，且到写有另一个给定数字的格为

止）。例如：20,

22,19A B C D E F G H C I J K M N +++=+++++=+++=。

当填写完后，字母C 处所写的数字是_____________。

D C A

H

E

G

M

F

I

B K

N 10272028

226

9192410

20

2026J

23

A. 4

B. 5

C. 7

D. 9

【考点】复合型数阵图 【难度】6星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复试，7题

【解析】

3l 4l C ，提示：在下图中，直线1l 上的6个数之和是，只有12345722+++++=，直线2l 上的5个数之和是35，只有5678935++++=，所以G 等于5或7；

直线3l 上的4个数之和是12，只有：123612+++=或124512+++=，再考虑到G 等于5或7，得到5,1G M ==或2或4。直线4l 上的3个数之和是20，并且1M =或2或4，只有47920++=，所以4M =，再考虑到1

l 上的数不大于7，所以7C =。下图是一种填法（填法不唯一）。

3125417348459591717

82

1312921235239262020

102419962228

2027106

【答案】C=7。

【例 18】 用数字1至9填满空格，一个格子只能填入一个数字，每个数字在每一行，每一列（相连或不相连）

及每个粗线围成的区域中至多出现一次。

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第11题，12分

【解析】 如图1，因为a 、b 、c 、d 所在列已经出现8，所以a 、b 、c 、d 不等于8，

在这四个数所在的粗黑线围成的区域中可知8e =，那么g 、f 不等于8，而在h 、i 所在的列中出现了数字8，所以h 、i 不等于8，那么8j =，之后用同样的方法可以得出结果如图2。

h

g i f j e d c

b a 6

6

1

287

3

83

7

19954图1

7324

58194139

2

78593

645

716254

187623图2

459917

3837

8216646258

【答案】

【例 19】用l—9填满三角形空格，一个格子只能填入一个数字，使每个数字在每一行，每一列(包括不相连的行，列)及每个粗黑线围成的区域中至多出现一次．

【考点】数阵图与数论【难度】6星【题型】填空

【关键词】走美杯，初赛，六年级，第10题

【解析】解题顺序如第二附图，依照A、B、C、D……的顺序

.

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