2021届高考数学核按钮【新高考广东版】9.6 双曲线

9.6 双曲线

1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差

的________等于常数2a (2a______|F 1F 2|)的点的轨迹

叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，

两焦点间的距离叫做双曲线的________．

※(2)另一种定义：平面内动点M 到定点F 的距

离和它到定直线l 的距离之比等于常数e(e>1)的轨

迹叫做双曲线．定点F 叫做双曲线的一个焦点，定直线l 叫做双曲线的一条准线，常数e 叫做双曲线

的________．

(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做．

“离心率e ＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的

______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相

______．一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．

y 2x 2

自查自纠

1．(1)绝对值＜焦点焦距 (2)离心率 (3)等轴双曲线充要垂直

2．(2)x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0) (5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )

(7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a

(e ＞1) (10)y ＝±b

a x

1．(2019·浙江卷)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲

线的离心率是 ( )

A.2

B.1

C. 2

D.2

解：由题意知a ＝b ，则e ＝c a ＝a 2＋a 2a ＝2.

故选C. 2．(陕西省汉中市2019－2020学年高三上学期第五次质量检测)若双曲线E ：x 29－y 2

＝1的左、右

焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|

＝7，则|PF 2|等于 ( )

A.1

B.13

C.1或13

D.15

解：由题意得a ＝3，c ＝5，||PF 1|－|PF 2||＝6，

而|PF 1|＝7，解得|PF 2|＝13或1.

而|PF 2|≥c －a ＝2，所以|PF 2|＝13.故选B.

3．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 2

＝1的右

焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为 ( )

A.324

B.322

C.2 2

D.32

解：由a ＝2，b ＝2，得c ＝a 2＋b 2＝6，因

为|PO |＝|PF |，所以x P ＝

2，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设在渐近线y ＝22x 上，则y P ＝22×6

＝32，所以S △PFO ＝12|OF |×|y P |＝12×6×32＝324.故选A. 4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心

率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，

则双曲线C 的方程为．解：由题意得?????c －a ＝1，c a ＝2，解得?????a ＝1，

c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1.故填x 2

－y 23＝1.

5．已知双曲线x 2＋my 2

＝1的虚轴长是实轴长

的2倍，则实数m ＝ .

解：双曲线方程化为标准方程得x 2－y

－1

＝1，

故a ＝1，b ＝

－1m ，依题意可知b ＝2a ，即－1m

＝2，解得m ＝－14.故填－1

类型一双曲线的定义及标准方程

例1 (1)过双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解：因为渐近线y ＝b a x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，解得a ＝2，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 2

＝1.故选A. (2)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为．解：设动圆M 的半径为r ，则|MC |＝2＋r ，|MA |

＝r ，所以|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M

点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，所以动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故填x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (3)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2

＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．

解：如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别

外切于点A 和点B.

根据两圆外切的条件，

有|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，

所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.

又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.

故点M 的轨迹方程为x 2

－y 2

＝1(x ≤－1)．故填x 2－y

28＝1(x ≤－1)．

点拨 ①求双曲线的标准方程一般用待定系数法.②当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．变式1 (1)(2019·哈尔滨调研)已知双曲线C 的

右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，

若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为 ( ) A.y 23－x 2＝1 B.x 23

－y 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.x 22－y 2

＝1 解：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，即F (2，0)，所以4＝a 2＋b 2.又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±b

x 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2b b 2＋a 2＝2，所以a 2＝

b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 2

＝1.故选D.

(2)已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1

的方程为x 23

－y 2

＝1，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为．解：由题意得C 1的焦点为(±2，0)，所以双曲线

C 2的焦点为(±2，0)，即c ＝2.

而C 1的一条渐近线为y ＝3

3x ，

其斜率k ＝tan α＝3

，即C 1的一条渐近线的倾斜角α＝π

，

所以C 2的一条渐近线的倾斜角为2α＝π

3，其斜

率k ＝tan2

α＝3，即C 2的一条渐近线为y ＝3x ＝

x ，即b

＝3.

又a 2＋b 2＝c 2＝4，所以a ＝1，b ＝3，

所以C 2的方程为x 2－y 23＝1.故填x 2

－y 23

＝1.

(3)已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点M ，N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为

( )

A.x 2－y 210＝1(x ＞0)

B.x 2

－y 28＝1(x ＞1)

C.x 2－y 28＝1(x ＞0)

D.x 2

－y 210

＝1(x ＞1)

解：如图所示，设两切线分别与圆相切于点S ，

T ，

则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |

－|TN |＝|BM |－|BN |＝2(定值)，且2<[3－(－3)]＝6，

所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相

交，其中a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，

故点P 的轨迹方程为

x 2－

y 2

＝1(x ＞1)．故选B. 类型二双曲线的离心率例2 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2

2－

y 2

b 2

＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →

＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．

解：如图，由F 1A →＝AB →

，得|F 1A |＝|AB |.又|OF 1|

＝|OF 2|，得OA 是△F 1F 2B 的中位线，即BF 2∥O A.由

F 1B →·F 2B →

＝0，得F 1B ⊥F 2B ，所以OA ⊥F 1A ，所以|OB |＝|OF 1|，∠AOB ＝∠AOF 1，

又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1，

又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝

180°

，所以∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°，

又渐近线OB 的斜率为b

＝tan60°＝3，

所以该双曲线的离心率e ＝c

＝

1＋????b a 2

＝

1＋（3）2＝2.故填2.

(2)(河南郑州2019届高三第三次质检)F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双

曲线上存在点P 满足PF 1→·PF 2→

＝－a 2，则双曲线离心率的取值范围为 ( )

A.[3，＋∞)

B.[2，＋∞)

C.[1，＋∞)

D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)

解：由题意，取点P 为右支上的点，设|PF 1|＝

m ，|PF 2|＝n ，∠F 1PF 2＝θ，

根据双曲线的定义知，m －n ＝2a.

在△F 1PF 2中，由余弦定理可得，cos θ＝

m 2＋n 2－4c 22mn

，①

又因为PF 1→·PF 2→＝－a 2，所以mn cos θ＝－a 2，② 由①②得，即m 2＋n 2＝4c 2－2a 2. 又因为m ≥a ＋c ，n ≥c －a ，

所以(c ＋a )2＋(c －a )2≤4c 2－2a 2?c 2≥2a 2，

即e 2≥2，所以e ≥2.故选B.

点拨求双曲线离心率或其范围的常用方法：

①求a 及b 或c 的值，由e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2求

e .②列出含有a ，b ，c 的齐次式(或不等式)，借助于

b 2＝

c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．变式2 (1)(山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联考)在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，以A ，B 为焦点的双曲线经过C ，D 两点，则此双曲线的离心率为 ( )

A.3＋52

B.3－52

C.1＋52

D.1＋5

解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线

为y 轴，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2

c 2－a

2＝1(c ＞a ＞0)，

由题意双曲线过点(c ，c )，代入得c 2a 2－c 2

c 2－a 2＝1?e 2

－e 2e 2－1

＝1，e 2＝3±5

2，

由e ＞1，所以

e 2＝

3＋52，故e ＝1＋5

另解：设双曲线方程为x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)，

依题意有2b 2

a ＝2c ，即

b 2＝a

c ，即c 2－a 2＝ac ?e 2－e

－1＝0，解得e ＝1＋5

.故选C.

(2)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)

的左、右焦点，若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ，则离心率e 的取值范围是．

解：设直线AF 1的方程为y ＝k (x ＋c )，则由题

意可得|k |＜b a ，所以2a ＝|2kc |1＋k 2?|k |＝a b ＜b

?a ＜b

?e ＞2.故填(2，＋∞)．

类型三双曲线的渐近线

例3 (1)(内蒙古呼伦贝尔2019届高三模拟)已

知双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，

焦点到双曲线C 的渐近线的距离为3

c ，则双曲线

的渐近线方程为 ( )

A.y ＝±3x

B.y ＝±2x

C.y ＝±x

D.y ＝±2x

解：由双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦

点(c ，0)到渐近线bx ＋ay ＝0的距离为3

c ，

得bc a 2＋b 2＝32c ，可得b c ＝32，则b a ＝3，则C

的渐近线方程为y ＝±3x.故选A.

(2)(2019届辽宁沈阳市示范协作校高三一模)设

F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，

若F 1，F 2，A (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是 ( )

A.y ＝±3

3x B.y ＝±3x

C.y ＝±217x

D.y ＝±21

解：由题设可知c 2＋4b 2＝2c ?4b 2＝3c 2，即b 2＝3a 2?b

＝3.故选B.

点拨本例考查双曲线中a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．

变式3 (1)(2020·湖北重点高中高三元月联考)

已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分

别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为 ( )

A.y ＝±2x

B.y ＝±3x

C.y ＝±x

D.y ＝±2x

解：如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于

点B.

因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b.

又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a ，整理，得b ＝2a ，

所以b

a ＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x.

故选A.

(2)(2019·河南适应性测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲

线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π

，则双曲线的渐近线方程为 ( )

A.y ＝±2x

B.y ＝±1

C.y ＝±2

x D.y ＝±2x

解：不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a.又因为

?????2c ＞2a ，

4a ＞2a ，

所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6

.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c

＝32，

化简得c 2＝3a 2，所以b 2＝c 2－a 2＝2a 2，则

a ＝2，

所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x.故选D.

类型四直线与双曲线

例4 (1)(山西晋城2019届高三三模)设双曲线

C ：x 28－y 2

＝1(m ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，

过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝ ( )

A.8 2

B.8

C.4 2

D.4 解：由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |.由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝82.

故选A.

(2)已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为 ( )

A.1

B.1

C.2

D.4 解：：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，则OA ⊥OB ，AB 的中点为(x 1＋x 22，x 1－x 2

2)，又因为AB 的中点在双曲

线上，所以(x 1＋x 22)2

－(x 1－x 2

2)2＝2，化简得x 1x 2＝2，

所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝1

|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2.故

选C.

点拨双曲线高考中小题居多，熟练掌握双曲线的定义、几何性质是解决此类问题的关键，必要时，联立直线与双曲线的方程．

变式4 (1)若双曲线E ：x 2a

2－y 2

＝1(a >0)的离心

率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．则k 的取值范围是．

解：由?????c a ＝2，a 2＝c 2－1，得??

???a 2＝1，

c 2

＝2，

故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由?????y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，

得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0(*) 因为直线与双曲线右支交于A ，B 两点，

故?????k ＞1，Δ＝（2k ）2－4（1－k 2

）×（－2）＞0，

即?????k ＞1，－2＜k ＜2，

所以1

线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|

＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2

S △ABF 2

＝ ( )

A.13

B.12

C.2

D.1 解：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|

＝2a.又|AF 1|＝2a ，

所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝2π

，所以S △AF 1F 2

＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×3

2＝23a 2.设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.又知∠BAF 2＝π

，所以△BAF 2为等边三角形，

边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝3

4×(4a )2＝43

a 2

，所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝1

.故选B.

1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点．

2．在双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”.

3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．

4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．

5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b

，即c 最大．

6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：①掌

握方程；②掌握其倾斜角、斜率的求法；③会利用

渐近线方程求双曲线方程的待定系数．

7．已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标

准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即

方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程．

8．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲

线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类

似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2

＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，

当A ·B ＜0时为双曲线． 9．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如

当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相

交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点． 10．与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐

近线的双曲线系方程为x 2a 2－y 2

2＝λ(λ≠0)．

1．(天津市河北区2019届高三一模)在平面直

角坐标系中，过点(22，－2)且渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线的标准方程为 ( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 27－y 214＝1

C.x 23－y 26＝1

D.y 214－x 27＝1 解：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，所以设所求双曲线的标准方程为2x 2－y 2＝k.又点(22，－2)在双曲线上，则k ＝16－2＝14，即双曲线的

方程为2x 2－y 2

＝14，所以双曲线的标准方程为x 2

7－

y 214

＝1.故选B. 2．(陕西西北工业大学附中2019届高三考前模

拟)已知双曲线C ：y 2m －x 2

＝1(m ＞0)的渐近线方程为

3x ±y ＝0，则双曲线C 的离心率为 ( )

A.32

B.233

C. 3

D.2 解：已知双曲线C 的渐近线方程为3x ±y ＝0，

且m ＞0，所以m

＝3，得m ＝12.a ＝23，c ＝m ＋4＝4，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝4

23＝23

3.故选B. 3．(陕西汉中2020届高三上五检)方程x 2

m ＋2

＋y 2m －3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是 ( ) A.－3＜m ＜0 B.－1＜m ＜3 C.－3＜m ＜4 D.－2＜m ＜3 解：方程x 2m ＋2＋y 2m －3＝1表示双曲线?(m ＋

2)(m －3)＜0?－2＜m ＜3，

结合选项知，仅B 符合．故选B. 4．(河南2019届高三考前仿真测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，以OF

为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同于原点O

的A ，B 两点，若四边形AOBF 的面积为1

(a 2＋b 2)，则双曲线C 的渐近线方程为 ( )

A.y ＝±22

x B.y ＝±2x C.y ＝±x D.y ＝±2x 解：根据题意，OA ⊥AF ，双曲线C 的焦点F

到C 的一条渐近线y ＝±b a x 的距离为bc a 2＋b

＝b ，

则|AF |＝b ，所以|OA |＝a ，所以ab ＝1

(a 2＋b 2)，所以b

a ＝1，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x.故选C. 5．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为 ( )

A. 2

B. 3

C.2

D.5

解：设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ ⊥x 轴，

又因为|PQ |＝|OF |＝c ，所以|P A |＝c

2，所以P A 为

以OF 为直径的圆的半径，所以|OA |＝|P A |＝c 2，所以P (c 2，c 2)，

又P 点在圆x 2＋y 2＝a 2

上，所以c 24＋c 24＝a 2，即

c 22＝a 2，所以e 2＝c 2

a 2＝2，所以e ＝2.故选A. 6．设F 1，F 2

分别为离心率e ＝5的双曲线C ：

x 2a 2－y 2

b 2

＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，A 1，A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，以F 1，F 2为直径的圆交双曲线的渐近线l 于M ，N 两点，若四边形MA 2NA 1的面积为4，则b ＝ ( )

A.2

B.2 2

C.4

D.42

解：由e ＝5＝c a ，得b

a ＝2，故渐近线方程为y

＝2x ，以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，

联立?????x 2＋y 2＝c 2y ＝2x

，得y ＝±2c

5，由双曲线与圆的对称

性知四边形MA 2NA 1为平行四边形，不妨设y M ＝2c 5，则四边形MA 2NA 1的面积S ＝2a ×2c 5＝4，得ac ＝5，又c a ＝5，则a ＝1，c ＝5，b ＝2.故选A. 7．(宁夏回族自治区银川市一中2019－2020学

年高三12月月考)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －

1a n (n ≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程

是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是 ( ) A.a n ＝23－n B.a n ＝22

C.a n

＝23n －1 D.a n

＝2n ＋1

解：由题意可得，双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n 的标准方程是y 2a n －x 2

a n －1

＝1，

所以a 2＝a n ，b 2＝a n －1，所以a ＝a n ，b ＝a n －1，

因为双曲线的一条渐近线方程是y ＝2x ，所以a n a n －1

＝2(n ≥2，n ∈N *)，

所以a n

a n －1

＝2(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n }是等

比数列，公比是2，

因为数列{a n }的首项是4，所以a n ＝4×2n －1＝2

n ＋1

故选D.

8．【多选题】已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一

条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心

率的取值可能为 ( )

A.1

B.2

C.4

D.5

解：不妨设过点F 2(c ，0)与双曲线的一条渐近线平行的直线为y ＝b a (x －c )，与双曲线另一条渐近线y ＝－b a x 的交点为P (c 2，－bc

)，因为点P 在以线段F 1F 2为直径的圆外，所以PF 1→·PF 2→

＞0，即(－3c 2

，

bc 2a )·(c 2，bc 2a )＞0，－3c 24＋b 2c

4a 2＞0，－3a 2＋b 2＞0，－3a 2＋c 2－a 2＞0，e 2＞4，所以e ＞2.故选CD.

9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的右

焦点与抛物线y 2

＝20x 的焦点重合，且其渐近线方

程为y ＝±3

x ，则该双曲线的方程为．

解：因为抛物线y 2＝20x 的焦点为(5，0)，所以

双曲线C 的右焦点也为(5，0)，则有c ＝5，

因为双曲线的渐近线方程为y ＝±34

x ，所以可设其方程为x 216t －y 2

＝1，t ＞0，因为c ＝5，则16t ＋9t

＝25，解得t ＝1，则双曲线的方程为x 216－y 29

＝1.故填x 216－y 29＝1. 10．(厦门外国语学校2019届高三最后一模)双曲线M 的焦点是F 1，

F 2，若双曲线M 上存在点P ，使△PF 1F 2是有一个内角为2π3的等腰三角形，则M 的离心率是．解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为PF 2与F 1F 2或PF 1与F 1F 2，

不妨设等腰三角形的腰为PF 2与F 1F 2，且点P 在第一象限，

故|PF 2|＝2c ，等腰△PF 1F 2有一内角为2π3

，即∠PF 2F 1＝2π

，由余弦定理可得，

|PF 1|＝（2c ）2＋（2c ）2－2·2c ·2c ·cos 2π

＝

23c ，

由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c

＝2a ，即(3－1)c ＝a ，解得e ＝c

a ＝3＋12.故填

3＋12.

11．已知双曲线Г：x 2－y 2b

2＝1(b ＞0)． (1)若Г的一条渐近线方程为y ＝2x ，求Г的方

程；

(2)设F 1，F 2是Г的两个焦点，P 为Г上一点，

且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．

解：(1)因为双曲线Г：x 2

－y 2b

2＝1(b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以b ＝2，

因此Г的方程为x 2－

y 2

＝1. (2)由双曲线定义可得：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，又PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为9，

所以|PF 1||PF 2|＝18，且|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，

所以

4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋

2|PF 1||PF 2|＝40，即c 2＝10，

所以b 2＝10－1＝9，因此b ＝3. 12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2

＝36有相同的焦点．

(1)求双曲线的标准方程．

(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．

解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 2

4＝1，焦点在x 轴

上，且c ＝

9－4＝5.

设双曲线的方程为x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)，

则有?????9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，

解得a 2＝3，b 2＝2，

故双曲线的标准方程为x 23－y 2

2＝1.

(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，

解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝2c ＝25，

所以在△MF 1F 2中，边MF 1最长，

由余弦定理可得cos ∠MF 2F 1＝12＋20－48

2×23×25＜

0，

所以∠MF 2F 1为钝角，

故△MF 1F 2是钝角三角形．

13．(2019·河北武邑中学月考)已知?m ∈R ，直

线l ：y ＝x ＋m 与双曲线C ：x 22－y 2

2＝1(b >0)恒有公

共点．

(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；

(2)若直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线

交于P ，Q 两点，并且满足FP →＝15

FQ →

，求双曲线C

的方程．

解：(1)联立?????y ＝x ＋m ，

x 22－y 2b 2＝1，

消去y ，整理得(b 2－

2)x 2－4mx －2(m 2＋b 2)＝0.

当b 2＝2，m ＝0时，易知直线l 是双曲线C 的一条渐近线，不满足题意，故b 2≠2，易得e ≠2.

当b 2≠2时，由题意知Δ＝16m 2＋8(b 2－2)(m 2

＋b 2)≥0，即b 2≥2－m 2，故b 2>2，

则e 2

＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2＋b

>2，e >2.

综上可知，e 的取值范围为(2，＋∞)． (2)由题意知F (c ，0)，直线l ：y ＝x －c ，与双曲

线C 的方程联立，得?????y ＝x －c ，

x 22－y 2b 2＝1，

消去x ，化简得(b 2

－2)y 2＋2cb 2y ＋b 2c 2－2b 2＝0，

当b 2＝2时，易知直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，与双曲线C 只有一个交点，不满足题意，故b 2≠2.

设P (x 1

，y 1

)，Q (x 2

，y 2

)，则?????y 1＋y 2＝－2cb 2

b 2－2

，①

y 1y 2

＝b 2c 2

－2b

b 2

－2，②

因为FP →＝15FQ →

，所以y 1＝15

y 2，③

由①③可得y 1＝－cb 2

3（b 2－2），y 2＝－5cb 2

3（b 2－2），

代入②整理得5c 2b 2＝9(b 2－2)(c 2－2)，

又c 2＝b 2＋2，所以b 2＝7.所以双曲线C 的方程

为x 22－y 2

＝1. 附加题 (2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a

＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为 ( )

A.x 23－y 29＝1

B.x 29－y 2

3＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 2

4＝1 解：设双曲线的右焦点坐标为F (c ，0)，则x A

＝x B ＝c ，由c 2a 2－y 2b 2＝1可得y ＝±b 2a ，不妨设A (c ，b 2

a )，

B (c ，－b 2

)，双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，

则d1＝|bc－b2|

a2＋b2

＝

bc－b2

c，d2＝

|bc＋b2|

a2＋b2

＝

bc＋b2

c，

则d1＋d2＝2bc

＝2b＝6，则b＝3，b2＝9，又双曲线

的离心率e＝c

a ＝1＋b2

＝1＋9

＝2，则a2＝3，

则双曲线的方程为x2

3－y2

＝1.故选A.