小升初奥数难点之迎面相遇问题

小升初奥数中有很多专题，我们需要把专题分类清晰，脑海中有清晰的脉络，逐个梳理学习。这也是小学培养知识统合梳理能力的有效机会。鸡兔同笼、抽屉原理、孙子定理等都是小学奥数常出现的专题，其中有一个问题对中学学习很有帮助，那就是：迎面相遇问题，也是小升初奥数的难点之一，数学家教专题讲解：

甲乙两车往返于AB两地，第一次距离A地700米处相遇，第二次距离B400米处相遇。求共有多少个迎面相遇点？几个背后追上点？

分析：行程问题多次相遇和追及都是加2全程的规律。但我开始对这个题的分析是有小问题的。就是相遇点不可以是起点或终点。此题我们先考虑全程。

第一次两人共走1个全程。

第二次共3个所以甲此时走了2100米，单独看甲是一个全程多400米。全程就是2100-400=1700米。

三次是3500米离A100米，第四次是离起点1500米，第五次-500米，第六次900米，第七次-1100米，第8次300米，第九次是1700米。

但是第九次是我们要思考的能在终点B相遇吗。此时甲走了7个全程，乙走了10个全程。

此时所谓的相遇点实际上是追及点。他们同时到B并且同时掉头不是迎面相遇。所以端点是不能成为迎面相遇点的。因为按规律算既是相遇点也是追及点。第九次相遇点实际是规律的第十次为-300米。第十次为规律的第11次为1100米，第11次为-900米，第12次为500米，第13次为-1500米，第14次为-100米，第15次为1300米，第16次为-700米。

注意这里的正方向指的是出发向B距离，-指的是返回余下距离。绝对值相同的点是同一个点，只是方向不同而已。第17次是700米。

这里实际是每16次迎面相遇是一个周期，从分析可以看出迎面相遇点只有8个。接下来我们讨论背后追上点。速度比7：10，所以第一次追上一个全程相当于3份对1个全程为1700/3，追及是没有特殊情况的。第一次甲走1700/3，第n次走1700（2n-1）/3，我们一次次枚举得到第一次距离1700/3，第二次是1700米，第三次是-1700/3，第四次是1700/3.绝对值相同时追及点也是一致的。所以追上点共2个。

我们通过此题发现相遇点共8个追上点共2个。并且没有一个点既是相遇点也是追上点。

通过这个题我们认识到多次相遇的迎面加2全程对于相遇点不是起点或终点是正确的，但注意如果有相遇点是起点或终点就要跳过一次。

追上这个基本规律仍然适用。笔者发现如果速度快的与速度慢的最简整数比是a：b，这背后追上点有（a-b+1）/2取整那么多个，迎面相遇点有（a+b）/2取整那么多个。并且不存在既是迎面相遇点也是背后追上点的点。

若存在则（2n-1）a/（a+b）与（2k-1）a/a-b对2倍全程同余数。回到本题就是（2n-1）10/17与（2k_1）10/3对17余数相同。不难知道此时只能是终点，而终点是不能作为相遇点的。如果此题我们用行程规律办就是700（2n-1）。

就代数角度易知是相遇周期17并且如果s，t有700（2s-1），700（2t-1）对3400余数一样必有1400（s-t）是3400倍数，约分后7（s-t）是17的倍数。但700（2n-1）+700（2（18-n）-1）=700乘以34.所以关于中间次数相遇点是对称的只是正相遇和负相遇的区别。所以有9个相遇点。

可是端点没有对称点。故只有8个迎面相遇点。讨论背后追上是1700（2n-1）/3，容易知道周期是3，和相遇样其它的点都有对称点，所以追上点有2个，终点无对应点。我们注意为何要用这背后追上点有（a-b+1）/2取整那么多个，迎面相遇点有（a+b）/2取整那么多个。

原因是当a，b都是奇数的时候相遇点不可能是端点。追上点也不能是端点。就是每个相遇点和追及点都有正负对应。而上题的1700和-1700是不加区别的。只有在1700处追上，不存在相遇。由于时间仓促，有些地方考虑不周请大家指点。

2小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒。他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟。在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？

按规律做是7200除以100=72，按一般规律是36次，但注意到端点不能是相遇点。60（2n-1）为100的倍数要去掉。也就是3（2n-1）不能是5的倍数。每隔5个除去1个第一个被除去的n是3.然后是8，13，18，23，28，33共7个。所以迎面相遇29次。如果把4米改为2米。相遇和追上点都不是端点。相遇点有2个就是75（2n-1）除，200余数按75，25，-25，-75.排列实际上是2个，追上按50（2n-1）就是在中点追上。所以不存在相遇点和追上点重合。如果最简整数比是一个奇数一个偶数就要考虑端点相遇的问题。实际上相遇点是（a+b）分点，追上点是（a-b）分点。（a+b）（a-b）是互质的。只可能是起点或终点重合，当a，b为奇数时候和为偶数，而相遇点式奇数分点，端点都是偶数分点所以不可能。但一个奇一个偶数时候，可能出现端点重合。但端点不可能是迎面相遇点。所以迎面相遇点和背后追上点一定不同。当比是两个奇数时候，迎面相遇可以按规律办，但一个奇数一个偶数的时候要注意剔除特殊情况。还有就是相遇周期一定会是偶数。至于背后追上按规律办就可以了。