高中数学基本解题方法之配方法

高中数学基本解题方法之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，

如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；

a2 ＋ab＋b2 ＝(a＋b)2 －ab＝(a－b)2 ＋3ab＝(a＋b2 )2＋（32b）2 ；

a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1 2 [(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] a2＋b2＋c2＝(a＋b ＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2 ；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x )2 ＋2 ；……等等。

Ⅰ、再现性题组：

1. 在正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3＋a5＝_______。

2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 14

B. k<14或k>1

C. k∈R

D. k＝1 4或k＝1

3. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0

4. 函数y＝log12 (－2x2 ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。 A. （－∞, 54]

B. [54,+∞)

C. (－12,54]

D. [5 4,3)

5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2 =4上，则实数a ＝_____。

【简解】1小题：利用等比数列性质amp amp＝am2 ，将已知等式左边后配方（a3＋a5）2 易求。答案是：5。2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2 ，解r2 >0即可，选B。3小题：已知等式经配方成(sin2 α＋cos2 α)2 －2sin2 αcos2 α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3－11。