高中数学逻辑用语练习题

选修2-1第1章命题及其关系

【随堂练习】下列语句中是命题的有________。

①一个数不是正数就是负数；

②0是自然数吗

③22013是一个很大的数；

④4是集合{2,3,4}的元素；

⑤作△ABC≌△A′B′C′。

例题1 （命题真假的判断）给出下列几个命题：

①若x，y互为相反数，则x＋y＝0；

②若a＞b，则a2＞b2；

③若x＞－3，则x2＋x－6≤0；

④若a，b是无理数，则a＋b是无理数。

其中的真命题有________个。

设有两个命题：p：函数y＝lg（x2－2x＋m）的值域为R；q：

函数f（x）＝－（7－3m）x是减函数。若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围。

例题2（四种命题的概念）写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题。

（1）如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

（2）如果x＞10，那么x＞0；

（3）当x＝2时，x2＋x－6＝0。

下列命题中正确的是（）

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题。

A. ①②③

B. ①③

C. ②③

D. ①

【易错警示】

改写命题时，写错大前提致误

【例析】已知c＞0，当a＞b时，ac＞bc. 把该命题改写成“若p则q”的形式。

不能正确否定命题的条件或结论致误

【例析】写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题。

同步练习

1. 下列语句是命题的是（）

①三角形的内角和等于180°；

②2>3；

③偶数是自然数；

④x＞2；

⑤这座山真险啊！

A. ①②③

B. ①③④

C. ①②⑤

D. ②③⑤

2. 下列说法正确的是（）

A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B. 语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题

C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D. 语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

3. “若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为。

4. 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由。

①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；

②若x＝4，则2x＋1<0 ；

③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；

④求证：当x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根。

5. 命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________。

选修2-1第1章充分条件与必要条件

【规律总结】

充分条件与必要条件的判断方法

（1）定义法：借助“?”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分。

用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛。

（2）集合法

从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}。

①若A?B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件。

②若B?A，则p是q的必要条件；若B A，则p是q的必要不充分条件。

③若A＝B，则p是q的充要条件。

④若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。

【随堂练习】已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是（）

A. p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点

B. p：f x

f x

(-)

()

＝1；q：y＝f（x）是偶函数

C. p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β

D. p：A∩B＝A；q：A?U，B?U，?U B??U A

例题1（充分条件、必要条件、充要条件的判断）

（1）已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列结论正确的是（）

①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；

②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；

③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；

④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件。

A. ③④

B. ②③

C. ①②③

D. ①②④

（2）若p：（x－1）（x＋2）≤0，q：x＜2，则p是q的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

例题2 （充分条件、必要条件、充要条件的应用）

（大连高二期末）设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax－2a2＞0的解集为B（其中a＜0）。

（1）求集合B；

（2）设p：x∈A，q：x∈B，且?p是?q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。

例题3 （充要条件的证明）求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等

的实根的充要条件是：0＜m＜1

3

。

【练习】一次函数y＝－m

n

x＋

1

n

的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分

条件是（）

A. m＞0，n＞0

B. mn＜0

C. m＜0，n＜0

D. mn＞0

1. （成都高二检测）“x＝3”是“x2＝9”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

2. 设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3. （武汉高二检测）“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的________条件。

4. 若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围。