数学证明方法
数学证明方法
摘要:数学证明是数学学习中非常重要的一部分,数学证明有核实作用,理
解作用,发现作用和思维训练作用,数学证明常用的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等等。
关键词:数学证明;意义;方法
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,它的应用非常广泛,是学习现代科学技术必不可少的基础学科。学习数学,就离不开数学证明,这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢?许多人认为数学证明是根据相应的公理,法则等来说明结论是正确的一种活动。数学证明是数学学习中非常重要的一部分,在不同的情境中,数学证明有不同方法。
数学证明的方法
(一)综合法和分析法
综合法是从命题的条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到要
证的结论的方法。分析法则是从要证的结论出发,一步一步的搜索下去,最后达到命题的已知条件的方法。
例1 求证θθsin cos 1-=θθ
cos 1sin +
方法1: 左边 =)cos 1(sin sin 2θθθ+=θθ
cos 1sin +=右边
所以得证。
方法2:右边=θθcos 1sin +=)cos 1)(cos 1()cos 1(sin θθθθ-+-=θθθ2cos 1)
cos 1(sin --
=θθθ2sin )cos 1(sin - =θθ
sin cos 1-=左边
所以得证。
方法3:θθsin cos 1-=2cos 2sin 22sin 22
θθθ=tan 2θ=2cos 22cos
2sin 22θ
θθ=θθcos 1sin +
所以得证。
方法4:要证θθsin cos 1-=θθcos 1sin +只需要证
θθθθsin sin )cos 1)(cos 1(=+-
即要证θθ22sin cos 1=-,显然,这个命题成立,故得证。
上述例题的四种解法中,前三种是用综合法解的,而第四种解法
是用分析法解的。在证明的过程中,我们用到了同角三角函数的关系,半角公式等等。所以,通过数学证明我们不仅理解了这道命题的正确性,还知道了为什么正确,同时还增进了对同角三角函数的关系,半角公式等等的理解。
从例1我们可以看出,综合法的特点是从“已知”逐步推向“未
知”,其逐步推理,实际是要寻找它的必要条件。分析法的特点是从“需知”逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件。
综合法和分析法各有其优缺点。从寻求解题思路来看,综合法是
由已知的寻找未知的,即直接由条件证明结论。但是由条件容易导出许多其它的结论,因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的,即由结论慢慢推出所需要的条件,这样比较容易解决问题。就表述证明
的过程而论,综合法的形式比较简洁,条理清晰,分析法由于倒过来叙述,因而比较繁琐,文辞冗长。这也就是说,分析法有利于思考解决问题,综合法宜于表达问题。因此在解题时,可以把分析法和综合法结合起来使用,先以分析法为主,寻找解题思路,再用综合法有条理的表述证明过程。
(二)反证法
通过证明论题的否定命题不真实,从而肯定论题真实性的方法叫
做反证法。
反证法的一般步骤如下:
假设命题的结论不成立,即结论的否定命题成立。
从否定的结论出发,逐层进行推理,得出与公理或前述的定理,
定义或题设条件等自相矛盾的结论,即说证明结论否定不成立。
据排中律,最后肯定原命题成立。
反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结
论相矛盾的方面只有一种可能情况,只要把这种情况推翻,就能肯定结论成立,这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况,就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒,才能肯定结论成立,这种反正法叫做穷举法。
例 2求证2是无理数。
证明:假设2是有理数,且为既约分数q p
,(p>0,q>0),则22q p =2,
222q p ,由此可见p 是偶数,记为2r 。同理又可得q 也是偶数,这与
q p 是既约分数相矛盾。从而2是无理数。 在这道题目中,2只有两种可能,是无理数或者不是无理数。
所以,命题的否定方面只有一种可能情况。因而,我们可以假即设其为有理数,然后推出矛盾证得该题。
例 3在四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,已知
OB=OD ,BCD BAD ∠=∠。
求证:四边形ABCD 是平行四边形。
证明:如图,假设四边形ABCD 不是
平行四边形,则由于OB=OD ,所以必有OA ≠OC ,即OA
若OA
如果OC OA >,同理可证,这也是不可能的。
所以,四边形ABCD 是平行四边形。
在该题中,命题的否定方面有两种可能OA
通过这道题的证明,可以增进人们对平行四边形特征的理解,使
自己的思维更加严谨,缜密。
反证法是一种重要的证明方法,不但在初等数学中有很多的应
用,就是在高等数学中也有着很重要的应用,数学中的一些重要的结论,从最基本的性质,定理到某些难度较大的世界难题,往往是用反
证法得到的。
在证明该题的过程中,用到了勾股定理,全等三角形的知识。所
以,通过该题,也可以使人们加强对勾股定理以及三角形全等方面的知识的理解。
需要指出的是,同一法和反正法的适用范围是不同的,同一法的
局限性较大,通常只适用于符合同一原理的命题,反证法则普遍适用,对于能够用同一法证明的命题一般都能用反证法证明。
(三)数学归纳法
我们采用记号)(n p 表示一个与自然数n 有关的命题,把它们都写
出来 )1(p ,),2(p )3(p ……
事实上,如果满足下面两个条件:
(1))1(p 成立(即当1=n 时命题成立)
(2)只要假设)(k p 成立(归纳假设),由此就可得)1(+k p 也成立
(k 是自然数)就能保证这一大串(无数多个)命题)1(p ,),2(p )3(p ……都成立。
我们把此叫做数学归纳法原理。
根据数学归纳法原理,我们在证明时可以相应的按照以下两步进
行:
(1) 验证)1(p 是成立的。
(2) 假设)(k p 成立,证明出)1(+k p 也成立。
由(1),(2)可得对于任意的自然数n ,命题)(n p 都成立。
这是数学归纳法最基本的形式,通常称作第一数学归纳法。
例5 证明1+3+5+……+)12(-n =2
n 证明:(1)当n =1时,左边=1,右边=2
1=1 等式成立。
(2) 假设当n =k (k ≥1)时等式成立,即1+3+5+……+)12(-k =2k 则n =k +1时1+3+5+……+)12(-n =1+3+5+……+)12(-k +[2)1(+k -1]
=1+3+5+……+)12(-k +)12(+k
=2k +)12(+k =2
)1(+k 所以,当n =k +1时,等式也成立。
由(1),(2)可知,对于任意自然数n ,等式都成立。所以得证。 总之,一个数学命题往往可以有不同的思路来思考证明,思路不同,所产生的影响不同,证明方法也不同,对于不同的数学命题的证明也可以有许多不同的思路,不同的方法。
参考文献
[1] 李士锜 PME :数学教育心理学 华东师范大学出版社
[2] 蒋文蔚 杨延龄 数学归纳法 北京师范大学出版社
[3] 侯敏义 数学思维与数学方法论 东北师范大学出版社