八年级勾股定理易错题总结(含答案)

八年级勾股定理易错题总结（含答案）

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）

1.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=8，AD=17，折叠纸片使点B落在边AD上

的E处，折痕为PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动．若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，则点E在边AD上移动的最大距离为()

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

【答案】A

【解析】解：如图1，当点P与点A重合时，根据翻折对称性可得AE=AB=8，

如图2，当点C与点Q重合时，根据翻折对称性可得

QE=BC=17，

在Rt△ECD中，EC2=DE2+CD2，

即172=(17?AE)2+82，

解得：AE=2，

所以点E在AD上可移动的最大距离为8?2=6．

故选：A．

分别利用当点P与点A重合时，以及当点C与点Q重合时，求出AE的长进而得出答案．本题考查了翻折变换及勾股定理，求出特殊位置的AE值是本题的关键．

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，

连接BE，CD，若BC=5，CD=6.5，则△BCE的周长为()

A. 16.5

B. 17

C. 18

D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质和勾股定理，首先由线段垂直平分线的性质得到AE=BE，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出AB的长，然后由勾股定理求出AC的长，再将△BCE的周长转化为BC+AC进行求解即可．

【解答】

解：∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，AD=BD，

∵∠ACB=90°，CD=6.5，

∴AB=2CD=13，

∵BC=5，

∴AC=√AB2?BC2=12，

∴△BCE的周长为BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=5+12=17．

故选B．

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB边上，AD=AC，

AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是()

D. 3

A. 1.5

B. 2.5

C. 8

3

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，属于中档题．连接DE，由勾股定理求出AB=5，由线段垂直平分线的性质得出CE=DE，由SSS证明△ACE≌△ADE，得出∠ADE=∠ACB=90°，设CE=x，则DE=x，BE=4?x，在Rt△BDE中，由勾股定理，即可得解．

【解答】

解：如图所示，连接DE，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=√AC2+BC2=5，

∵AD=AC=3，AE⊥CD，

∴AE垂直平分CD，BD=AB?AD=2，

∴CE=ED，

在△ACE和△ADE中，

{AC=AD AE=AE CE=DE

,

∴△ACE≌△ADE，

∴∠ADE=∠ACB=90°，

∴∠EDB=90°，

设CE=x，则DE=x，BE=4?x，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2=BE2，即x2+22=(4?x)2，

解得：x=1.5，

∴BE=BC?CE=4?1.5=2.5．

故选B．

4.如图，等腰三角形ABC纸片的底和腰分别为m和n(m

图，作高线BD和AE，则下列错误的结论是()

A. AE=√4n2?m2

2

B. CD=m2

2n

C. BD=√4n2?m2

2n

D. AD=2n2?m2

2n

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等有关知识，

A.根据等腰三角形的性质得到CE=1

2

m，根据勾股定理可求AE的长；

B.根据勾股定理可求CD的长；

C.根据三角形面积公式可求BD的长；

D.根据线段的和差关系可求AD的长．

【解答】

解：A.CE=1

2m，AE=√n2?(1

2

m)2=√4n2?m2

2

，正确，不符合题意；

B.CD=m2?(m√4n2?m2

2n )2=m2

2n

，正确，不符合题意；

C.BD=m×√4n2?m2

2÷2×2÷n=m√4n2?m2

2n

，原来的错误，符合题意；

D.AD=n?m2

2n =2n2?m2

2n

，正确，不符合题意．

故选C．

5.在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB?PC的值为()

A. m2

B. m2+1

C. m2+m

D. (m+1)2

【答案】A

【解析】略

6.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中

点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接

CF，则CF的长为()

A. 9

5 B. 12

5 C. 165 D. 185

【答案】D 【解析】 【分析】

本题考查的是矩形的性质，折叠的性质，勾股定理有关知识，综合性较强．

连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC =90°，根据勾股定理求出答案． 【解答】 解：连接BF ，

∵BC =6，点E 为BC 的中点， ∴BE =3， 又∵AB =4，

∴AE =√AB 2+BE 2=5，

由折叠知，BF ⊥AE(对应点的连线必垂直于对称轴) ∴BH =AB×BE AE =

125

，

则BF =

245

，

∵FE =BE =EC ， ∴∠BFC =90°， ∴CF =√62?(245)2

=185

．

故选D .

7.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交

AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论：

①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；

④S

四边形BCDE =1

2

BD?CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2.

正确的结论个数有()

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键，根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=

∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+ CD2，得到⑤正确；再求出AE//CD时，∠ADC=90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误

【解答】

解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE.∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD，故①正确．

∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，

∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，

∴∠BGC=180°?(∠BCG+∠CBG)=180°?90°=90°，

∴BD⊥CE，，故④正确．

∵在Rt△BCG中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2，

在Rt△DEG中，由勾股定理，得DE2=DG2+EG2，

∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2．

又∵在Rt△BGE中，由勾股定理，得BE2=BG2+EG2，

在Rt△CDG中，由勾股定理，得CD2=CG2+DG2，

∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，

∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确．

②③无法证明．

综上所述，正确的结论有3个．

故选C．

8.若△ABC中，AB=7，AC=8，高AD=6，则BC的长是()

A. 10+√13

B. 2√7+√13

C. 10±√13

D. 2√7±√13【答案】D

【解析】略

9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点．若DA=DB=15，△ABD的

面积为90，则CD的长是()

A. 6

B. 9

C. 12

D. √189

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查勾股定理及三角形的面积有关知识，根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．

【解答】

解：∵∠C=90，DA=15，

DA?BC=90，

∴S△DAB=1

2

∴BC=12，

在Rt△BCD中，CD2+BC2=BD2，即CD2+122=152，

解得：CD=9(负值舍去)．

故选B．

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，

动点P从点A出发在射线AC上以2cm/s的速度运动．设

运动的时间为ts.当△PAB是等腰三角形时，则t的值是

__________．

【答案】5或8或25

8

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理以及等腰三角形等知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．

当AB为底时，点P在AC上，AP=2tcm，CP=(8?2t)cm.作PD垂直平分AB，垂足为点D，交AC于点P，连接BP.可得62+(8?2t)2=(2t)2，解方程即可得解．当BP1为底时，点P1在AC的延长线上，AP1=2tcm.可得2t=10，则t=5.当AP2为底时，点P2在

AC的延长线上，AP2=2tcm，P2C=(2t?8)cm，即2t?8=8，可得解．

【解答】

解：①如图1，当AB为底时，点P在AC上，AP=2tcm，CP=(8?2t)cm．

作PD垂直平分AB，垂足为点D，交AC于点P，连接BP．

可得：BC=6，

∵PD垂直平分AB，

∴AP=BP=2tcm．

在Rt△BCP中，BC2+CP2=BP2，

即62+(8?2t)2=(2t)2，36+64?32t+4t2=4t2，

．

解得：t=25

8

②如图2，当BP1为底时，点P1在AC的延长线上，AP1=2tcm．

∵AP1=AB，

∴2t=10，

解得：t=5．

③如图2，当AP2为底时，点P2在AC的延长线上，AP2=2tcm，P2C=(2t?8)cm．∵P2B=AB，BC⊥P2A，

∴P2C=AC(“三线合一”)，

即2t?8=8，

解得：t=8．

所以当△PAB是等腰三角形时，t的值为5或8或25

．

8

故答案为5或8或25

8

．

11.等边△ABC边长为8.P，Q分别是边AC，BC上的点，连结AQ，BP，交于点O.以下

结论：①若AP=CQ，则△BAP≌△ACQ；②若AQ=BP，则∠AOB=120°；③若AP=CQ，BP=7，则PC=5；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动(到达点C就停止)，则点O经过的路径长为4√3.其中正确的________.

【答案】①④

【解析】

【分析】

本题是道易错题，综合的考查了全等的基本知识以及分类讨论的数学思想．

第①个选项直接找到对应的条件，利用SAS证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性或者全等)在来计算路径长．

【解答】

解：①在三角形△BAP和△ACQ中

{AP=CQ

∠BAP=ACQ=60°AB=AC

,

则△BAP≌△ACQ(SAS)，∴①正确

②如图，

题中AQ=BP，存在两种情况．在P1的位置，∠AO1B=120°；在P2的位置，∠AOB的大小无法确定．∴②错误

③如图，作PE垂直于BC于点E，

设CP=x，∵∠C=60°，∴CE=1

2x，BE=8?1

2

x，PE=√3

2

x，PB=7，

在Rt△PBE中，根据勾股定理，得PB2=PE2+BE2，化简得x2?8x+15=0，

利用完全平方公式化简可得(x?4)2=1，

解得x=3或5，∴PC=3或5.故③错误．

④由题可得：AP=BQ，由对称性可得(或者证明△ABP和BAQ全等)O的运动轨迹为△ABC中AB边上的中线，

如图，延长CO交AB于点E，由AB=8，∠BCE=30°，∴BE=4，运动轨迹为CE=4√3，

故答案为：①④．

12.如图，长方形ABCD中，AD=8，AB=4，BQ=5，

点P在AD边上运动，当△BPQ为等腰三角形时，AP

的长为______．

【答案】3或5

2

或2

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，BC=AD=8，

当△BPQ为等腰三角形时，分三种情况：

①BP=BQ=5时，AP=√BP2?AB2=√52?42=3；

②当PB=PQ时，作PM⊥BC于M，

则点P在BQ的垂直平分线上，如图1所示：

∴AP=1

2BQ=5

2

；

③当QP=QB=5时，作QE⊥AD于E，如图2所示：

则四边形ABQE是矩形，

∴AE=BQ=5，QE=AB=4，

∴PE=√QP2?QE2=√52?42=3，

∴AP=AE?PE=5?3=2；

综上所述，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为3或5

2

或2；

故答案为：3或5

2

或2．

分三种情况：①BP=BQ=5时，由勾股定理得AP=3；②当PB=PQ时，点P在BQ

的垂直平分线上，则AP=1

2BQ=5

2

；③当QP=QB=5时，作QE⊥AD于E，则四边形

ABQE是矩形，由勾股定理求出PE=3，得AP=AE?PE=2即可．

本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，注意分情况讨论．

13.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交

AB于D，E为垂足，连接CD，若BD=2，则AC的长是______．

【答案】4√3

【解析】

【分析】

本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的

内角和定理有关知识，求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．

【解答】

解：∵∠A=30°，∠B=90°，

∴∠ACB=180°?30°?90°=60°，

∵DE垂直平分斜边AC，

∴AD=CD，

∴∠A=∠ACD=30°，

∴∠DCB=60°?30°=30°，

∵BD=2，

∴CD=AD=4，

∴AB=4+2=6，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：CB=√DC2?BD2=√42?22=2√3，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√62+(2√3)2=4√3．

故答案为4√3．

14.如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=6，E为BC中点，将△ABE沿AE折叠，

使点B落在长方形内部的一点F，连结CF，则CF的长为________．

【答案】18

5

【解析】略

15.等腰△ABC的腰长AB=AC=10，底边上的高AD=6，则底边BC=______．【答案】16

【解析】解：在Rt△ABD中，BD=√AB2?AD2=8．

∵△ABC是等腰三角形，

∴BC=2BD=16．

故答案为：16．

根据勾股定理即可求出BD的长，根据等腰三角形的三线合一得BC=2BD．

本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握等腰三角形的三线合一及勾股定理在直角三角形中的表达式．

16.如图，P是等边△ABC外一点，把△ABP绕点B顺时

针旋转60°到△CBQ，已知∠AQB=150°，QA：QC=a：

b(b>a)，则PB：QA=______(用含a，b的代数式

表示)

【答案】√b2?a2：a

【解析】解：如图，连接PQ，

∵把△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ，

∴△ABP≌△CBQ，∠PBQ=60°，

∴PA=CQ，PB=BQ，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PQ=PB，∠BQP=60°，

∵∠AQB=150°，

∴∠PQA=90°，

∵QA：QC=a：b，

∴设QA=ak，QC=bk=PA，

∴PQ=√QC2?QA2=k?√b2?a2=PB

∴PB：QA=√b2?a2：a，

故答案为：√b2?a2：a．

如图，连接PQ，由旋转的性质可得PA=CQ，PB=BQ，∠PBQ=60°，可证△BPQ是

等边三角形，可得PQ=PB，∠BQP=60°，由勾股定理可求解．

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，把PB和QA转化到同一个直角三角形中是解题的关键．

17.将面积为2π的半圆与两个正方形拼接成如图所示的图形，则这

两个正方形面积的和为____．

【答案】16

【解析】

【分析】

此题考查的知识点是勾股定理，关键是由面积为2π的半圆求出半圆的直径，再根据勾股定理求出这两个正方形面积的和．首先由面积为2π的半圆求出半圆的直径，即直角边的斜边，再根据勾股定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和．

【解答】

解：已知半圆的面积为2π，

所以半圆的直径为：，

即如图直角三角形的斜边为：4，

设两个正方形的边长分别为：x，y，

则根据勾股定理得：x2+y2=42=16，

即两个正方形面积的和为16．

故答案为16．

三、解答题（本大题共15小题，共120.0分）

18.如图，点O为线段AD上一点，CO⊥AD于点O，OA=OB，OC=OD，点M、N

分别是AC、BD的中点，连接OM、ON、MN．

(1)求证：AC=BD；

(2)试判断的形状，并说明理由；

(3)若AC=2，在图2中，点M在DB的延长线上，求△AMD的面积．【答案】(1)证明：∵CO⊥AD，

∴∠AOC=∠BOD=90°，

在△AOC和△BOD中，

{

OA=OB

∠AOC=∠BOD=90°

OC=OD

,

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD．

(2)解：△MON是等腰直角三角形，

理由如下：由(1)得：△AOC≌△BOD，

则∠A=∠OBD，

在Rt△AOC中，

∵M是AC的中点，

∴OM=1

2

AC，

同理可得ON=1

2

BD，

因为AC=BD，

∴OM=ON，

∵∠A=∠AOM，∠NBO=∠NOB，∠A=∠OBD，∴∠NOB=∠MOA，

又∵∠AOC=90°，

∴∠MON=90°，

∵∠MON=90°，OM=ON，

∴△MON是等腰直角三角形．

(3)解：由(1)得：AC=BD，

由(2)得：△MON是等腰直角三角形，

∵点M，N分别是AC，BD的中点，且AC=2，∴AM=ND=BN=1，

∵在Rt△AOC中，点M是AC的中点，AC=BD，∴OM=AM=1，

∴ON=1，

在Rt△MON中，

OM2+ON2=MN2，1+1=MN2，

∴MN=√2，

∴MD=√2+1，

∵△AOC≌△BOD，

∴∠C=∠D，

又∵∠A+∠C=90°，∴∠A+∠D=90°，

∴∠AMD=90°，

∴△AMD是直角三角形，

∴△AMD面积为：1

2×1×(√2+1)=√2+1

2

．

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积，勾股定理，属于较难题．

(1)欲证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD即可；

(2)结论：△MON是等腰直角三角形．只要证明OM=ON，∠MON=90°即可；

(3)可得∠A+∠D=90°，得出△AMD是直角三角形，由此可得解．

19.如图，等边三角形ABC的边长为4，E为边AB上一点，过点E作DE⊥BC，交BC

于点D，在DE右侧作等边三角形DEP，记P到BC的距离为m1，P到AC的距离为m2．

(1)若BD=4

3

，试求线段DE的长，并求m1，m2的值；

(2)若BD=x(1≤x≤2)，用含x的代数式表示m1，m2，并求P在∠C的平分线上

时x的值．

【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，

∵DE⊥BC，

∴∠BDE=90°，

∵BD=4

3

，

∴DE=4√3

3

，

∵△DEP是等边三角形，

∴PD=DE=4√3

3

，∠PDE=60°，

过P作PF⊥BC于F，

∴∠PDF=30°，

∴PF=1

2PD=2√3

3

，

∴m1=2√3

3

；

延长DP交AC于G，

∵∠C=60°，∠CDG=30°，∴∠CGD=90°，

∴PG=m2．

∵BC=4，BD=4

3

，

∴CD=8

3

，

∴CG=1

2CD=4

3

，

∴DG=√CD2?CG2=4√3

3

，∴PG=DG?PD=0，

∴m2=0；

(2)∵BD=x，

同(1)可得，DE=PD=√3x，

∴PF=m1=1

2PD=√3

2

x，

∵BC=4，BD=x，∴CD=4?x，

∴CG=1

2CD=2?1

2

x，

∴DG=√CD2?CG2=2√3?√3

2

x，

∴PG=DG?PD=2√3?3√3

2

x，

∴m2=2√3?3√3

2

x；

当P在∠C的平分线上时，PF=PG，

∴√3

2x=2√3?3√3

2

x；

解得：x=1．

【解析】(1)根据等边三角形的性质得到∠B=60°，PD=DE=4√3

3

，∠PDE=60°，过

P作PF⊥BC于F，根据直角三角形的性质得到m1=2√3

3

；延长DP交AC于G，根据勾

股定理得到DG=√CD2?CG2=4√3

3

，于是求得m2=0；

(2)同(1)可得，DE=PD=√3x，得到PF=m1=1

2PD=√3

2

x，求得CG=1

2

CD=2?1

2

x，

根据勾股定理得到DG=√CD2?CG2=2√3?√3

2x，求得PG=DG?PD=2√3?3√3

2

x，

得到m2=2√3?3√3

2

x；根据角平分线的性质即可得到结论．

本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

20.在△ABC中，点D在BC上，AB=AC=BD，点E在BC的延长线上，∠E=15°．

(1)如图1，若∠BAC=80°，求∠DAE的度数；

(2)如图2，若CE=CA，AD=2√2，求线段AC的长．

【答案】解：(1)如图1，

∵AB=AC，∠BAC=80°，

(180°?∠BAC)=50°，

∴∠B=∠ACB=1

2

∵BD=AB，

(180°?∠B)=65°，

∴∠BAD=∠BDA=1

2

∵∠E=15°，

∴∠DAE=∠BAD?∠E=65°?15°=50°；

(2)如图，作DF⊥AC于F，

，

∵AC=CE，

∴∠CAE=∠E=15°，

∵∠ACD=∠CAE+∠E=2∠E，

∴∠ACD=30°，

∵AB=AC=BD，

∴∠B=∠ACD=30°，∠BAC=120°，∠BAD=∠ADB=75°，∴∠DAC=∠BAC?∠BAD=45°，

∴∠ADF=90°?45°=45°，

∴AF=DF，

在Rt△AFD中，

∵AD=2√2，

由勾股定理得：AF2+AD2=AD2，

=2，

∴AF=√AD2

2

∴DF=2，

在Rt△DFC中，

∵∠ACD=30°，∠DFC=90°，