导数概念--公式知识点总结+习题含详细讲解
．《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：
2121
()()
f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x
+?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()
f x x f x x
+?-?；
（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()()
f x x f x x
+?-?无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.
4. 导数的几何意义：
函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义：
质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算
1. 常见函数的导数：
（1）()kx b k '+=(k , b 为常数)；
（2）0C '=(C 为常数)；
（3）()1x '=； （4）2()2x x '=；
（5）32()3x x '=；
（6）211()x x
'=-；
（7）
'；
（8）1()ααx αx -'=（α为常数）；
（9）()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠；
（10）11(log )log (0,1)ln a a x e a a x x a
'==>≠；
（11）()x x e e '=；
（12）1(ln )x x '=； （13）(sin )cos x x '=；
（14）(cos )sin x x '=-。
2. 函数的和、差、积、商的导数： （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；
（2）[()]()Cf x Cf x ''=（C 为常数）；
（3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；
（4）2()()()()()
[
](()0)()()
f x f x
g x f x g x g x g x g x ''-'=≠。 3. 简单复合函数的导数：
若(),y f u u ax b ==+，则x
u x y y u '''=?，即x u y y a ''=?。
选择题（共14小题）
1．函数f （x ）=sin 2x 的导数f ′（x ）=（ ） A ． 2sinx B ． 2sin 2x
C ．
2cosx D ．
s in2x
考点： 简单复合函数的导数．
分析： 将f （x ）=sin 2x 看成外函数和内函数，分别求导即可． 解答： 解：
将y=sin 2x 写成， y=u 2，u=sinx 的形式．
对外函数求导为y′=2u，
对内函数求导为u′=cosx，
故可以得到y=sin2x的导数为
y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x
故选D
点评：考查学生对复合函数的认识，要求学生会对简单复合函数求导．
2．曲线f（x）=lnx+2x在点（1，f（1））处的切线方程是（）
A．3x﹣y+1=0B．3x﹣y﹣1=0C．3x+y﹣1=0D．3x﹣y﹣5=0
考点：简单复合函数的导数；直线的点斜式方程．
分析：先要求出在给定点的函数值，然后再求出给定点的导数值．
将所求代入点斜式方程即可．
解答：解：
对f（x）=lnx+2x求导，得
f′（x）=+2．
故在点（1，f（1））处可以得到
f（1）=ln1+2=2，
f′（1）=1+2=3．
所以在点（1，f（1））处的切线方程是：
y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），代入化简可得，
3x﹣y﹣1=0．
故选B．
点评：考查了学生对切线方程的理解，要求写生能够熟练掌握．
3．若函数f（x）=sin2x，则f′（）的值为（）
A．B．0C．1D．﹣
考点：简单复合函数的导数．
专题：计算题．
分析：先利用复合函数的导数运算法则求出f（x）的导函数，将x=代入求出值．
解答：解：f′（x）=cos2x（2x）′=2cos2x
所以f′（）=2cos=1
故选C．
点评：求函数在某点处的导数值，应该先利用导数的运算法则及初等函数的导数公式求出导函数，在求导函数值．
4．函数f（x）=xsinx+cosx的导数是（）
A．x cosx+sinx B．x cosx C．x cosx﹣sinx D．c osx﹣sinx
考点：导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．
专题：计算题．
分析：利用和及积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导数．
解答：解：∵f（x）=xsinx+cosx
∵f′（x）=（xsinx+cosx）′=（xsinx）′+（cosx）′
=x′sinx+x（sinx）′﹣sinx
=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx
故选B
点评：本题考查导数的运算法则、基本初等函数的导数公式．属于基础试题
5．的导数是（）
A．B．C．D．
考点：导数的乘法与除法法则．
专题：计算题．
分析：利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可
解答：
解：y′===
故选A
点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题
6．y=xlnx的导数是（）
A．x B．l nx+1C．3x D．1
考点：导数的乘法与除法法则．
专题：导数的综合应用．
分析：直接由导数的乘法法则结合基本初等函数的导数公式求解．
解答：解：∵y=xlnx，
∵y′=（xlnx）′=x′lnx+x（lnx）′=．
故选：B．
点评：本题考查导数的乘法法则，考查了基本初等函数的导数公式，是基础题．
7．函数y=cose x的导数是（）
A．﹣e x sine x B．c ose x C．﹣e x D．s ine x
考点：导数的乘法与除法法则．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据导数的运算法则即可得到结论．
解答：解：函数的导数为f′（x）=﹣sine x?（e x）′=﹣e x sine x，
故选：A
点评：本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则．
8．已知，则f′（）=（）
A．﹣1+B．﹣1C．1D．0
考点：导数的加法与减法法则．
专题：计算题．
分析：本题先对已知函数进行求导，再将代入导函数解之即可．
解答：解：
故选B．
点评：本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，解题的关键是正确求解导函数，属于基础题．
9．函数的导数是（）
A．B．C．e x﹣e﹣x D．e x+e﹣x
考点：导数的加法与减法法则．
专题：计算题．
分析：根据求导公式（u+v）′=u′+v′及（e x）′=e x即可求出函数的导数．
解答：解：∵，
∵y′==．
故选A．
点评：本题考查了导数的运算，牢记求导公式是解本题的关键．
10．函数y=x2﹣2x在﹣2处的导数是（）
A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8
考点：导数的加法与减法法则．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：求出原函数的导函数，在导函数解析中取x=﹣2计算即可得到答案．
解答：解：由y=x2﹣2x，得y′=2x﹣2．
∵y′|x=﹣2=2×（﹣2）﹣2=﹣6．
故选C．
点评：本题考查了倒数的加法与减法法则，考查了基本初等函数的导数公式，是基础的计算题．
11．设y=ln（2x+3），则y′=（）
A．B．C．D．
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据复合函数的导数公式即可得到结论．
解答：解：∵y=ln（2x+3），
∵，
故选：D
点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握复合函数的导数公式，比较基础．
12．已知函数，则f′（x）等于（）
A．B．C．0D．
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：我们知道：若函数f（x）=c为常数，则f′（x）=0，故可得出答案．
解答：解：∵函数，∵f′（x）=0．
故选C．
点评：本题考查了常数的导数，只要理解常数c′=0即可解决此问题．
13．曲线y=x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（）
A．4B．5C．6D．7
考点：导数的几何意义．
专题：计算题．
分析：曲线y=x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k就等于函数y=x2+3x在点A（2，10）处的导数值．
解答：解：曲线y=x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率
k=y′=2x+3=2×2+3=7，
故答案为7．
点评：本题考查函数在某点导数的几何意义的应用．
14．曲线y=4x﹣x2上两点A（4，0），B（2，4），若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为（）A．（1，3）B．（3，3）C．（6，﹣12）D．（2，4）
考点：导数的几何意义．
分析：首先求出弦AB的斜率，再利用导数的几何意义求出P点坐标．
解答：解：设点P（x0，y0）
∵A（4，0），B（2，4）
∵k AB==﹣2
∵过点P的切线l平行于弦AB
∵k l=﹣2
∵根据导数的几何意义得知，曲线在点P的导数y′=4﹣2x=4﹣2x0=﹣2，即x0=3∵点P（x0，y0）在曲线y=4x﹣x2上
∵y0=4x0﹣x02=3
∵故选B．
点评：考核导数的几何意义及两条直线平行斜率的关系．
二．填空题（共2小题）
15．求导：（）′=，．
考点：简单复合函数的导数．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据复合函数的导数公式进行求解即可．
解答：
解：=（x2+1），
则函数的导数为y′=（x2+1）（x2+1）′=（x2+1）×2x=，
故答案为：
点评：本题主要考查导数的计算，根据复合函数的导数公式是解决本题的关键．
16．函数y=的导数是．
考点：简单复合函数的导数．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据复合函数的导数公式进行计算即可．
解答：
解：函数的导数为y′==，
故答案为：
点评：本题主要考查导数的计算，根据复合函数的导数公式进行计算是解决本题的关键．
三．解答题（共1小题）
17．求函数y=e﹣5x+2的导数．
考点：简单复合函数的导数．
专题：导数的概念及应用．
分析：直接利用复合函数的导数求解运算法则求解即可．
解答：解：函数y=e﹣5x+2的导数：y′=﹣5e﹣5x．
故答案为：y′=﹣5e﹣5x．
点评：本题考查导数的运算，基本知识的考查．
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
高考文科导数考点汇总完整版
高考文科导数考点汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?） －f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处 可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就 说函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 3．几种常见函数的导数: ①0;C '= ② ()1 ; n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)'''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
最新高中数学导数知识点归纳总结
高中导数知识点归纳 1 一、基本概念 2 1. 导数的定义： 3 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也4 引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 5 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数6 )(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 7 ()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=) ()(lim )(00000 8 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程） 9 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的10 斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为11 ).)((0'0x x x f y y -=- 12 3．基本常见函数的导数: 13 ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= 14 ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; 15 ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; 16 ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 17 二、导数的运算 18 1.导数的四则运算： 19
高考复习文科导数知识点总结
导数知识点 一．考纲要求 考试内容8 要求层次 A B C 导数及其应用 导数概念及其几何意义 导数的概念 √ △ 导数的几何意义 √ 导数的运算 根据导数定义求函数y c =，y x =， 2 y x =， 1y x = 的导数 √ 导数的四则运算 √ 导数公式表◇ √ 导数在研究函数中的应 用 利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） ☆ √ 函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次） ☆ √ 利用导数解决某些实际问题 √ 二．知识点 1.导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为 ).)((0' 0x x x f y y -=- 2.、几种常见函数的导数 ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 3.导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=±. （2）''' ()uv u v uv =+. （3）'' ' 2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 4. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的 极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时， ①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；
高中数学导数典型例题精讲
高中数学导数典型例题 精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
导数知识点归纳及应用 文科辅导
导数知识点归纳及应用 一、相关概念 1．导数的概念 略 二、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '= ; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 例1：下列求导运算正确的是 ( ) A ．(x+2 11)1 x x +=' B ．(log 2x)′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ． (x 2cosx)′=-2xsinx 2．导数的运算法则 法则1：(.)' ''v u v u ±=± 法则2：.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则.)(''Cu Cu = 法则3：='?? ? ??v u 2''v uv v u -（v ≠0）。 3.复合函数求导 三、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。 相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。 例：曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(1,4)-- D ．(2,8)和(1,4)--
四、导数的应用 1.函数的单调性与导数 （1）如果' f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数； 如果'f 0)( 导数 一、导数的概念 1．导数的背景 （1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在 时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2.导数的定义 如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做 在开区间（a,b）内的导函数，记作，导函数也简称为导数。 3、求在处的导数的步骤： （1）求函数的改变量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。 4、导数的几何意义： 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的 方程是。 特别提醒： （1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某 点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条； （2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只 有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。 比如： （1）P 在曲线上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ______（答：）； （2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______（答：－3 或1）； （3）已知函数（为常数）图像上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为_____（答：0 或）； （4）曲线在点处的切线方程是______________（答：）；（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于。①求的值；②求过点的曲线的切线方程 （答：①1；②或）。[1] 二、相关背景 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产 生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理 论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇” 中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之 弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求 即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最 小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一 个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的 研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普 勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分 别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定 义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等， 考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多 样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解， 函数在某点的导数就是函数在这点平均变化 率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ； c ^x ? — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一 高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）， 比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ） 在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函 数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力． 导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI- 导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=- 高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±???? 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导 导数复习经典例题分类（含答案） 导数解答题题型分类之拓展篇(一) 编制：王平审阅：朱成2014-05-31 题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立; 经验1:此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f'(x) 0得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 经验2:不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元 (即关于某字母的一次函数)；题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元)；第二种：分离变量求最值(请同学们参考例5)；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征(f(x) g(x)恒成立h(x) f(x) g(x) 0恒成立)；参考例4; 1 例「已知函数f(x) 3 x 3 bx 2 2x a，x 2是f (x)的一个极值点. (I)求f(x)的单调递增区间；(U)若当围. 2 2 x [1, 3]时，f (x) a —恒成立，求a的取值范 3 2x 例 2.设 f (x) , g(x) ax 5 2a(a 0)。 x 1 (1)求f(x)在x [0,1]上的值域； (2)若对于任意人[0,1]，总存在x0 [0,1],使得g(x。)f(xj成立，求a的取值范围 _ 3 2 例3.已知函数f(x) x ax 图象上一点P(1,b)的切线斜率为 3 , (t 1)x 3 (t 0) (U)当x [ 1,4]时，求f (x)的值域; ax 3 2ax 2 b(a 0)在区间 2,1上的最大值是5,最小值是 (U)若t ［ 1,1］时，f (x ) tx 0恒成立，求实数x 的取值 x 3 2J10 例5.已知函数f (x) -y 图象上斜率为3的两条切线间的距离为 ----------- ，函数 a 5 (、-、3bx 2 g(x) f(x) — 3. a (1) 若函数g(x)在x 1处有极值，求g(x)的解析式； (2) 若函数g(x)在区间［1,1］上为增函数，且b 2 mb 4 g(x)在区间［1,1］上都成立，求实 数m 的 g(x) (I)求a,b 的值; (川)当x ［1,4］时，不等式f (x) g(x)恒成立，求实数t 的取值范围 例4.已知定义在R 上的函数f(x) —11. (I)求函数f(x)的解析式; 范围? 高考导数文科考点 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）， 比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ） 在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函 数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 导 数 主要内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 函数与导数知识点复习测试卷(文) 一、映射与函数 1、映射 f ：A →B 概念 （1）A 中元素必须都有________且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。 2、函数 f ：A →B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集。函数 y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学 表示，其中 x 是自变量，y 是自变量 x 的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象， 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x 轴的直线________公共点，但与垂直 y 轴的直线公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。） （2）、函数三要素是________，________和________，而定义域和对应法则是起决定作用的要素， 因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 在函数f (x )的定义域内的一个________上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A 。当x 1 经典例题导讲 [例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='. [例2]已知函数???????>+≤+=)1)(1(2 1)1)(1(2 1)(2 x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？ 错解：1)1(,1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim 2 2 ='∴=?+- +?+→?f x x x 。 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： 1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim lim 2 2 =?+- +?+=??- - →?→?x x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导. 注：+→?0x ，指x ?逐渐减小趋近于0；-→?0x ，指x ?逐渐增大趋近于0。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 ，△x →0，包括△x →0＋，与△x →0－ ，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。 错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解：4.4,3212= ' ∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．高中数学总结导数知识梳理
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