浙大高等传热学肋片分析

高等传热学导热理论

第三讲肋片导热分析

肋片(伸（延、扩）展面、)：从壁面扩展出的换热面。

肋片的作用：

增加传热面积，改变换热条件和增加表面传热系数。

目的：强化传热，调整温度，减小体积及流阻，减轻重量。

肋的种类：直肋，环肋，异形肋等：

一维肋片的条件（假定）：

（1）稳定导热，无内热源。

（2）连续均质，各向同性。

（3）表面传热系数h为常量。

不变。

（4）环境换热温度t

f

（5）导热系数λ为常量

（6）肋基温度均匀。

（7）δ《H，温度变化与宽度无关。

（8）肋基与壁面间无接触热阻

（无温差）

3.1一维对称直肋传热的通用微分方程：

对沿x方向一维传热，设传热面积A，由F o u r i e r定律和热力学第一定律,应用微元分析法，当λ=常量时，

有：-dΦ-h U(t-t

)d x＝0

f

d(λA d t/d x)-h U(t-t f)d x

=(λA d2t/d x)+λ(d A/d x)d t-h U(t-t

f

)d x=0

λA d2t/d x2+λ(d A/d x)d t/d x-h U(t-t

f

)=0

导热面A矩形时A=2l y,U=2(l+2y),

取l=1,2y<

得：y d2t/d x2+(d y/d x)d t/d x-h/λ(t-t

f

)=0

令：y=δ/2(x/H)(1-2n)/(1-n)

n=1/2，y=δ/2=c o n s t,等截面肋。

n=0y=δ/2(x/H)，三角形肋。

n=1/3y=δ/2(x/H)1/2,凸抛物线

n=∞，y=δ/2(x/H)2,凹抛物线

边界条件：

x=0,肋端：(1)1stB.C：t=t

f

。

(2) 2ndB.C中绝热边界条件：d t/d x=0。

(3) 3rdB.C：-λd t/d x=h(t-t

f

)

x=H,肋基：t=t

。

3.2等截面直肋的导热分析

上式中：n=1/2，y=δ/2=c o n s t,等截面肋。换一下坐标得：

d2t/d x2–h U/(λA)(t-t

f

)=0

令：θ＝t-t

f

过余温度。

d2θ/d x2–m2θ=0

m2=h U/(λA)

边界条件：

x=H,肋端：(1)1stB.C：θ=0 。

(2) 2ndB.C中绝热边界条件解：dθ/d x=0。

(3) 3rdB.C：-λdθ/d x=h

2

θ

x=0,肋基：θ=θ

。

通解：θ＝c

1e-m x+c

2

e m x

3.2.11stB.C解：

c 1e-m H+c

2

e m H=0

c 1+c

2

＝θ

c 1=θ

e m H/(e m H-e-m H)

c 2=-θ

e-m H/(e m H-e-m H)

θ＝θ0s h(m(H-x))/s h(m H)

整个肋片散热量：

Φ＝-λA dθ/d x」x=0＝λA mθ0c h(m H)/s h(m H)

＝(h UλA)1/2(t

0-t

f

)c h(m H)/s h(m H)

特例：H→∞

θ＝θ0e-m x

θH=0→t H=t f

整个肋片散热量：

Φ＝-λA dθ/d x」x=0＝λA mθ0＝(h UλA)1/2(t0-t f)

3.2.22ndB.C中绝热边界条件解：

-c

1e-m H+c

2

e m H=0

c 1+c

2

＝θ

c 1=θ

e m H/(e m H+e-m H)

c 2=θ

e-m H/(e m H+e-m H)

θ＝θ0c h(m(H-x))/c h(m H)

整个肋片散热量：

Φ＝-λA dθ/d x」x=0＝λA mθ0s h(m H)/c h(m H)

＝(h UλA)1/2(t

0-t

f

)t h(m H)

特例：H→∞

θ＝θ0e-m x

θH=0→t H=t f

整个肋片散热量：

Φ＝-λA dθ/d x」x=0＝λA mθ0＝(h UλA)1/2(t0-t f)结果与1stB.C解相同。

3.2.33rdB.C解：

-c

1e-m H+c

2

e m H=h

2

θ/(λm)

c 1+c

2

＝θ

θ＝θ0{[c h(m(H-x))+h2/(λm)s h(m(H-x))]/[c h(m H)+h2/(λm)s h(m H)]}整个肋片散热量：

Φ＝-λA dθ/d x」x=0＝λA mθ0{[s h(m H)+h2/(λm)c h(m H)]/[c h(m H)+h2/(λm)s h(m H)]}

＝(h UλA)1/2(t

0-t

f

){[t h(m H)+h

2

/(λm)]/[1+h

2

/(λm)t h(m H)]}

特例：

h

2

=h,可得

h

2

=0，可得绝热边界条件解。

h

2

=∞，可得1s t边界条件解。

H→∞

？θ＝θ

e-m x

整个肋片散热量：

？Φ＝-λA dθ/d x」

x=0＝λA mθ

＝(h UλA)1/2(t

-t

f

)

3.2.4三种肋效率

由上分析：温度场变化特点：

a.过余温度为指数（双曲）曲线，肋基与换热流体温差大，肋端温差小。肋各处换热量不同，肋基处换热量最大，肋端处换热量最小。

b.当肋高趋向无穷大时，温度分布和换热量有下列趋势：

θ＝θ0e-m x

Φ＝-λA dθ/d x」x=0＝λA mθ0＝(h UλA)1/2(t0-t f)

由特点a定义第一类肋效率(肋片有效度)：

η1＝实际传热量/以肋基导热面积为基准的最大传热量(未装肋时肋基传热量)。

对绝热边界条件：

η1＝(h UλA)1/2(t0-t f)t h(m H)/(h A(t0-t f))=t h(m H)/(m(A/U))

由特点a定义第二类肋效率（工程上常用）：

η2＝ηf＝实际传热量/以肋对流面积为基准的最大传热量(肋片温度等于肋基温度时的传热量)。

对绝热边界条件：

η2＝ηf=0.5x2h/λ=0.5δ(x/H)2(h UλA)1/2(t0-t f)t h(m H)/(h U H(t0-t f))=

t h(m H)/(m H)

由特点b定义第三类肋效率（肋片高度因子）：

η3=实际传热量/肋片无限高时的传热量=t h(m H)

对绝热边界条件：

η3＝(h UλA)1/2(t0-t f)t h(m H)/((h UλA)1/2(t0-t f))=t h(m H)

计算热量公式：

Φ＝η1h A(t0-t f)＝η2h U H(t0-t f)=η3(h UλA)1/2(t0-t f)

大家注意，对肋片，无量纲数m H非常重要，它决定了肋的温度分布和换热量大小。

三种肋效率间的关系：η

2/η

1

＝A/H U

η2/η3＝1/m H

η1/η3＝U/m A

3.2适用肋片强化传热的条件：

问题：加上肋片是否一定能够达到强化传热的目的？

回答：不一定，即存在弱化传热的可能。

问题：满足什么条件，才能强化传热？我们这样分析：

加肋片相当与增加肋高。只要求得肋片传热量随肋高的变化规律，就可以得到答案。

作为例子，我们以等截面肋为对象，引入3r d B.C结果：

dΦ/d H=λm2{[c h(m H)+h

2/(λm)s h(m H)]2-[s h(m H)+h

2

/(λm)c h(m H)]2}

/[c h(m H)+h2/(λm)s h(m H)]2

=λm2[c h(m H)+h

2

/(λm)s h(m H)+

s h(m H)+h

2/(λm)c h(m H)][c h(m H)+h

2

/(λm)s h(m H)-s h(m H)-h

2

/(λm)c h(m H)]

/[c h(m H)+h

2

/(λm)s h(m H)]2

=λm

2[c h(m H)+h

2

/(λm)s h(m H)+s h(m H)+h

2

/(λm)c h(m H)]

[1-h

2

/(λm)][c h(m H)-s h(m H)]

/[c h(m H)+h

2

/(λm)s h(m H)]2≥0

1-h

2

/(λm)＜0→dΦ/d H＜0增高肋片，弱化传热

1-h

2

/(λm)＝0→dΦ/d H＝0增高肋片，对传热无影响

1-h

2

/(λm)＞0→dΦ/d H＞0增高肋片，强化传热

1-h

2/(λm)=1-A0.5h

2

/(λh U)0.5

=1-[h A/(λU)]0.5h

2

/h＞0

(h/h

2

)2＞h A/(λU)

h 2=h时有：B i

A/U

＝h A/(λU)＜1。对矩形：1/h＞δ/(2λ)：外部热阻要大于

内部热阻，加肋才能起作用。

工程上，有意义的加肋应满足要求：B i

A/U

＜1/4，显然，在h较小和λ较大时，用肋容易达到要求。结论：气气对流换热时用肋效果好。

3.3肋形状y的优化：

问题：肋型线y取什么曲线好？

什么叫做“好”？给定传热量下要求具有最小体积或最小质量或给定体积（质量）下要求具有最大传热量。（对偶优化问题）

S c h m i d t假定：如要得到在给定传热量下要求具有最小体积或最小质量的肋的形状和尺寸，肋片任一导热截面的热流密度都应相等。

1928年，S c h m i d t等提出了一维肋片换热优化理论：设导热系数为常数，沿肋高的温度分布应为一条直线。D u f f i n应用变分法证明了S c h m i d t假定。

W i k i n s[3]指出只有在导热系数和换热系数为常数时，肋片的温度分布才是线性的。L i u和W i k i n s[4]等人还得到了有内热源及辐射换热时优化解。长期以来肋片的优化问题受到理论和应用两方面的重视。对称直肋最优型线和尺寸的无量纲表达式分析：

假定一维肋片，导热系数和换热系数为常数，我们有对称直肋微分方程（忽略曲线弧度）：

y d2θ/d x2+(d y/d x)dθ/d x-θh/λ=0

由S c h m i d t假定，对任意截面x：dθ/d x＝－q/λ＝c o n s t

当λ为常量时，温度线性分布：θ＝c

1x+c

2

，x=H,θ＝θ

＝c

1

H+c

2

设导热面为矩形，将温度解代入微分方程得优化肋的型线方程：

c 1(

d y/d x)-h/λ(c

1

x+c

2

)=0

y=h/λ(0.5x2+c

2x/c

1

+c

4

)=(0.5x2+c

3

x+c

4

)h/λ

这是一条抛物线。如果该线满足：x=0，y=0

x=H，y=δ/2

c 4=0，c

3

＝c

2

/c

1

=(δλ/h－H2)/2H，θ

＝c

1

H+c

1

(δλ/h－H2)/2H，c

1

＝2Hθ

/(δ

λ/h+H2)

特别地若c

3

＝0，δ/H=h H/λ，y=0.5x2h/λ=0.5δ(x/H)2相当与n=∞时的型线，

即凹抛物线形状的直肋最省材料。此时有：c

2=0，c

1

＝θ

/H。

整理得：2y/δ＝(x/H)2这条抛物线的几何意义是肋各点的的导热截面比，物理意义是肋各点的的导热截面的热流量比。同时可以求出：

(m H)2=2

η

f

=0.5

3.4最佳直肋尺寸

问题：给定肋形状y=f(x)及体积或质量后，如何确定肋厚或肋高？或肋高是否越大越好？

答案：在选取的δ，H上，肋的传热量达到最大？数学模型为

dΦ/d H=0V（或q

m

）=C A H＝c o n s t

对矩形等截面肋,绝热边界条件：

dΦ/d H=d(λA mθ

t h(m H))/d H=d((λVhU/(CH))0.5θ0t h((ChU/(λV))0.5H1.5))/d H=(λVhU/C)0.5/H{(ChU/(λV))0.5H s e c h2[((ChU/(λ

V))0.5H1.5)]-0.5H-0.5t h[(ChU/(λV))0.5H1.5]}=0

(ChU/(λV))0.5H s e c h2[((ChU/(λV))0.5H1.5)]-0.5H-0.5t h[(ChU/(λV))0.5H1.5]＝0 m H s e c h2[m H]]-0.5t h[m H]=0

解得：

m H=1.419

对凹抛物线肋，同样可得：

m H=1.414

对三角型肋，可得：

m H=1.309

下表给出了最佳尺寸时上述三种直肋片的有关参数：

凹抛物线直肋三角型直肋矩形直肋

n∞00.5

A p 0.333(Φ/θ

)3/(h2λ)0.348(Φ/θ0)3/(h2λ)0.505(Φ/θ0)3/(h2λ)或2δH/3（1）δH（1.045）2δH（1.52）

H m1.4141.3091.419

HΦ/θ

0/h0.842Φ/θ

/h0.798Φ/θ

/h

或1.44(λA

p /h)1/31.19(λA

p

/h)1/31.0(λA

p

/h)1/

δ0.5(Φ/θ0)2/(hλ)0.414(Φ/θ0)2/(hλ)0.316(Φ/θ0)2/(hλ)

或1.44(h/λ)1/3A

p 2/30.837(h/λ)1/3A

p

2/30.5(h/λ)1/3A

p

2/3

Φ：1.414(λδh)1/2θ01.554(λδh)1/2θ01.778(λδh)1/2θ0（1）（1.1）（1.26）或1.442(λh2A

p

)1/3θ01.422(λh2A p)1/3θ01.26(λh2A p)1/3θ0（1）（0.986）（0.874）η10.707(λ/(hδ))1/20.777(λ/(hδ))1/20.889(λ/(hδ))1/2η20.50.5930.627

注：Φ相同，A

p

：（1）（1.045）（1.52）δ相同，Φ：（1）（1.045）（1.26）

A

p

相同，Φ：（1）（0.986）（0.874）Φ→2ΦA p→8A pδ→4δH不变

体积V=A

p z A

p

∝1/λ，质量q

m

=ρV∝ρ/λ，Φ、θ、h给定时：几种肋片材

料的质量比和体积比：

密度导热系数体积比质量比铜：890038111.947铝：27002251.6931碳钢：7850458.46714.54不锈钢：83501525.446.39