八年级三角形知识点归纳

三角形按角分类 第二章 三角形知识点归纳

一、三角形

1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。 “三角形” 用符号“△”表示，顶点是ABC 的三角形记做“△ABC ”读作“三角形ABC ”。三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点）

2.性质：

三角形三个内角和为180°

三角形任何两边之和大于第三边；

三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短） ★注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。

3.三角形的外角及外角的性质

外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三角形的外角。

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三角形的外角和为360°

锐角三角形（三个内角都小于90°）

直角三角形（有一个角是90°，记作Rt △ABC ）

钝角三角形（有一个角大于90°）

★三角形的角平分线、中线和高线

角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。三个角的角平分线的交点叫内心

∠1=∠2

线段BD是∠ABC的角平分线

中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。三条中线交点叫重心

AD=CD

线段BD是△ABC的中线

高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)

AD⊥BC

线段AD是△ABC的高

★重要性质：

1角平分线上的点到角的两边距离相等；中线平分与它相交的边。

2一个三角形有三条角平分线、三条中线，并且都在三角形内部，交于一点。

3三种三角形都有三条高线，高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上。

★同高等底的两个三角形面积相等。三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

二、等腰三角形

等腰三角形：两条边想等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线

等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线重合（简称“三线合一”）

等腰三角形两底角相等（简称“等边对等角”）

等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。

等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.

等边三角形有三条对称轴，分别是三个内角的角平分线所在的直线。

三、垂直平分线

垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

四、命题与证明

定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义。

命题：一般的，对某一件事做出判断的语句（陈述句）叫作命题。

判断一个语句是否为命题，一看是不是一个完整的句子；二看是否对某件事情做出肯定或否定的判断。

命题的组成：命题通常由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知的事项推断出的事项。

注意：①有一些命题的叙述，其条件和结论并不一定那么明确，我们可以把它改写成“如果……，那么……”的形式，再找出它的条件和结论；②命题的条件

部分一般用“如果……”，“已知……”，“若……”等形式表述，结论一般用“那么……”，“求证……”，“则……”等形式表述。③对于有些命题，条件和结论不一定只有一个，一定要分清它们的条件和结论。

原命题、逆命题、互逆命题

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。

注意：只要将一个命题的条件和结论互换，就可以的到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。（互换条件和结论时，还要注意语句是否通顺）

命题的分类：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。

判断一个命题是否是真命题，需要分析题设是否能推出结论；判断一个是否为假命题可以举反例，举反例就是举出符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子。

公理、定理及互逆定理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。

以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。

注意：①公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；②定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。

如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。

注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。

证明

要判断一个命题是真命题，从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。

推理证明的必要性：判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。

证明几何命题的一般格式

（1）按题意画出图形。

（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。

（3）在“证明”中写出推理过程。

注意：①有些题目已经画好图形，写好已知和求证，这时只要写出“证明”一步即可。②在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添加辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。

证明的四个注意

（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题：②公理可以作为判定其他命题真假的根据.

（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题. 这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的.

（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。

（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. ①论据必须是真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由。

五、三角形全等

全等三角形：能够重合的两个三角形形称为全等三角形；全等用符号“≌”表示，读做“全等于”

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

性质：★全等三角形的对应边相等，对应角相等。

★三角形全等的条件

1 三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”）；

2 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）；

3 有两个角和这个两角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“角边角”或“ASA ”）；

4 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“角角边”或“AAS ”）；

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。

判定三角形全等的基本思路： 找夹角 → SAS

找另一边 → SSS

边为角的对边 → 找任意一角 → AAS

已知一边一角 找这条边上的另一角 → ASA 边就是角的一条边 找这条边上的对角 → AAS

找该角的另一边 → SAS

已知两角 → 找任意一边 → AAS 、ASA

三角形的三个内角和为180°，三角形的外角和为360

找边相等相关知识点

垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；

平行四边形两组对边分别相等；等腰三角形两腰相等

正方形、正三角形、棱形各边都相等；

三角形中线在边上的点平分这条边；

已知两边

找角相等相关知识点

相交线中对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4；邻补角互

补：∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°

平行线中同位角相等：∠1=∠5，∠2=∠6，∠4=∠

8，∠3=∠7；内错角相等∠3=∠5，∠4=∠6；同旁内

角互补∠4+∠5=180°，∠3+∠6=180°