统计力学习题精选

《统计力学》习题精选

（国际单位制。参考积分表：π

=?+∞

∞--dx e x

2

;

2

3021,2

α

α=

=?∞

-I dx e

x I x n

n ,

151

)4(4

3π=-=?

∞

dx e x I x

。参考常数为：

kg m e 301091.0-?=,C e 19106.1-?= , 维恩定律的常数

b=3(mm ·K)。）

选择题

1．在常温下，由能量均分定理，一般固体的定容热容量为 （ ） A, Nk C v = B, Nk C v 2

3

=

C, Nk C v 3= D, 不确定

答案：C

2．下面不属于经典极限条件表述的是 （ ）

A, α

e >> 1 B, 分子间的平均距离远大于分子的热平均波长 C, l l a ω<< D, 能级间距远小于kT

答案：D

3．下面叙述不正确的是 （ ） A ，光子气体和自由电子气体热容量的研究表明，对其微观粒子的正确描述均是波粒二象性。 B ，在考察自由电子气体对热容量的贡献时，能量均分定理仍然适用。

C ，固体热容量的爱因斯坦模型相较于经典理论，其合理的部分在于引入了原子振动的能量是量子化的概念。

D ，麦克斯韦速度分布律只对平衡状态下的理想气体成立。 答案：B

4. 下列那种情况下，实际气体一般将越来越偏离理想气体，其状态方程也越来越偏离理想

气体的状态方程 （ ）

A, 气体越来越稀薄 B ，温度愈来愈低 C, 分子的质量m 愈大 D ， 3

λn 越来越小于1 答案：B

5. 由平衡热辐射理论，目前发现的温度为3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度接近为 （ ）

A, 3

19

/10cm B, 3

7

/10cm

C, 3

2

/10cm D, 3

/1cm

答案：C

6. 按波长分布太阳辐射能的极大值在nm 480≈λ处，假设太阳是黑体，太阳表面的温度为 （ ）

A, 3000K B, 6000K

C, 9000K D, 以上都不对。 答案：B

7．由热力学第一定律可以判断理想气体一微小过程中d Q 、d E 、d A （其中dA 表示系统对外做功）的正负,下面判断中错误的是 （ ）

(A) 等容升压、等温膨胀 、等压膨胀中d Q >0； (B) 等容升压、等压膨胀中d E >0； (C) 等压膨胀时d Q 、d E 、d A 同为正； (D) 绝热膨胀时d E >0.

答案：D

8. 描述系统状态的宏观量一般可以分为广延量和强度量，并且存在一一对应的共轭关系，下面给出的宏观量组合中，相互共轭正确的是： （ ）

A ，内能与温度，粒子数与化学势

B ，比容与压强，长度与张力

C ，熵与温度，磁场强度与总磁矩

D ，体积与压强，数密度与化学势

答案：C

9．下面关于热力学第二定律的表述正确的是 A ．孤立系统熵永远是增加的

B ．不可能把热从低温物体传到高温物体

C ．不可能从单一热源取热使之完全变为有用的功

D ．绝热系统熵永不减少 答案：D

10．当系统温度趋向于绝对零度时，费米子不能完全“沉积”在基态是由于 ( )

A ，泡利不相容原理

B ，全同性原理

C ，粒子间没有相互作用

D ，费米气体是简并气体 答案：A

11．热力学极限指： ( )

A ， N 有限，V 有限，

∞→V N

B ， ∞→N ，V 有限，V N

有限

C ， ∞→N ，∞→V ，∞→V N

D ， ∞→N ，∞→V ，V

N

有限

答案：D

12．孤立系统指 （ ）

A ，与外界无物质和能量交换的系统

B ，与外界有能量交换但无物质交换的系统

C ，能量守衡的系统

D ， 恒温系统 答案：A

13．摩尔数相同的两种理想气体，一种是氦气，一种是氢气，都从相同的初态开始经等压膨胀为原来体积的2倍，则两种气体 （ ）

A ， 对外做功相同，吸收的热量不同.

B ， 对外做功不同，吸收的热量相同.

C，对外做功和吸收的热量都不同.

D，对外做功和吸收的热量都相同.

答案：A

14．盐水溶液称为（）

A，单元双相系B，二元单相系C，二元双相系D，一元单相系

答案：B

15．在量子统计描述中，微观粒子的量子态由一套量子数确定（）A，量子数数目与宏观系统的粒子个数相同

B，量子数数目与相空间维数相同

C，量子数数目正比于系统能量

D，量子数数目取决于微观粒子的空间自由度与内秉自由度之和

答案：D

16．孤立系统处于平衡状态时包含的微观状态数（）

A，最大

B，最小

C，视不同物质系统而定

D，与系统达到平衡态的过程有关

答案：A

17．一级相变和二级相变发生时（）

A，都有相变潜热

B，都没有相变潜热

C，一级相变有潜热，二级相变无潜热

D，一级相变无潜热，二级相变有潜热

答案：C

18．如图1所示的是理想气体的两个不同温度的等温过程，则（）

A ，Ⅱ过程的温度高，Ⅰ过程的吸热多.

B ，Ⅱ过程的温度高，Ⅱ过程的吸热多.

C ，Ⅰ过程的温度高，Ⅰ过程的吸热多.

D ，Ⅰ过程的温度高，Ⅱ过程的吸热多.

答案：C

图1

19． 统计物理解决问题时需要知道 （ ）

A ，系统的微观状态

B ，系统的宏观状态

C ，系统的微观状态和系统的宏观状态

D ，宏观状态对应的可能微观状态的数目 答案：D

填空题

1． 准静态过程的体积功为δW = ，

电极化功δW = ，磁化功为δW = 。 答案：pdV W -=外δ；P Ed W =δ（P 为总电矩）；m H d W μδ=（m 为总磁矩）

2．对单元闭系dH= ，dF= .

答案：dH= Tds+Vdp ，dF=-SdT-PdV ，

3．焓作为S ，P 的函数，是特性函数，已知H 、S 、P ，则∪= ，

F= ，G= 。

答案： S p H

p H U )(??-=

p S H

S p H S p H F )()(????--=

p S

H S H G )(??-=

4．已知E 为电场强度，P 是总电矩，试写出麦氏关系式:

（

T

E ??）P = .

答案： T

P S P T E )()(????-=

5． 如右下图，当一系统沿acb 从a 态到达b 态时，吸热80J ，对外作功30J 。则若系统沿

adb 从a 态到b 态，它对外作功为10J 时，吸热为 J 。

答案：60J

6．吉布斯函数G 作为T 、P 的函数， 是特性函数。已知G 、T 、P ，则

∪= ，

F= ，

H= 。

答案：()()T p

G

p T G p T G U

????--=

()T

p G

p

G F ??-=

()p

T

G T G H ??-=

7．不可逆过程热力学第二定律的积分表达式是 ，微分表达式

是 ，

答案：?

>-B A

T Q

A B S S 系

吸

δ ，

吸吸

T Q S δ>

?

8．已知H 为磁场强度，m 是总磁矩，试写出麦氏关系式

（H S

??）T ＝ ，

答案： H

T T m H S ???

????=???

????0μ

9．温度的物理意义是 。

答案：

10．设液相为α相，气相为β相，则液滴形成的力学平衡条件是 。

答案： 11．盐的水溶液单相存在时，φ＝ ；f ＝ 。

答案：

12．在双原子分子能量中，如果有五个平方项，则分子数为N 的双原子分子理想气体的内能U= ;定压热容量C P =

答案：

13．负温度状态是 。 答案：

14．费米气体中的化学势是 。 答案：

15．设液相为α相，气相为β相，则液滴形成的力学平衡条件是 。

答案： 16．热力学平衡态下的强度量是系统微观量在 分布下的 平均。

答案：最概然 统计

17．根据朗道的连续相变理论，孤立系统总是从 趋向 演化，

直到达到最 的平衡态。 答案：有序 无序 无序

18．热力学第零定律：两物体同时与第三个物体热平衡时，这两个物体彼此之间也热平衡。 热力学第一定律：在一个热力学过程中，系统吸收的热量等于系统内能的增加和系统对

外所做的功。

热力学第二定律：不可能从单一热源取热使之完全转化为功而不引起其他的变化（不可

能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他的变化）。

热力学第三定律：不可能用有限的手续使系统的温度达到绝对零度。

19．卡诺循环包括以下四个准静态过程 。

答案：（1）等温过程（2）绝热膨胀（3）等温压缩（4）绝热压缩 20． 卡诺热机的效率为 。 答案：1

2

1T T -=η

简答题和论述题

1． 试述玻尔兹曼气体是非简并气体而玻色气体和费米气体是简并气体。

参考答案：答案要点

1． 写出按单粒子能级求和的配分函数

2． 讨论非简并和简并条件

3． 分析非简并和简并的物理意义。

2．试分别从模型和统计表达式的角度，比较理想气体和光子气体的异同。

参考答案：理想气体物理模型：①粒子的能量描述： m

p 22

=ε

②态密度：服从量子相格统计的极限

3

2

3

34h dp

p

V h dp dp dxdydzdp h z y x ???==?πω

③粒子在态上的分布：服从玻尔兹曼分布

)(l e a f l

l

βεαω+-==

光子气体普朗克模型：①粒子的能量描述：玻色粒子，能量服从德布罗意假设:

ωε =

②量子态密度：服从驻波条件

ωωπωωd c

V d D 23

222)(?

=

③粒子在量子态上的分布：服从玻色分布（光子数不守恒，

0,0==αμ）

1

11

1/-=

-=

+kT

e

e

f l

ωβεα

3．简述平衡态统计力学中的最概然分布理论求热力学量的基本思路。

参考答案： 1，求能级和量子态分布

2，求配分函数

3，带入基本热力学函数统计表达式：内能，熵和物态方程 4，由热力学关系，确定其他所有平衡态性质。

4．什么是温度？建立一种温标需要包含哪三要素？

参考答案：温度的热力学定义：处于同一热平衡的各个热力学系统，必定有某一宏观特征

彼此相同，用于描述此宏观特征的物理量----温度

建立温标三要素：选择测温物质的测温属性来标志温度，选定固定点，对测温属性随温度变化关系作出规定。

5． 什么是熵增原理？

参考答案：熵增原理：系统经可逆绝热过程后熵不变，经不可逆绝热过程后熵增加，在

绝热条件下熵减少的过程是不可能实现的。

6．什么是近独立子系？近独立子系有哪三种分布？他们个适用于什么样的系统？ 写出相应的分布律

参考答案：如果将一个系统分成许多部分（子系），当子系间相互作用的能量与子系本身的

能量

相比是可以忽略不计时，这样的子系叫近独立子系。

对费米系统有费米-狄拉克分布

1+=

+l e a l

l βεαω

对玻色系统有玻色-爱因斯坦分布

1-=

+l e a l

l βεαω

对粒子可以分辨的系统有玻尔兹曼分布

l

e a l

l βεαω+=

7．什么是能量均分定理？

参考答案：能量均分定理是说，当系统处于平衡态时，它的能量表达式中每一个平方

项的平均值等于KT/2。

8．试述系综及宏观热力学量可用相应微观量的系综平均计算。

参考答案：

计算题

1．试证明在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内，非相对论性三维自由粒子的量子态数为：

2． 证明相变是一摩尔物质的变化为)1(TdT

PdP

L U -

=?（L 为相变潜热）

。如果其中一相为气体，且可视为理想气体，那么上式可以简化为)1(L

RT

L U -=?。

参考答案：义PV TS U G +-=

相变是在等温等压下化学势保持不变的过程，所以

V S U V S U

P T P T 222111

+-=+-

)()(121221V V P S S T U U U ---=-=?

根据克拉珀龙方程：

)

(12V V T L

dP dT -= εεπεd m h

V

D 2/12/33)2(2)(=

)(12S S T L -= 有)1(T d T

P d P

L dT dP P

L U -=-=? 若一相为气体（第二相），则12V V V >>= 若气体可视为理想气体，则RT PV = 所以)1(L

RT

L TL PTV L U -=-

=?

3．（1）利用欧拉齐次函数定理证明 ∑=

i

i

i n G μ

式中G 为系统吉布斯函数，i μ是第 i 个组员的化学势，i n 是第 i 个组员的摩尔数。 （2）由此证明

0=??∑i

i

i

i

n n μ 参考答案：（1）根据欧拉齐次函数定理，若,....),(21x x f 为,.....)2,1(=i x i 的n 次齐次式，则

∑??=i

i

i

x f

x nf G 为系统各组分摩尔数 i n 的一次齐次式，所以

i

j n P T i i i

i i n G

n n G ≠??==∑,,)(,μ式中 i μ 为第i 个组分的化学势。

（2）

)()(22=-=-??=-??=-??+??=??+??=????=???=???=??∑∑∑∑≠≠i i i

i i i j j i i i j i i j i

j j i j i i j i j j j i j

j

i

j j i i j j i n G

n n n n n n n n n n n n n n n G

n n G n μμμμμμμμμμμμμ

4．试证明，单位时间碰到单位面积器壁上的，理想气体中速率介于v 到dv v +

之间的分子数为：

dv v e kT

m n dN v kT m 3

22/32)2(-=ππ

5．（1）简述焦耳-汤母孙多孔塞实验的主要内容。 （2）写出焦耳-汤母孙系数 的定义式。

（3）证明T

P V T T

P C T P T T P V )()()(

????+??-=

μ

参考答案：（1）焦耳-汤姆孙多孔塞实验是在一装有多孔塞的管道中，让气体由一端经过多

孔塞流入另一端，观察气体温度随压强的变化。 （2）H P

T )(

??=μ （3）由TdS 方程dP T

V

T dT C TdS P P )(

??+=和焓的微分表达式VdP TdS dH += 有dP T

V

T V dT C dH P P ])([??-+= 对等焓过程知])([1)(

V T

V T C T P P P H -??=??=μ 利用三轮换关系，既有

T

P V T T

P C T P T T P V )()()(

????+??-=

μ

6

．一块晶体包含

个原子，原子的自旋磁矩为

，被置于均匀磁场

中，这

些原子可取三个取向：平行、垂直和反平行磁场。 求（a ）晶体的配分函数 （b ）晶体的磁矩

（c ）高温弱场和低温强场的磁矩

参考答案：（a ）将原子在外场中能量看作是内能一部分，晶体配分函数为：

00001000()()()(1)(1)

(1)(2)

(21)l N

E H H N N

l

H H N B x x N N

Z Z e e e e e e H

x H k T

Z e e chx ββμβμβμβμμβμ----===++=++==

=++=+∑

（b ）从热力学方程

**()dU Tds H d M

dU d U H M Tds M d H dF sdT M d H

=+?=-=-?=-- 晶体磁矩：

*00ln ln(21)ln(21)

2()(3)211N

B B B x x x x

F Z chx M k T k T

H H H chx Nk T

H

Nshx N e e chx e e

μμ--???+=-==????+=?-==+++ （c ）高温弱场时即01B H

x

k T

μ=

<<晶体磁矩M 按（3）式子求极限：

002

000(11)2

1113

2233B B N x x M N x

x x N H H N k T k T μμμμμ+-+=

=+++-==

当低温强场时01B H

x

k T

μ=

>>，

此时2002(1)

1x x x

N e M N e e

μμ----==++

7．对某固体进行测量得V

Bp 2AT α-=， V BT

T k =， 其中A ，B 为常数，求该固体的物

态方程。

参考答案：()()BP AT P T V V BP

AT p T V V -=?==??-??221α ①

()()BT -=?=-=K ????T P V V

BT

T P V

V

T 1 ②

设：V ≡V(P 、T)

法一：由①保持P 不变，分离变量积分得

V=())(22

p f BPT AT

dT BP AT dV +-=-=

?

? （﹡）

保持T 不变，上式对P 求偏导，得

()().)(0)(C p f BT BT dp p df dp p df T P V

=?=?-=+-=??

代入（﹡）式得 V=AT 2

-BPT+C 。

法二：由②保持T 不变，分离变量积分得 V=

??+

-=-=)(T f BTP BTdp dv （﹡）

保持P 不变，上式对T 求偏导得 ()

()c AT f AT BP AT BP dT df

dT T df p

p v

+=?=?-=+-=??222

代入（﹡）式得 V=-BTP+ AT 2

+C

8．铜棒的一端与127℃的无穷大热源接触，另一端与27℃的无穷大热源接触。当棒在稳定导热时，传导的热量为5016J ，试求：棒和热源的总熵变。

参考答案：

21源源棒S S S S ?+?+?=?

0=?棒S

1

40050161-?-=?K

J S 源

1300

5016

2-?=?K J S 源

∴300

5016400

50160+

-

=?S

1112

16

.5041

311

18.4)(16.50---?=?=-?=?K J K J K

J

9．平衡热辐射是由光子组成的理想玻色气体，试计算其ln Ξ(其中Ξ为巨配分函数)，并进而计算内能和压强。

10．1mol 理想气体分别通过下述三个可逆过程 (1) 先通过等压过程再通过等温过程； (2) 先通过等容过程再通过等温过程； (3) 先通过等温过程再通过绝热过程。

从相同的初态),(11V T 到相同的未态),(22V T ，求体系的熵的变化。

标准答案：

P

CB AC )]([2

113

23

2

1T T

V V Rln T T ln

C V V Rln T T ln C T

pdV T dT C 212p 2

12p

V V T T p

+=+=+=

??

(2) DB AD S S S ?+?=?

1

2

12V l n

T T l n 212

1

V R C T

pdV

T dT C V

V V T T V

+=+=

??

(3) ?

=

?=?3

1

V V AE T

pdV

S S

=])(ln[ln 1

11

21213-=γT T V V R V V R

11．一均匀杆的两端分别与温度为1T 和2T 的大热源接触并达到稳定态，今取去与杆接触的热源，经过一段时间后杆趋于平衡态，设杆的质量为m,定压比热容p C 为常数，求这一过程熵的变化是多少？

标准答案：

取一小段dx ，则因m=S l V ρρ=(S 是杆的截面积)，dm=Sdx ρ，dx 小段杆的熵变为

,222121?

?

++==T T T p T T T p X

x

T

dT C Sdx T

dT dmC dS ρ

整根杆的熵变为

S d x T

dT C dS S l

T T T p l

x ρ?

?

?+==?020

21

=)ln ln (2ln 11221

22

1T T T T T T mC mC T T mC p p p ---++

12． 假设一容器内盛有理想气体,容器内有一活门把它分成两部分，每部分的体积分别为1V 和2V ；内含理想气体的物质的量分别为1V 和2V ，两边温度相等。若1V ≠2V ，则活门开启后，将出现理想气体的扩散。求理想气体扩散前后熵的变化。

标准答案：

活门开启，气体扩散并最后达到平衡态后的总熵是 `

212121)(ln )()(S V V R V V T

dT C V V S p

++P +-+=?

。 扩散过程前后的熵的变化是 .ln )(ln ln

)(21212122211121??

????+++-+=+-V V v v v v V v v V v v R S S S 利用不等式

,)()()(

2

1212

1212211v v v v v v V V v V v V +++< 可得

0)(21>+-S S S

以上说明扩散过程是个绝热的不可逆过程，满足熵增加原理。

13．试求理想气体的体胀系数α，压强β系数卢和等温压缩系数κT .

标准答案：

已知理想气体的物态方程由此易得：

.1))(1()(12p p

nRT V T V V k T T =--=??-

=

14．证明任何一种具有两个独立参量T ，p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：

?-=)(ln T dp dT V κα

如果p

T T 1

,1==

κα，试求物态方程．

标准答案：

以T ，p 为自变量，物质的物态方程为V=V （T ，P ）， 其全微分为

.)()(

P P ??+??=d V

dT T V dV T p 全式除以V ，有P P

??+??=d V

V dT T V V V dV T p )(1)(1

根据体胀系数a 和等温压缩系统T k 定义，可将上式改为：

dp k adT V

dV

T -= 上式是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分有： ).(ln dp k adT V T ?

-= 若T

a 1

=

，p k T 1=，可表为.)11(ln ?-=dp p dT T V

从（00,p T ）积分到（0,p T ），再积分到（T ，P ），相应地体积由0V 最终变到V ，有 ,ln ln ln

00p p

T T V V -=即C T V p T PV ==000(常量)，或.CT PV =

15． 在0℃和l p n 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为， α=4.85×10-5K -1和 κT =7.8×10-7p n -1．α和κT 可近似看作常量．今使铜块加热至10℃．问：

(a) 压强要增加多少p n 才能使铜块的体积维持不变? (b) 若压强增加100p n ，铜块的体积改变多少?

标准答案：

(a)： 如系统的体积不变，dp 与dT 的关系为dT k a

dp T

=

。 将上式积分可得：).(1212T T k a

p P T

-=

- 将所给数据代入可得：n n p p p P 6221010

8.71085.47

5

12=???=--- (b)：由

).()(12121

p p k T T a V V

T ---=? 将所给数据代入可得：.1007.441

-?=?V V

16．求证：(i) 0)(

??U V

S

标准答案：焓的全微分为VdP TdS dH +=

令dH =0，得0 T V P S

H

-=????

???? 内能的全微分为PdV TdS dU -= 令dU =0，得0 T

P V S U =???

????

17．已知0)(=??T V

U

,求证0)(=??T p U ．

标准答案：对复合函数()()()P T V T U P T U ,,,=

求偏导数，有T

T T P V V U P U ???

??????? ????=???

???? 如果T V U ???

????=O ，即有T

P U ??? ????=0

式（2）也可以用雅可比行列式证明： T P U ???

????=

()()

T P T U ,,?? =

()()()()T P T V T P T U ,,,,???? =T

T P V V U ???

???????

????

18．试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减．

标准答案：热力学偏导数P V S ???

???? 描述等压过程中熵随体积的变化率，用P

V T ???

????描述等压

下温度随体积的变化率。为求出这两个偏导数的关系，对复合函数

()()()V P T P S V P S S ,,,== （1）

求偏导数，有P

P P P P V T T C V T T S V S ??? ????=??? ??????? ????=???

???? （2）

因为C P ＞0，T ＞0，所以P V S ???

????的正负取决于 P

V T ???

????的正负 式（2）也可以用雅可比行列式证明： P V S ???

????=

()()

P V P S ,,?? =

()()()()P V P T P T P S ,,,,???? =P

P V T T S ???

??????? ????

19．求证：

n

V V T T T n v ,,???

????-=-??? ????μμ