吉林大学2003离散数学I试题(A)

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吉林大学计算机科学与技术学院

2003级本科《离散数学I》试题（A）

注：考试结束后请将此题签与答题纸一并交回，否则后果自负！（2005-01-07）

一、简答题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）

1、设集合A={ ?}，求幂集合ρ(ρ(A))。

2、部分序集(A, ≤)中的极大元和最大元是如何定义的？

3、请给出有向树的定义。

4、什么是Hamilton回路？Hamilton回路一定是简单路吗？

5、什么是完全剩余系？什么是简化剩余系？

6、什么是单射？任何映射都存在逆映射吗？

7、设命题公式G＝(P∧(Q∨R))→(Q∧(S∨?R))，I是G的一个解释：

P Q R S

1 0 1 0 试确定公式G在I下的真值。

8、蕴含式?xA(x)→?xB(x)??x(A(x)→B(x))是否一定成立？若不成立，请举例说

明。

9、有限有向图G是Euler图，则G一定是平衡的吗？一定是连通的吗？

10、合同式ax≡b(mod m)在什么条件下有解？

11、设集合族C={ ?, {?}, {1,2},{a},{d,e},{1,2,3}, N, Z, Q, R }，其中N、Z、Q、R

分别为自然数、整数、有理数和实数集合，S＝{(A, B)| A∈C,B∈C, 且|A|=|B|}是C上的等价关系，求C关于S的商集。

12、命题公式G＝(P→(Q→R))?((P∧Q)→R)是恒真公式吗？若不是，请给出一个

弄假G的解释。

13、设G＝?xP(x)∨?xQ(x)，H＝?x(P(x)∨Q(x))，则G与H等价吗？为什么？

14、图G一定是其闭合图C(G)的支撑子图吗？G与C(G)有可能同构吗？

15、对于两个不同的质数a和b，一定存在整数s和t使sa+tb＝1吗？若a和b都

整除n，则ab能整除n吗？

16、设集合A={a, b, c, d, e, f, g, h}，C={{a, c, h}, {b}, {d, f}, {e, g}}是A的一个划分，

请给出划分C对应的等价关系R C。

17、命题公式G＝(P→( P ∧ Q) )∨R，G的主析取范式中含有几个极小项？

18、设谓词公式G＝?x?yP(x, y)∨?y?x?P(x, y)，I是G

D={a,b},

P(a,a) P(a,b) P(b,a) P(b,b)

1 0 0 1

试确定公式G在I下的真值。

19、求?(1323)。

20、请给出右侧权图中最优树的权值。

二、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）

1、集合A={1, 2, 3}，R是ρ(A)上的二元关系，R＝{(a, b)|a∩b≠?}，则R满足下

列哪些性质？满足，给出证明，不满足，说明为什么？

(1)自反性；（2）反自反性；（3）对称性；（4）反对称性；（5）传递性。

2、设A＝{1,2,3,4,5,6,8,10,12,24}，R是整除关系，则(A, R) 是一个部分序集，试

画出(A, R)的Hasse图，并指出极大、极小元和最大、最小元。

3、求谓词公式?x P(x, y)??yQ(y)的Skolem范式。

4、用形式演绎法证明{(P→Q) ∧(R→S), (Q→T) ∧(S→M), ?(T ∧ M) , P→R }共同

蕴涵?P。

5、解合同式67x ≡ 29（mod 294）。

6、下图是A,B,C,D,E,F六个城市间的公路路线图，边上的权值表示两个城市间的

公路长度，请给出一个任意两个城市间最近的路线及距离的表格。

C

F