量子力学典型例题分析资料报告解答

量子力学例题第二章

一．求解一位定态薛定谔方程

1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数

[解] 薛定谔方程:

当 , 故有

利用波函数在处的连续条件由处连续条件:

由处连续条件:

给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.

2．粒子在一维势井中的运动

求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为

当时

对束缚态

解为

在处连续性要求

将代入得

又

相应归一化波函数为:

归一化波函数为:

3分子间的得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为

求束缚态的能级所满足的方程

[解]束缚态下粒子能量的取值围为

当时

当时

薛定谔方程为

令

解为

当时

令

解为

当时

薛定谔方程为

令

薛定谔方程为

解为

由

波函数满足的连续性要求,有

要使有非零解不能同时为零

则其系数组成的行列式必须为零

计算行列式,得方程

例题

主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.

一. 有关算符的运算

1.证明如下对易关系

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

[证]

(1)

(2)

(3)

一般地,若算符是任一标量算符,有

(4)

一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)

=0

同理：。

2.证明哈密顿算符为厄密算符

[解]考虑一维情况

为厄密算符, 为厄密算符,为实数

为厄密算符为厄密算符

3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,

取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。

[证]

。

是的对应本征值为的本征函数

是的对应本征值为的本征函数又: