空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路
D B A C α
空间中的夹角
福建屏南一中 李家有 QQ52331550
空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角
(1)异面直线所成的角的范围是]2,0(π
。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动
直线,把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下:
①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选择在特殊的位置上;
②证明作出的角即为所求的角;
③利用解三角形来求角。简称为“作,证,求”
2、线面夹角
直线与平面所成的角的范围是]2,0[π
。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下:(若线面平行,线在面内,线面垂直,则不用此法,因为角度不用问你也知道)
①找过斜线上一点与平面垂直的直线;
②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出所求的角;
③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作,证,求”
注:斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直线所成的一切角
中的最小角,即若θ为线面角,β为斜线与平面内任何一条直线所成的角,则有θβ≤;(这个证明,需要用到正弦函数的单调性,请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠) )
2.1确定点的射影位置有以下几种方法:
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上;
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上;
已知:如图,BAC ∠在一个平面α内,
,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且=(就是点P 到角
两边的距离相等)过P 作PO α⊥(说明点O 为P 点
在面α内的射影)
求证:OAN OAM ∠∠=
(OAN OAM ∠∠=,所以AO 为BAC ∠的角
平分线,所以点O 会在BAC ∠的角平分线上)
证明:Q PA =PA ,PN =PM ,
90PNA PMA ∠∠?==
PNA PMA ∴???(斜边直角边定理)
AN AM ∴= ①
(PO NO MO PN PM α⊥??=??
斜线长相等推射影长相等)= O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ???????∠∠???
==== 所以,点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
③如果一条直线与一个角的两边的夹角相等,那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上;
已知:如图,BAC ∠在一个平面α内
PAN PAM ∠∠=(斜线AP 与BAC ∠的两边
AB AC ,所成角相等)
PO α⊥
求证:OAM OAN ∠∠=(说明点O 在角MAC 的角平
分线上。)
证明:在AB 上取点M ,在AC 上取点N ,使AN AM
=(这步是关键,为我们自已所作的辅助线点,线)
A A N
PAN PAM PN PM ???????∠∠?V V M =AP =AP =PAN =PAM
(PO NO MO PN PM α⊥??=??
斜线长相等推射影长相等)= O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ???????∠∠???
====,所以,点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
④两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上;(这是两面垂直的性质)
⑤利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置:
a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心;
已知:如图,三棱锥P -ABC 中,PA =PB =PC ,
PO ABC ⊥面 求证:O 点为ABC ?的外心(即证OA =OB =OC )
(注:外心为三角形的外接圆的圆心,也是三边中垂线的交
点)
线面角的求法总结
线面角的求法总结-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
线面角的三种求法 1.直接法 :平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的元素,它可以起到联系各线段的作用。 例1 ( 如图1 )四面体ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点,求(1)BC 与平面SAB 所成的角。 (2)SC 与平面ABC 所成的角。 解:(1) ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影, ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 (2) 连结SM,CM ,则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH /SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7/7 (“垂线”是相对的,SC 是面 SAB 的垂线,又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理,其思路是:先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或作出交线的垂线,则得面的垂线。) 2. 利用公式sin θ=h /ι
其中θ是斜线与平面所成的角, h 是 垂线段的长,ι是斜线段的长,其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 ( 如图2) 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ,求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解:设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1/3 S △AB 1C 1·h= 1/3 S △BB 1C 1·AB ,易得h=12/5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h /AB=4/5 A 1 C 1 D 1 H 4 C 1 2 3 B A D 图2 ∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4/5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2 (如图3) 若 OA 为平面的一条斜线,O 为斜足,OB 为OA 在面α内的射影,OC 为面α内的一条直线,其中θ为OA 与OC 所成的角, B α O A C 图3
高中数学线面角与线线角例题、习题-学生
线面角与线线角专练(小练习一)【知识网络】 1、异面直线所成的角:(1)范围:(0,]2π θ∈; (2)求法; 2、直线和平面所成的角:(1)定义:(2)范围:[0,90]o o ;(3)求法; 【典型例题】 例1:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,下列几种说法正确的是 ( ) A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 (2)在正方体AC 1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 ( ) A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 (3)正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1,2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 ( ) A .90o B .60o C .45o D .30o (4)在空间四边形ABCD 中,AB ⊥CD ,BC ⊥DA ,那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。 (5)点AB 到平面α距离距离分别为12,20,若斜线AB 与α成030的角,则AB 的长等于__ ___. 例2:.如图:已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AB =AC ,F 为棱BB 1上一点,BF ∶FB 1=2∶1,BF =BC =2a 。 (I )若D 为BC 的中点,E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点,证明EF ⊥FC 1; (II )试问:若AB =2a ,在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角,为什么?证明你的结论。 例3: 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P
向量法求空间角(高二数学-立体几何)
A B C D P Q 向量法求空间角 1.(本小题满分10分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD 为正方形,四边形ADPQ 是直角梯形, DP AD ⊥,⊥CD 平面ADPQ ,DP AQ AB 2 1==. (1)求证:⊥PQ 平面DCQ ; (2)求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小. 2.(满分13分)如图所示,正四棱锥P -中,O 为底面正方形的中心,侧棱与底面所成的角的正切值为26 . (1)求侧面与底面所成的二面角的大小; D B A
(2)若E是的中点,求异面直线与所成角的正切值; (3)问在棱上是否存在一点F,使⊥侧面,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由. 3.(本小题只理科做,满分14分)如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. (1)求证:AF//平面BCE; (2)求证:平面BCE⊥平面CDE; (3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面 角的大小.
4.(本小题满分12分)如图,在四棱锥ABCD P-中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,G , = =分别为 ,2 AD, F E PD ,的中点. PC, PD CB (1)求证:// AP平面EFG; (2)求平面GEF和平面DEF的夹角.
5.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. (Ⅰ)求证:AB BC ⊥; (Ⅱ)若直线与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小.
线面所成角的求法
★线面所成角的求法:[。勺 1?作图一一证明一一计算 求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影。一般地通过斜线上某个特殊点 作出平面的垂线来找角。角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有 关的三角形中,从而把空间的计算转变为平面图形内的解直角三角形或斜三角形的 边长相等,则AB i 与侧面ACC i A i 所成角的正弦值等于 A 亞 B 血 C 边 A. 4 B. 4 C. 2 4.如图,在长方体 ABCD — A i B i C i D i 中,AB = BC = 2, 7 僅― A a 问题。 A i D
n 与BC i所成的角为2,则BC i与平面BB I D I D所成角的正弦值为()代£B? C.^5 D¥ 5..正四棱锥S-ABCD中,0为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO =0D,则直线BC与平面PAC所成的角是 _____________ . 6. 如图,已知点P在正万体ABC B A B‘ C D的对角线BD上,/ PDA F60° . (1)求DP与CC所成角的大小; ⑵求DP与平面AA D D所成角的大小. 1 7. 已知三棱锥P-ABC中,PA丄平面ABC, AB丄AC,PA= AC= qAB, N为 AB上一点,AB = 4AN,M,S分别为PB、BC的中点. “ (1)证明:CM丄SN; ⑵求SN与平面CMN所成角的大小. ' ; 8 如图,在五棱锥P-ABCDE中,PA丄平面ABCDE,AB - // CD, AC// ED,AE // BC,/ ABC = 45°, AB = 2迈,BC = 2AE = 4,三角形FAB 是等腰三角形. (1)求证:平面PCD丄平面PAC; ⑵求直线PB与平面PCD所成角的大小; (3)求四棱锥P-ACDE的体积.
线面角的计算方法
教师姓名 余永奇 学生姓名 洪 懿 上课时间 2014.11.15 辅导学科 数学 学生年级 高二 教材版本 人教版 课题名称 线面角,二面角的计算方法(文科) 本次学生 课时计划 第(10)课时 共(60)课时 教学目标 线面角的计算方法 教学重点 线面角的计算方法 教学难点 线面角的计算方法 教师活动 学生活动 上次作业完成情况(%) 一.检查作业完成情况,并讲解作业中存在的问题 二.回顾上次课辅导内容 三.知识回顾,整体认识 1、本章知识回顾 (1)空间点、线、面间的位置关系; (2)直线、平面平行的判定及性质; (3)直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 (二)整合知识,发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题,进行逻辑推理的基础。 公理1——判定直线是否在平面内的依据; 公理2——提供确定平面最基本的依据; 公理3——判定两个平面交线位置的依据; 公理4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法:化空间问题为平面问题; 3、空间平行、垂直之间的转化与联系: 平面(公理1、公理2、公理3、公理4) 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段,两者相辅相成,缺一不可。 典型例题: 线面夹角的计算 例1(2014浙江高考文科20题)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED =90°,AB=CD=2, DE=BE=1,AC=2. (Ⅰ)证明:AC⊥平面BCDE; (Ⅱ)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值. 例2(2013浙江,文20)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA =3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点. (1)证明:BD⊥平面APC; (43 3 ) (2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值; (3)若G满足PC⊥平面BGD,求PG GC 的值.(3/2) 直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直
线线角-线面角-二面角的一些题目.
B 1 D 1 A D C 1 B C A 1 线线角与线面角习题 新泰一中 闫辉 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法. 2.理解直线与平面所成角的概念,并掌握求线面角常用方法. 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中,AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3,AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο ,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 4 6 (B). 36 (C).62 (D).6 3 3.平面α与直线a 所成的角为 3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 . 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο ,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 . 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο 角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 例2.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置. A C B A D C 1D 1 A 1 B 1C B D B P C D A C B F E