高中数学必修1基本初等函数专项练习(附答案解析)
高中数学必修1基本初等函数专项练习
一、单选题
1.降雨量是气象部门观测的重要数据，日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水层的深度(单位：毫米)?我国古代就有关于降雨量测量方法的记载，古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：天池盆(圆台形状)盆口直径二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸?若盆中积水深九寸，则平地降雨量是几寸(注：一尺等于十寸，一寸等于
103
厘米)?已知某隧道的积水程度与日降水量的关系如下表所示：
如果某天该隧道的日降水量按照“天池盆测雨”题中数据计算，则该隧道的积水程度为（ ） A. 一级 B. 二级 C. 三级 D. 四级
2.已知函数y=f （x ）的图象与函数y=log a x （a ＞0且a≠1）的图象关于直线y=x 对称，如果函数g （x ）=f （x ）[f （x ）﹣3a 2﹣1]（a ＞0，且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ）
A. [0，2
3] B. [√33
， 1） C. [1，√3] D. [3
2 ， +∞）
3.已知幂函数 f(x)=x a 的图象经过函数 g(x)=a x?2?1
2 （ a >0 且 a ≠1 ）的图象所过的定点，则幂函数 f(x) 不具有的特性是（ ）
A. 在定义域内有单调递减区间
B. 图象过定点 (1,1)
C. 是奇函数
D. 其定义域是 R 4.“ a 3>b 3 ”是“ log 7a >log 7b ”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 5.“ lna >lnb ”是“ 1a <1
b ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 6.设 a =(5
3)16
，b=
(35)?15
，c=ln 2
3 ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A. a ＞b ＞c
B. b ＞a ＞c
C. b ＞c ＞a
D. a ＞c ＞b 7.已知函数 f(x)=(m 2?m ?1)x m 2?4m+3
是幂函数，且其图像与 y 轴没有交点，则实数 m = （ ）
A. 或
B.
C. D.
8.已知x ，y 为正实数，则（ ）
A. 2lgx+lgy =2lgx +2lgy
B. 2lg （x+y ）=2lgx ?2lgy
C. 2lgx?lgy =2lgx +2lgy
D. 2lg （xy ）=2lgx ?2lgy 9.下列选项正确的是（ ）
A. log a （x+y ）=log a x+log a y
B. log a x y = log a x
log a
y
C. （log a x ）2=2log a x
D.
log a x n
=log a √x n
10.幂函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）x m 2+m ?3 在x ∈（0，+∞）上是减函数，则m=（ ） A. ﹣1 B. 2 C. ﹣1或2 D. 1 11.以下不等式中错误的是（ ）
A. log 50.7 B. log 0.26>log 0.27 C. log 0.15 D. log a 4 12.若幂函数f （x ）的图象过点（16，8），则f （x ） A. (m n )7=n 7m 1 7 B. √(?3)412=√?33 C. √x 3+y 34=(x +y)3 4 D. √√93=√33 14.若2a =5b =100，则下列关系中，一定成立的是（ ） A. 2a+2b=ab B. a+b=ab C. a+b=10 D. ab=10 15.已知函数f （x ）=|2x ﹣a 2|，其在区间[0，1]上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A. [0，1] B. [﹣1，0] C. [﹣1，1] D. [﹣12 ， 1 2] 16.函数 f(x)=a 2x?3?5 （ a >0 且 a ≠1 ）的图象恒过点（ ） A. （32 ， -4） B. （3 2 ， -5） C. (0,1) D. (0,?5) 17.下列三个数：a=ln 32-3 2 ， b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（ ） A. a ＞c ＞b B. a ＞b ＞c C. b ＞c ＞a D. b ＞a ＞c 18.对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3, 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么[log 21]+[log 22]+[log 23]+[log 24]+...+[log 264]的值为( ) A. 21 B. 76 C. 264 D. 642 19.设 a =(57 )3 7,b =(37 )5 7,c =(37 )3 7 ，则 a,b,c 的大小关系为( ) A. a B. b C. a D. c 20.计算√3×√1.53×√126 =( ) A. 6 B. 2√3 C. 3√3 D. 3 二、填空题 21.log 34 log 9 8 =________． 22.若函数f （x ）=log 2（﹣x 2+ax ） 的图象过点（2，2），则函数f （x ） 的值域为________． 23.已知幂函数y=f （x ）的图象过点A （8，2），则f （log 25 8+log 12 160）等于________ 24.已知幂函数的图象经过点 (9? ,?3) ，则 f(2) =________. 25.函数 f(x)=ln x+1 x?1 的值域为________. 26.（lg5）2+lg2×lg50=________． 27.函数y=（ log 14 x ）2﹣ log 14 x 2+5 在 2≤x≤4时的值域为________． 28.函数y=log a （x+3）﹣1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在mx+ny+2=0上，其中mn ＞0，则 1m +2 n 的最小值为________． 29.已知函数f （x ）＝[log a （x+2）]+3的图象恒过定点（m ，n ），且函数g （x ）＝mx 2﹣2bx+n 在[1，+∞）上单调递减，则实数b 的取值范围是________. 30.已知函数 f(x)={log 3x,x >0 2x ,x ≤0 ，则 f(?log 23)= ________，若 f(x)=2 ，则实数x 的值是 ________. 31.已知 a ﹣a ﹣1 =2，则 (a 3+a 3)(a 2+a 2?2) a 4?a 4 =________． 32.已知函数 f(x)=a x ?2 （ a >0 且 a ≠1 ），则 y =f(x) 的图象恒过的定点的坐标为________. 33.某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费________ 元． 34.化简： a 5 3?8a 2 3b a 23+2√a b 3 +4b 2 3 ? a 1 3 a 13?2 b 13 =________． 35.计算： (214 )12?(338 )?2 3 =________． 36.计算： (127)? ? 1 3?log 28= ________． 37.计算： 2log 25?(lg 2+lg 5)2= ________． 38.已知幂函数 y =(m 2?5m ?5)x 2m+1 在 (0,+∞) 上为减函数，则实数 m = ________． 39.函数y=log a （x ﹣3）﹣2过的定点是________ 40.当 0 4 时， √x 三、解答题 41.化简计算 （1）计算： [(313 81 )?3]1 6 ﹣lg 1100 ?(ln √e) ?1 +0.1 ?2 ?(2+ 1027 )?23?( 2+√3 )0 +2 ?1?log 2 16 （2）已知tan （π﹣α）=﹣2； 求sin 2（π+α）+sin （ π 2 +α）cos （ 3π2 ﹣α）的值． 42.已知函数 f(x)=log a x +log 4x (0＜a≠1)为增函数． （1）求实数a 的取值范围； （2）当a ＝4时，是否存在正实数m ，n(m ＜n)，使得函数 f(x) 的定义域为[m ，n]，值域为[ m 2 ， n 2 ]？如果存在，求出所有的m ，n ，如果不存在，请说明理由． 43.如图，现有一直径 AB =2 百米的半圆形广场， AB 所在直线上存在两点 C 、 D ，满足 OC =OD =2 百米（ O 为 AB 的中点）.市政规划要求，从广场的半圆弧 AB 上选取一点 E ，各修建一条地下管道 EC 和 ED 通往 C 、 D 两点. （1）设 ∠EOB =θ ，试将管道总长（即线段 EC +ED ）表示为变量 θ 的函数； （2）求管道总长的最大值. 44.已知函数 f （x ）=log 3 2x 2+bx+c x 2+1 的值域为[0，1]，求b 和c 的值． 45.若函数f （x ）的图象与函数g (x )=(13)x 的图象关于直线y=x 对称，求f （2x ﹣x 2）的单调递减区间． 46.已知函数f （x ）=log a （a x ﹣1）（ a ＞0，a≠1 ） （1）讨论函数f （x ）的定义域； （2）当a ＞1时，解关于x 的不等式：f （x ）＜f （1）； （3）当a=2时，不等式f （x ）﹣log 2（1+2x ）＞m 对任意实数x ∈[1，3]恒成立，求实数m 的取值范围． 47.已知log a2＝m，log a3＝n. （1）求a2m－n的值； （2）求log a18. 48.已知幂函数y=x m2?2m?3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足不等式（2a2+1）﹣m＜（4﹣a）﹣m的a的取值范围． 49. lg8+lg5lg20+(lg2)2． （1）lg52+2 3 （2）√8?23×(√102 3)92÷√105． 50.已知数列{a n}的前n项和为S n，点(a n,S n)在直线y=2x?2上. （1）求数列{a n}的通项公式； }的前n项和为T n，求证：T n<2. （2）设b n=log2a1+log2a2+???+log2a n，若数列{1b n 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】B 7.【答案】D 8.【答案】D 9.【答案】D 10.【答案】A 11.【答案】D 12.【答案】D 13.【答案】D 14.【答案】A 15.【答案】C 16.【答案】A 17.【答案】A 18.【答案】C 19.【答案】B 20.【答案】D 二、填空题 21.【答案】4 3 22.【答案】（﹣∞，2] 23.【答案】-2 24.【答案】√2 25.【答案】(?∞，0)∪(0，+∞) 26.【答案】1 ≤y≤8} 27.【答案】{y｜25 4 28.【答案】4 29.【答案】[-1，+∞） 30.【答案】1 ；9 3 31.【答案】5 3 32.【答案】 (0,?1) 33.【答案】500 34.【答案】a 35.【答案】 19 18 36.【答案】 0 37.【答案】 4 38.【答案】 -1 39.【答案】（4，﹣2） 40.【答案】 (116,1) 三、解答题 41.【答案】 （1）解：原式= √81256 +2+ 1 2 +100﹣ 9 16 ﹣1+3 = 916 +2+ 12 +100﹣ 9 16 ﹣1+3 = 2092 ； （2）解：∵tan （π﹣α）=﹣2， ∴tanα=2． ∴sin 2（π+α）+sin （ π 2 +α）cos （ 3π2 ﹣α） =sin 2α+cosα?（﹣sinα） = sin 2α?cosαsinαsin α+cos α = tan 2α?tanαtan 2α+1 = 22?222+1 = 2 5 ． 42.【答案】 （1）解：由 f ′(x)=1 x ln a +1 x ln 4=1 x ln 4a ≥0 得： 4a ≥0 又 a ≠1 ，所以 1 4≤a <1 或 a >1 （2）解：当a=4时， f(x)=2log 4x ,∵ f(x) 在 [m,n] 上单调递增,∴ {2log 4m =m 2 2log 4m =m 2 ∴m 、n 是方程 2log 4x =x 2 的两个根.解得：m=2,n=4 ∴存在满足条件的m ，n ，且m=2,n=4 43.【答案】 （1）解：在 △DOE 中，由余弦定理，得 ED 2=OD 2+OE 2?2OD ?OE ?cos ∠EOB =22+12?2?2?1cosθ=5?4cosθ 在 △COE 中，由余弦定理，得 EC 2=OC 2+OE 2?2OC ?OE ?cos ∠EOC =22+12?2?2?1cos(π?θ)=5+4cosθ 所以 EC +ED =√5+4cosθ+√5?4cosθ=f(θ) ， θ∈[0,π] （2）解：由（1）可得 [f(θ)]2=(√5+4cosθ+√5?4cosθ)2=10+2√5+4cosθ?√5?4cosθ [f(θ)]2=10+2√25?16cos 2θ≤10+2√25=20 （百米） 因为 θ∈[0,π] 当且仅当 cos 2θ=0?cosθ=0?θ=π 2 时取等号 而 f(θ)=√5+4cosθ+√5?4cosθ>0 ， 所以当 [f(θ)]2 取得最大值20百米时， f(θ) 取得最大值 2√5 百米. 另解（2）：当 a,b >0 时，有 a+b 2 ≤√a 2+b 2 2 ，当且仅当 a =b 时取等号 因为 √5+4cosθ>0 ， √5?4cosθ>0 f(θ)=√5+4cosθ+√5?4cosθ≤2√ (√5+4cosθ)2+(√5?4cosθ)2 2 =2√10 2=2√5 当且仅当 √5+4cosθ= √5?4cosθ?cosθ=0?θ=π 2 时取等号. 44.【答案】 解：因为f （x ）的值域为[0，1]，即：0≤log 3 ≤1 所以：log 31≤log 3≤log 33． ∵底数3＞1，y=log 3x 是增函数， ∴ ? ? 当且仅当 时，则有0≤log 3≤1取等号． 解方程组：可得： 或 ． 故b 和c 的值为： 或 45.【答案】 解：∵函数f （x ）的图象与函数g (x )=(13)x 的图象关于直线y=x 对称，∴f (x )=log 1 3x ∴f (2x ?x 2)=log 13 (2x ?x 2)①∵①的定义域为（0，2）令t=2x ﹣x 2 ， 则t=2x ﹣x 2在0（0，1]单调递增，在[[1， t在（0，+∞）单调递减由符合函数的单调性可知函数的单调减区间是：（0，2）单调递减而函数y=log1 3 1] 46.【答案】（1）解：由a x﹣1＞0，得a x＞1． 当a＞1时，x＞0； 当0＜a＜1时，x＜0． 所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）． （2）解：当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2， 则ax1＜ax2，所以ax1﹣1＜ax2﹣1． 因为a＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2） 故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数． ∵f（x）＜f（1）； ∴a x﹣1＜a﹣1， ∵a＞1，∴x＜1 )在[1，3]上是单调增函数， （3）解：∵令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣2 2x+1 ∴g（x）min=﹣log23， ∵m＜g（x）， ∴m＜﹣log23 47.【答案】（1）解：因为log a2＝m，log a3＝n，所以a m＝2，a n＝3. . 所以a2m－n＝a2m÷a n＝22÷3＝4 3 （2）解：log a18＝log a(2×32)＝log a2＋log a32＝log a2＋2log a3＝m＋2n. 48.【答案】解：∵幂函数y=x （m∈N*）在（0，+∞）上是减函数，∴m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3， ∵m∈N*， ∴m=1或2． 当m=1时，y=x﹣4为偶函数满足条件， 当m=2时，y=x﹣3为奇函数不满足条件， 则不等式等价为（2a2+1）﹣1＜（4﹣a）﹣1， ∵y=x﹣1在（﹣∞，0）和（0，+∞）上都为减函数， 则2a2+1＞0， 则不等式等价为2a2+1＞4﹣a＞0， 解得1＜a＜4或a＜﹣． 49.【答案】（1）解：原式=2lg5+2lg2+lg5(lg5+2lg2)+(lg2)2 =2(lg5+lg2)+(lg5)2+2lg5?lg2+(lg2)2 =2+(lg5+lg2)2 =3 （2）解： √8?2 3×(√1023)9 2÷√105 =81 2×(?2 3)×1023×9 2÷105 2 =8 ? 1 3 ×103 ×10? 52 =1 2×1012 = √10 2 50.【答案】 （1）解：由题可得 S n =2a n ?2 . 当 n =1 时， S 1=2a 1?2 ，即 a 1=2 . 由题设 S n =2a n ?2 ， S n+1=2a n+1?2 ，两式相减得 a n+1a n =2 . 所以 {a n } 是以2为首项，2为公比的等比数列，故 a n =2n . （2）解： b n =log 2a 1+log 2a 2+???+log 2a n =log 22+log 222+???+log 22n =1+2+???+n = n(n+1)2 ， 则 1 b n =2 n(n+1)=2(1 n ?1 n+1) ， 所以 T n =1b 1 +1b 2 +???+1 b n?1 +1 b n =2(1?12 )+2(12 ?13 )+???+2( 1 n?1 ?1n )+2(1n ? 1 n+1 )=2(1? 1 n+1 ) 因为 n ∈N ? ，所以 1?1 n+1<1 ，即证 T n <2 . 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ； 过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）． 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 () mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2(,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点(2, 2 ，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．1 2 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ． 12 2lg x x x >> B ． 12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ． (,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2)5 f =，则 (2)f -= ． 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． 2．常见幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝ 1 2 x ?? ? ?? ；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为() A．1B．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝( ) 22 23 1m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝() 2 223 1m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x － 3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x － 3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α (α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件． 【对点训练】 函数f(x)＝( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的 解析式． 解：根据幂函数的定义得 m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3 在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f(x)＝x 3. 题型二、幂函数的图象 【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α 在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，1 2，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4 的α的值依次为( ) A ．－2，－12，1 2 ，2 B ．2，12，－1 2 ，－2 高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0]上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0)上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递减 在[0，＋ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 数学1（必修）第二章 基本初等函数（1） [基础训练A 组] 一、选择题 1 下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ） A 2 x y = B x x y 2 = C )10(log ≠>=a a a y x a 且 D x a a y log = 2 下列函数中是奇函数的有几个（ ） ①11x x a y a +=- ②2lg(1) 33 x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=- A 1 B 2 C 3 D 4 3 函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( ) A x 轴 B y 轴 C 直线y x = D 原点中心对称 4 已知1 3x x -+=，则332 2 x x - +值为（ ） A B C D - 5 函数y = ） A [1,)+∞ B 2(,)3+∞ C 2[,1]3 D 2(,1]3 6 三个数6 0.70.70.76log 6， ，的大小关系为（ ） A 60.70.70.7log 66<< B 60.7 0.70.76log 6<< C 0.7 60.7log 66 0.7<< D 60.70.7log 60.76<< 7 若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A 3ln x B 3ln 4x + C 3x e D 34x e + 二、填空题 1 985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 2 化简11 410 104 848++的值等于__________ 3 计算：(log )log log 22 22 54541 5 -++= 4 已知x y x y 224250+--+=，则log ()x x y 的值是_____________ 5 方程 33131=++-x x 的解是_____________ 6 函数121 8 x y -=的定义域是______；值域是______ 7 判断函数2lg(y x x =的奇偶性 三、解答题 1 已知),0(56>-=a a x 求x x x x a a a a ----33的值 2 计算100011 3 43460022 ++ -++-lg .lg lg lg lg .的值 3 已知函数2 11()log 1x f x x x += --,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性 4 （1）求函数 2()log x f x -=的定义域 （2）求函数)5,0[,)3 1(42∈=-x y x x 的值域 高中数学必修一幂函数 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中数学必修一幂函数教案 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 索一般幂函数的图象规律． 教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 组织探究 材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定 义，并且图象都过点（1，1）； （2）0 > α时，幂函数的图象通过原 点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别 地，当1 > α时，幂函数的图象下凸；当 1 0< <α时，幂函数的图象上凸； （3）0 < α时，幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从 右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼 近y轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴 上方无限地逼近x轴正半轴． 师：引导学生 观察图象，归纳概 括幂函数的的性质 及图象变化规律． 生：观察图 象，分组讨论，探 究幂函数的性质和 图象的变化规律， 并展示各自的结论 进行交流评析，并 填表． 探究与发现 1．如图所示，曲线 是幂函数αx y=在第一象 限内的图象，已知α分别 取2, 2 1 ,1,1 -四个值，则相 应图象依次 为：． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图 象，你能发现什么规律？ （1）3- =x y和3 1 - =x y； （2）4 5 x y=和5 4 x y=． 规律1：在第 一象限，作直线 )1 (> =a a x，它同 各幂函数图象相 交，按交点从下到 上的顺序，幂指数 按从小到大的顺序 排列． 规律2：幂指 数互为倒数的幂函 数在第一象限内的 图象关于直线x y= 对称． 作业回馈 1．在函数 1 , , 2 , 1 2 2 2 = + = = =y x x y x y x y中，幂函数的个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数) (x f y=的图象过点 )2 ,2(，试求出这个函数的解析式． 3．在固定压力差（压力差为常数）下， 当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管 道半径r的四次方成正比． （1）写出函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流 量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半 径为5cm，计算该气体的流量速率． 4．1992年底世界人口达到54．8亿， 若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人 口数为y（亿），写出： （1）1993年底、1994年底、2000年底 的世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y与x的 函数解析式． 必修1 第二章 基本初等函数(1) 一、选择题: 1.333 4 )2 1 ()21()2()2(---+-+----的值 （ ） A 4 3 7 B 8 C －24 D －8 2.函数x y 24-=的定义域为 （ ） A ),2(+∞ B (]2,∞- C (]2,0 D [)+∞,1 3.下列函数中，在),(+∞-∞上单调递增的是 （ ） A ||x y = B x y 2log = C 31 x y = D x y 5.0= 4.函数x x f 4log )(=与x x f 4)(=的图象 （ ） A 关于x 轴对称 B 关于y 轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线x y =对称 5.已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为 （ ） A 2-a B 25-a C 2)(3a a a +- D 132 --a a 6.已知10< f (3 1)>f (41) B. f (41)>f (3 1 )>f (2) C. f (2)> f ( 41)>f (31) D. f (3 1 )>f (41)>f (2) 11.若f (x )是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数,且f （lg x ）>f (1),则x 的取值范围是（ ） A. ( 110，1) B. (0，1 10 )(1，+∞) C. ( 1 10 ，10) D. (0，1)(10，+∞) x y O x y O x y O x y O 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学学科测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．已知幂函数f（x）过点，则f（4）的值为（） A．B．1C．2D．8 答案：A 解析： 解：设幂函数f（x）=x a，x＞0， ∵幂函数f（x）过点， ∴，x＞0， ∴，∴， ∴f（4）==． 故选A． 2．幂函数y=（m2+2m-2）的图象过（0，0），则m的取值应是（）A．-3或1B．1C．-3D．0＜m＜4 答案：B 解析： 解：由幂函数的定义得：m2+2m-2=1，且-m2+4m＞0， 解得：m=1， 3．函数y= 的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 答案：C 解析： 解：∵函数y=的定义域是[0，+∞）， ∴排除选项A 和B ， 又∵，∴曲线应该是下凸型递增抛物线． 故选：C ． 幂函数y=x -1及直线y=x ，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一 象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ） A ．④⑦ B ．④⑧ C ．③⑧ D ．①⑤ 答案：D 解析： 解：取x=得∈（0，1），故在第⑤卦限； 再取x=2得∈（1，2），故在第①卦限 5．幂函数f（x）=xα的图象经过点，则的值为（） A．4B．3C．2D．1 答案：C 解析： 解：幂函数f（x）=xα的图象经过点，所以，∴ ∴ 故选C． 二．填空题（共__小题） 6．若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=______． 答案： 解析： 解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23， ∴f（）= = = = =． 故答案为： 7．设，则使函数y=xα的定义域为R且为偶函数的所有的α值为______．答案：，2 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? 高一数学必修一函数必背知识点整理 高一数学必修一函数必背知识点 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+ba>0,a、b属于Q a^a^b=a^aba>0,a、b属于Q ab^a=a^a*b^aa>0,a、b属于Q 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 幂函数y=x^aa属于R 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. 1所有的幂函数在0，+∞都有定义并且图象都过点1，1; 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 3时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1 代数法求方程的实数根; 2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数. 1△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？ 问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？ 〖投影〗观察对应： 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射 〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。 （2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝； 《幂函数》教学设计 一、设计构思 1、设计理念 注重发展学生的创新意识。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。 注重提高学生数学思维能力。课堂教学是促进学生数学思维能力发展的主阵地。问题解决是培养学生思维能力的主要途径。所设计的问题应有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。本节主要安排应用类比法进行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。 注重学生多层次的发展。在问题解决的探究过程中应体现“以人为本”，充分体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习能力是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。 注重信息技术与数学课程的整合。高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、 计算器等进行探索和发现。 另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。 2、教材分析 幂函数是教育普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的容。该教学容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。标准将该容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。其中，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。因此，教材安排学习幂函数，除容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。该容安排一课时。 3、教学目标的确定 鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标： ⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。 ⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。 ⑶加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。 ⑷培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。 ⑸渗透辨证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法高中数学必修一幂函数及其性质
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