系统稳定性分析

3-6 系统稳定性分析

控制系统在实际工作中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、系统参数的变化等等，使系统偏离原来的平衡工作状态。如果在扰动消失后，系统不能恢复到原来的平衡工作状态(即系统不稳定)，则系统是无法工作的。

稳定是控制系统正常工作的首要条件，也是控制系统的重要性能。因此，分析系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。

一、稳定性定义及系统稳定的充要条件

如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。可见，稳定性是系统在去掉扰动以后，自身具有的一种恢复能力，所以是系统的一种固有特性。这种特性只取决于系统的结构、参数而与初始条件及外作用无关。

由上所述，稳定性所研究的问题是当扰动消失后系统的运动情况，显然可以用系统的脉冲响应函数来描述。如果脉冲响应函数是收敛的，即

0)(lim =∞

→t k t

系统是稳定的。

由于单位脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。

设系统闭环传递函数为

)

())(()

())(()()()(2121n n m m s s s a z s z s z s b s D s M s λλλ------==

ΦΛΛ 式中1z ,2z ,…,m z 为闭环零点；1λ,2λ,…,n λ为闭环极点。

脉冲响应函数的拉氏变换式，即为

)

()()

()()()(11n n m m s s a z s z s b s s C λλ----=

Φ=ΛΛ (3-38)

如果闭环极点为互不相同的实数根，那么把方程(3-38)展开成部分分式

∑=-=-++-+-=n

i i

i n n s A s A s A s A s C 122

11)(λλλλΛ

式中i A 为待定常数。对上式进行拉氏反变换，即得单位脉冲响应函数)(t k

t n

i i i e A t k λ∑==1

)(

根据稳定性定义

0lim )(lim 1

==∑=∞

→∞

→n

i t i t t i e A t k λ

考虑到系数i A 的任意性，必须使上式中的每一项都趋于零，所以应有

0lim =∞

→t i t i e A λ (3-39)

其中i A 为常值，式(3-39)表明，系统的稳定性仅取决于特征根i λ的性质。并可得到，系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部，或者说都位于［s ］平面的左半平面。

如果特征方程有重根，且重根数为m ，则在脉冲响应函数中将具有如下分量形式：t

te

1λ，

t e t 22λ，…，t i i e t λ，…。这些项，当时间t 趋于无穷时是否收敛到零，仍然取决于重特征根i λ的性质。

所以上述系统稳定的充分必要条件也完全适用于系统特征方程有重根的情况。

如果i λ为共轭复根，即i i i j ωσλ±=，那么在脉冲响应函数中具有下列形式的分量

t j i t j i i i i i e A e A )(1)(ωσωσ-+++

或写成

)sin(i i t t Ae i ψωσ+

由上式可见，只要共轭复根的实部为负，仍将随时间t 趋于无穷而振荡收敛到零。

总之，只有当系统的所有特征根都具有负实部，或所有闭环极点均位于［s ］平面的左半平面，系统才稳定。只要有一个特征根为正实部，脉冲响应就发散，系统就不稳定。当系统有纯虚根时，系统处于临界稳定状态，脉冲响应呈现等幅振荡。由于系统参数的变化以及扰动的不可避免，实际上等幅振荡不可能永远维持下去，系统很可能会由于某些因素而导致不稳定。另外，从工程实践来看，这类系统也是不能很好工作的，因此临界稳定系统可以归属于不稳定系统之列。

判别系统稳定与否，可归结为判别系统闭环特征根实部的符号：

Re 0i λ 不稳定

Re 0=i λ 临界稳定，亦属不稳定。

因此，如果能解出全部特征根，则立即可以判断系统是否稳定。

通常对于高阶系统，求根本身不是一件容易的事。但是，根据上述结论，系统稳定与否，只要能判别其特征根实部的符号，而不必知道每个根的具体数值。因此，也可不必解出每个根的具体数值来进行判断。下面介绍的代数判据，就是利用特征方程的各项系数，直接判断其特征根是否都具有负实部，或是否都位于［s ］平面的左半平面，以确定系统是否稳定的方法。代数判据中，有古尔维茨稳定判据和劳斯稳定判据，两种判据基本类同，故这里只介绍更为常用的劳斯判据。

二、劳斯(Routh )判据

设系统特征方程的一般式为

0)(0111=++++=--a s a s a s a s D n n n n Λ

系统稳定的必要条件是0>i a ，否则系统不稳定。系统稳定的充要条件是0>i a 及劳斯表中第一列系数都大于零。劳斯表中各项系数如表3-2所示。

表3-2 劳斯表

下面对系统稳定的必要条件作简单说明：因为一个具有实系数的s 多项式，总可以分解成一次和二次因子的乘积，即)(a s +和)(2

c bs s ++，式中a 、b 和c 都是实数，一次因子给出的是实根，而二次因子给出的则是多项式的复根。只有当b 和c 都是正值时，因子)(2

c bs s ++才能给出具有负实部的根。也就是说，为了使所有的根都具有负实部，则必须要求所有因子中的常数a 、b 和c 等，都是正值。很显然，任意个只包含正系数的一次因子和二次因子的乘积，必然也是一个具有正系数的多项式。但反过来就不一定了。因此，应当指出，所有系数都是正值这一条件，并不能保证系统一定稳定，亦即系统特征方程所有系数0>i a ，只是系统稳定的必要条件，而不是充要条件。

【例3-4】设有一个三阶系统其特征方程为

0)(012233=+++=a s a s a s a s D

式中所有系数都大于零。试用劳斯判据判别系统的稳定性。

解 因为0>i a ，满足稳定的必要条件 列劳斯表

1

23

0212

3

123a a a a a a a a a a s s s s - 显然，当03021>-a a a a 时，则系统稳定。

【例3-5】系统特征方程为

05432)(234=++++=s s s s s D

试用劳斯判据判别系统的稳定性。

解 由已知条件可知，0>i a ，满足必要条件。列劳斯表