中考数学状元笔记及知识点集

中考状元数学笔记知识点汇总

一、实数

（一）有理数

1、有理数分类：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数

2、数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴

3、相反数如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

4、倒数如果两个数之积为1，则称这两个数为倒数

5、绝对值①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是它的相反数/0的绝对值是0。

（二）实数

1、实数分类：①有理数→整数/分数②无理数(无限不循环小数)

2、平方根：①如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。②一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方。

③求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

3、算术平方根如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根

4、立方根：①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。

5、乘方性质

60；绝对值不等时，取绝对值较大

0相加不变。

0相乘得0

。③乘

0n个相同因数a

的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a

③如果有括号，先小再中后大③ab=ba ④(ab)c=a(bc) ⑤(a+b)c=ac+bc

7、科学记数法: a310n的形式，其中n是整数。

8、近似数①四舍五入法②进一法③去尾法

9、有效数字从左边第一个不是0的数学起，到末位数字为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。

如：28.70万有4个有效数字；0.30120有5个有效数字。

10、非负数

11

二、代数式

1、分类：代数式→有理式与无理式；有理式→整式\分式；整式→单项式\多项式。

2、整式概念

①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做

3、整式运算：（

1

m

a2n a=n

m

a+;②m

a÷n a=n

m

a-;③n

m

a)

(=mn

a;④n

ab)

(=n a n b;⑤

4、分解因式：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式

（2）方法：提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法（一提二套三分组）

5、分式概念及性质：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，（注意：对于任何一个分式，分母不为0）

②性质10基本性质：20符号法则：

6

7、二次根式

①性质

②运算

④同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。

a≥020

a≥

a1(0)

a

=≠

其中

1

(

p

p

a p

a

-=≠

为正整数,a0)

n

n

n

b

a

b

a

=

)

(

(0)

am

m

bm

=≠

b

a

a

b

a

b

a

b

-

=

-

=

-

0,0)

a b

=≥≥0,0)

a b

=≥>

0,0)

a b

≥≥

0,0)

a b

=≥>

2(0)

a a

=≥a

=

⑥分母有理化：把分母中的根号化去。（方法：分子分母同乘以分母的有理化因式） 三、方程

（一）一次方程

1、概念 ①等式：用等号连接的两个式子叫等式 ②方程：含有未知量的等式叫做方程。③方程的解：能够使得方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。④一元一次方程：方程化为最简形式后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程。⑤二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫二元一次方程。⑥二元一次方程组的解：能使二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值，叫这个二元一次方程的一组解。

2、等式性质 ①等式左右两边都加上或减去同一个数或同一个整式，结果仍然是等式②等式左右两边都乘以或除以同一个不为零的数，结果仍然是等式。

3、一元一次方程的解法： 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1（注意：去分母

最小公倍数； 变号） 4、二元一次方程组的解法：①代入消元法②加减消元法。 5、列方程解应用题：（1）步骤：审、设、找、列、解、答 （2）类型：①和差倍分问题②等积变形问题③行程问题→相遇问题/追及问题/顺逆流问题④劳力调配问题⑤工程问题⑥利润率问题⑦数字问题⑧储蓄问题⑨比例分配问题⑩日历中的问题 （二）二次方程

1、概念 ①一元二次方程：只含有一个未知数．．．．．

，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 2、一元二次方程的解法：①直接开平方方法②因式分解法③配方法④公式法

3、一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 的两个实数根为x 1,x 2 则有

如：x 12+x 22

=（x 1+x 2）2

－2 x 1x 2

4、根的判别式 △=b 2

-4ac ①△>0时，方程有两个不相等的实数根②△=0时，方程有两个相等的实数根③△<0时，方程没有实数根。 （三）分式方程

1、定义：分母里含有未知数的方程

2、分式方程的解法：（1）思路：将分式方程转化为整式方程，解之并代入公分母中验根。（2）步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、解一元一次方程、验根。

3、列分式方程解决实际问题的步骤：审、设、找、列、解、验、答。（不仅要验根还要验是否符合题意） 四、不等式及不等式组 （一）一元一次不等式 1、不等式的定义：用“<”、“>”、“≥”、“≤”、“≠”等不等号连接的式子。

2、不等式的基本性质：①如a>b ，c 为实数 则a+c>b+c ；如a>b ，c 为实数 则a-c>b-c ②如a>b ，c>0则ac>bc ；

如a>b ，c>0则 ③如a>b ，c<0则acb ，c<0则

3、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式。

4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解。

5、解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1 （二）一元一次不等式组

1、定义：同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组

2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中的各个不等式的解集的公共部分。

3、解一元一次不等式组 （1）步骤：先分别求出不等式组中各个不等式的解集、在数轴上分别表示、找公共部分

（2）确定法则：同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小是无解。

4、应用：审、设、列、解、择、答。（择：从解集中根据实际情况选择符合题意的解或解集） 五、函数及其图象

（一）平面直角坐标系

1、有序实数对：有顺序的两个实数a 和b 组成的实数对。（利用它可以准确表示平面内一个点的位置）

2、平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、零点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴x 轴，取向右为正；竖直的数轴叫y 轴，取向上为正；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

3、象限：坐标平面被x 轴、y 轴分割成四个象限，分别称为第一、二、三、四象限。（x 轴、y 轴与坐标原点不属于任何象限）

4、坐标：P(a ，b)表示由点P 向x 轴作垂线，垂足对应着x 轴上的一个实数a ；由点P 向y 轴作垂线，垂足对应着y 轴上的一个实数b ；

a 为横坐标，

b 为纵坐标。

5、平面内点的坐标特征：可从各象限内的点、坐标轴上的点、角平分线上的点、平行线上的点来归纳。

6、关于坐标轴对称的点的坐标：P(a,b )→(关于x 轴) Px(a,-b)；P(a,b )→(关于y 轴) Py(-a, b)；P(a,b )→(关于原点) Po(-a,-b)； P(a,b )→(关于直线y=x) P 1(-a, b)

7、两点间的距离公式：A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的距离为

（二）函数概念

1、变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，始终不变的量叫做常量。

2、函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个值，y 都有一个唯一确定的值与其对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

3、函数中自变量的取值范围

4、函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值，该函数有唯一确定的对应值，此对应值为函数值。

a

c

x x a b x x =?-=+2121,a b c c >a b

c c

<

212

21214)(x x x x x x -+=-2

21221)()(y y x x AB -+-=

5、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。

6、描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线 (有等号画实心，无等号画空心) （三）一次函数

1、正比例函数：如果y=kx （k 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的正比例函数；其图象是过点(0,0)与(1,k)的一条直线。

2、一次函数：如果y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）那么y 叫做x 的一次函数。其图象是过点(0,b)、( ,0)的一条直线。 4、直线的位置与常数的关系：

①k>0则直线的倾斜角为锐角②k<0则直线的倾斜角为钝角③图像越陡，|k|越大④b>0直线与y 轴的交点在x 轴的上方⑤b<0直线与y 轴的交点在x 轴的下方

5、一次函数的确定-----待定系数法：设、列、求。

6、一次函数与一次方程的关系：求两个一次函数的交点就是解两个一元一次方程构成的方程组。

7、①直线y=k 1x+b 与直线y=k 2x+b 平行，则k 1=k 2 ②直线y=k 1x+b 与直线y=k 2x+b 垂直，则k 1k 2 =1 （四）反比例函数

1、定义：函数 (k 是常数，k ≠0)叫做反比例函数，k 叫做比例函数，反比例函数自变量x 的取值范围是一切不等于0的实数。

2、反比例函数的图象：是双曲线

3、反比例函数的性质： （五）二次函数

1、定义：一般地，形如y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的函数叫二次函数。

2、三式：①一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0)②顶点式：y=a(x-h)2+k(a ≠0)③交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)其中x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0

的两个实数根

3、二次函数解析式的确定：待定系数法

4、二次函数的图象：是一条抛物线，其顶点坐标为 ，对称轴是直线

5、二次函数y=ax 2+bx+c 中的a 、b 、c 与抛物线的关系： ①开口方向与开口大小均由二次项系数a 确定： 相同 则抛物线形状相同；当 越大，则开口越小，反之开口越大；a>0则开口向上，且图象向上无限伸展；a<0则开口向下，且图象向下无限伸展

②与y 轴交点的位置由常数项a 决定：c>0则交于y 轴的正半轴上；c<0则交于y 轴的负半轴上；c=0则必过原点。

③与x 轴交点的位置由方程ax 2+bx+c=0中的△=b 2

-4ac 决定：当△>0时，有两个交点；△=0时，有一个交点；△<0时无交点。 ④对称轴的位置由a 和b 联合决定(左同右异)：a 、b 同号则对称轴在y 轴的左侧；a 、b 异号则对称轴在y 轴的右侧。 b

k -

k

y x

=24(,24b ac b

a a --2

b x a

=-a a

(六、图形的认识

（一）图形的初步认识 1、几何图形：（1）几何图形有平面图形和立体图形，构成几何图形的基本元素是：点、线、面、体。 （2）平面图形：在同一平面内，由点与线所组成的图形。

（3）常见的平面图形有线段、角、多边形、圆；常见的立体图形有圆柱、圆锥、棱柱和球。 2、直线：（1）直线的表示：用小写字母表示或用直线上的两个不同的点表示。（2）直线的公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为“两点确定一条直线” 3、线段：（1）线段的表示：用小写字母表示或用表示端点的两个字母表示。（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点（3）线段的比较：用刻度尺分别测量出长度进行比较或把其中的一条线段移到另一条上作比较。（4）线段的公理：两点之间，线段最短。（5）距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离。 4、射线：（1）定义：把线段向一方无限延伸所组成的图形叫射线。（2）射线的表示：用射线的端点和射线上另一个点来表示（注意顺序） 5、角：（1）定义：①静态定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形②动态定义：看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

（2）角的表示：①用三个大写字母表示②当以某点为顶点的角只有一个时，可用该顶点的字母表示③用数字表示，如：∠1 ④用希腊字母表示，如：∠α

（3）平角和周角：射线OA 绕点O 旋转，当终边位置OB 和起始位置OA 成一直线时，所成的角叫做平角，继续旋转，回到起始位置OA 时，所成的角叫周角。

（4）角的度量单位是度、分、秒，是60进制。 1周角=2平角=4直角=360°,1度=60分=360秒 （5）方向角→正东、正南、正西、正北；西南、西北、东北、东南；北偏东30°等

（6）角的平分线：从一个角的项点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 6、互余与互补：（1）概念：如果两个角之和等于90°则说这两个角互余；如果两个角之和等于180°则说这两个角互补 （2）性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。 7、相交线：（1）邻补角：两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角。 （2）对顶角：两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点，没有公共边，两边分别互为反向延长线的两个角，互为对顶角。（3）对顶角的性质：对顶角相等。`

8、垂直（1）定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。（2）垂直的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②直线外一点与直线上各点所连接的所有线段中，垂线段最短（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 9、三线八角：同位角、内错角、同旁内角。

10、平行线 （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。（2）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。（3）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（4）平行线的判定：同位角相等，两直线平行/内错角相等，两直线平行/同旁内角互补，两直线平行。（5）平行线的性质：两直线平行，同位角相等/两直线平行，内错角相等/两直线平行，同旁内角互补。 （二）三角形与多边形

1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的特性：三角形具有稳定性。

3、三角形的“三条重要线段”（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高

4、三角形的“四心”：内心→三角形的三条角平分线的交点；重心→三角形的三条中线的交点；垂心→三角形的三条高的交点；外心→ 三角形三条边的垂直平分线的交点。

5、三角形的分类：（1）按边： （2）按角分类： 向右(h>0),向左(h<0)平移h 个单位

??????

不等边三角

形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形?

?????

??直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形

6、三角形的三边关系：（1）三角形的两边之和大于第三边（2）三角形的两边之差小于第三边

7、三角形的内角和定理：（1）三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°（2）推论1：直角三角形的两个锐角和等于90°； 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；推论4：三角形的外角和等于360°

8、等腰三角形：（1）定义：两边相等的三角形（2）性质：等边对等角；三线合一（3）判定：等角对等边（4）等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形。（5）等边三角形的性质：三边都相等，三角都相等，都等于

6）等边三角形的判定：三个角都相等的

三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；→边长为a ，面积为

9、直角三角形 （1）定义：有一个角是直角的三角形（2）定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半。 10、多边形：（1）定义：由一些线段首尾顺次连接组成的图形是多边形，有四边形，五边形等等，我们学习的多边形都是凸多边形。8 （2）正多边形：当多边形各边的长度都相等，各个角都相等时，这个多边形为正多边形。 （3）多边形的内角和、外角和：多边形的内角和为180°（n-2）(n ≥3)、外角和为360°

（4）多边形的对角线：边接多边形不相邻的两个顶点的线段，n 边形过一个顶点有（n-3）条对角线，共可以画出 条对角线。

11、镶嵌（1）平面镶嵌的概念：用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙，又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌 （2）用完全相同的任意三角形和任意四边形可以实现平面镶嵌，此外用正六边形也可以实现平面镶嵌（3）用正多边形镶嵌：用一种或是两种及两种以上的正多边形均可以实现镶嵌，用两种正多边形镶嵌时尽量满足：镶嵌的正多边形的边长相等；顶点重合；一个顶点处的各角之和为360° （三）投影与视图 `1、投影现象：（1）投影定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影；照射光线叫做投影线，投影所在

的平面叫做投影平面。（2）投影分类：平行投影、中心投影 2、正投影：（1）定义：在平行投影中，投影线与投影平面垂直时，物体所形成的投影称为正投影。（2）几何图形的正投影：线段的正投影→平行长不变，倾斜长改变，垂直成一点；平面图形的正投影→平行形不变、倾斜形改变、垂直成一点；几何体的正投影→平面图形。 3、几何体的三视图：（1）概念：一个立体图形从正面看到的平面图形叫做主视图，从上面看到的平面图形叫做俯视图，从左边看到的平面图形叫做左视图，主视图、俯视图、左视图统称三视图。（2）三视图的画法：先确定主视图的位置（由长和高组成），在主视图的正下方画出俯视图（由宽和长组成），在主视图的正右方画出左视图（由高和宽组成），三视图要保证“长对正、高平齐、宽相等”。 4、常见几何体的三视图：（1）正方体的三视图都是正方形，长方体的三视图均为矩形。（2）圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是不包括圆心的圆。（3）圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是包括圆心的圆。 七、图形的全等 1、命题：（1）定义：判断一件事情的语句叫做命题。 （2）命题的组成：命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。（3）命题的形式：通常写成“如果------那么------”形式。（4）命题的真假：正确的命题是真命题，错误的命题是假命题。（5）互逆命题：若命题2与命题1的题设、结论正好相反，则这样的两个命题叫做互逆命题。（6）定理：经过证明被确认正确的命题叫定理。（7）互为逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。 2、证明：（1）证明：推理的过程叫证明。（2）证明的步骤：①分析题意，画出图形，并结合图形写出已知和求证的结论②根据图形分析证明思路③写出证明的过程，每一步均应有理有据。（3）证明的方法：综合法（从已知条件入手，探索解题途径）、从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法、两头“凑”的方法（综合运用以上两种方法） 3、反证法：（1）定义：先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾的结果，从而结论的反面不可能成立，以此来说明原有结论的正确性，这种证明的方法叫反证法。（2）反证法的步骤：先假设与命题相对立的结论成立，再从所假设的结论出发，推导出矛盾，最后由矛盾说明假设的结论不成立，从而判断原有的结论是正确的。 4、全等形与全等三角形：（1）全等形：能够完全重合的图形叫做全等形（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 5、全等三角形的对应元素：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

6、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等。

7、全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等SSS （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等SAS （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等ASA （4）两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL 八、图形的对称与变换 （一）图形的对称

1、轴对称与轴对称图形

（1）轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折后，与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中相互重合的点叫做对称点，这条直线叫做对称轴。

（2）轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折，对折后图形的一部分与另一部分完全重合，我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

（3）轴对称与轴对称图形的区别与联系：

①轴对称是指两个特定图形之间的位置关系，轴对称图形是描述一个图形的形状性质②当我们将成轴对称的两个图形看作一个整体时，这个整体就是轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个部分各自组成的图形就关于这条直线成轴对称③轴对称只有一条对称轴，而轴对称图形不一定只有一条对称轴。

22

4(3)

2

n n

（4）轴对称与轴对称图形所具有的性质：

①任何一对对应点所边线段被对称轴垂直平分②两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上③对应线段相等，对应线段所在的直线如果相交，交点在对称轴上④对应角相等 （5

I

a 、线段的垂直平分线上的点到线段

b 、

c 、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的一条对称轴，另一条是线段所在的直线。

II 角平分线的性质①角平分线上的点到已知角两边的距离相等②到已知角两边距离相等的点在已知角的角平分线上③角是轴对称图形，角平分线所在的直线是该角的对称轴。 2、中心对称与中心对称图形

（1）中心对称：把一个图形绕着一点旋转180°后，如果与另一个图形重合，则这两个图形关于该点成中心对称，这个点叫做其对称中心，旋转前后重合的点叫对称点。

（2）中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°后，能与其自身重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

（3）两者的区别与联系①中心对称是指两个特定图形之间的位置关系，中心对称图形是描述一个图形的形状性质；②将成中心对称的两个图形看作一个整体时，这个整体图形就是中心对称图形。

（4）中心对称图形的性质：①对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分②对应线段相等，平行或共线③对应角相等。 （二）图形的平移与旋转 1、图形的平移

（1）平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。

（2）平移的性质：①对应点的连线平行（或共线）且相等②对应线段平行（或共线）且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形（四个端点共线除外）③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。

（3）用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a,横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长。

（4）平移的条件：图形的原来位置、方向、距离

（5）平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。 2、图形的旋转

（1）定义：在平面内，把一个图形绕着某一点由一个位置旋转一定的角度到另一个位置的运动，叫做旋转，其中这个点叫做这种运动的旋转中心，这个角度叫做旋转角，旋转前重合的点叫做对应点。

（2）性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应线段相等③每一组对应点与旋转中心连线的夹角相等，等于旋转角；④旋转前后的两个图形是全等的。

（3）条件：原图形、旋转中心、旋转方向和旋转角

（4）旋转对称图形：一个图形绕某一点放置一定的角度（小于360°）后与自身重合，这个图形就叫做旋转对称图形。

（5）旋转作图步骤：①连点：将原图中的一个关键点与旋转中心连接②转角：将上面中所连接的线段绕放置中心沿指定的方向旋转一个旋转角，得到这个关键点的对应点③连接：重复上面两个步骤，将原图中所有关键点的对应点找出来，再按原图中的顺序，依次连接成图。

九、图形的相似

1、比例线段：（1）概念：在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，如： ，则这四条线段是成比

例线段，简称比例线段。（2）基本性质： ，特别地， 将b 称为a 、c 的比例中项。（3）其他性质： ①反比性质： 、②更比性质 、 ③合比性质 ④

（3）线段的黄金分割点：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，则点C 叫作线段AB 的黄金分割点，且 2、相似多边线 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）性质：①相似多边形的周长比等于相似比②相似多边形对应的对角线比等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形的面积比等于相似比的平方。

3、相似三角形 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（2）相似三角形所对应的基本图形

b a n d b m

c a n

d b n m d c b a =

++++++?≠+++=== :)0(等比性质d b

c a a c b

d ==或a c

b d

=a c

ad bc b d

=?=2

a b b ac

b c =?=d

d c b b a ±=±c

d a b =0.618

2

A C

B

C A B A C ==≈

（3）性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例 ②相似三角形的对应中线、角平分线、高的比等于相似比 ③相似三角形的周长比等于相似比 ④相似三角形的面积比等于相似比的平方。（4）判定：常见：①两角对应相等的两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似③三边对应成比例的两个三角形相似。 特别：④平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似⑤斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。

4、位似图形 （1）概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，可见位似是特殊的相似，其相似比又叫做位似比。（2）性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小。（3）位似图形与相似图形的区别：保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换，位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法可以把一个多边形放大或缩小。（4）位似图形的画法：先确定位似中心，再过位似中心和每个顶点作直线，在直线的另一侧取原多边形的各顶点的对应顶点，连接各点，即可得到放大或缩小的图形。（注意“放大”与“放大到”的区别） 十、解直角三角形

1、锐角三角函数（1）定义：

①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作

②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作

③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 锐角A 的正弦、余弦、正切统称为锐角的三角函数。

（2）三角函数的函数值及其变化规律

①当∠A 为锐角时，00

②一个锐角的正弦、正切值均随着角度的增大而增大，而一个锐角的余弦随着角度的增大而减小。

（1）互为余角的三角函数：∠A 为锐角，则有：、

（2） 同角三角函数的关系：①平方关系：

②商数关系： ③不等关系：当∠A 为锐角时，tanA>sinA

4、解直角三角形：直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角

（1）解直角三角形的概念：由直角三角形中的两个已知元素（直角除外且其中至少有一个是边），求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。

（2）解直角三角形的依据：①勾股定理②两锐角之间的互余关系③边角关系：锐角三角函数的定义 （3）解直角三角形中的四类基本问题①已知斜边和一直角边②已知斜边和一锐角③已知一直角边和一锐角④已知两直角边 5、解直角三角形的应用

（1）内涵：解直角三角形的应用实际上是将实际问题通过图形使之转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数与几何知识综合求解。（2）仰角、俯角、坡角、坡度

①仰角与俯角：它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 ②坡度与坡角：通常把坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即 坡度一般写成1:m 的形成，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则有 ③ 方位角：略 十一、四边形

梯形 （1）定义：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。（2）等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等、对角线相等（3）等腰梯形的判定：①两腰相等的梯形②同一底上的两个角相等的梯形③对角线相等的梯形

平行四边形 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 （2）性质：①平行四边形两组对边分别平行 ② 平行四边形的两组对边分别相等 ③平行四边形的两组对角分别相等 ④平行四边形的对角线互相平分。⑤平行四边形关于对角线的交点成中心对称图形 （3）判定：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 矩形 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（2）性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相等③矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有两条对称轴 （3）判定：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 ②有三个角是直角的四边形是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形

sin A a A c

∠==的对边斜边cos A b A c ∠==的邻边斜边tan A a A b ∠==的对边邻边sin tan cos A A A

=h i l =

tan h i a

l ==22sin cos 1

A A +=sin(90)cos A A ?-=cos(90)sin A A ?-=

（四）菱形（1）定义：邻边相等的平行四边形是菱形

（2）性质：①菱形的四条边都相等②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角③菱形的面积等于对角线乘积的一半④菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有两条对称轴。

（3）判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②四条边都相等的四边形是菱形

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形（1）定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形。

性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。③正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有四条对称轴。

（3）判定：①平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角（定义法）②矩形+一组邻边相等③矩形+对角线互相垂直④矩形+一个角为直角⑤菱形+对角线相等

十二、圆

圆的相关概念

1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径。

2、等圆：半径相等的圆称为等圆

3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

4、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

6、圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角叫做圆周角。

（二）圆的相关性质与定理

1、圆的性质：①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线②圆是中心对称图形，对称中心为圆心③圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。

2、圆的的确定条件：①过一点作圆：以这一点以外的任意一点为圆心，以这两点间的距离为半径即可作出，这样的圆有无数多个②过两点作圆：以这两点连线的垂直平分线上的任一点为圆心，以这一点到两个已知点的距离为半径即可作出，过两点可作无数个圆③过三点作圆：不在同一条直线上的三点确定一个圆，圆心是每两点连线的垂直平分线的交点，过在同一条直线上的三点则不能作圆。④过四点或四点以上的圆：当各点中每两点连线的垂直平分线相交于一点时，过各点的圆有一个，圆心为各垂直平分线的交点，否则过各点的圆不存在。

3、垂径定理及其论

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧

（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

如图①弧AC=弧BC

②弧AD=弧BD

③AE=BE

④AB⊥CD

⑤CD是直径

上面5个，只要满足其中的两个，

另外三个就一定成立，即所谓“举二反三”。

4、弧、弦、圆心角的关系：

（1）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它所对应的其余三组量都相等，即所谓“举一反三”。

5、圆周角定理：（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；（2）推论：半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

（三）点、直线、圆与圆的位置关系

1、点与圆的位置关系（用d表示点与圆心的距离，R表示圆的半径）

d

（3）d>R 则点在圆外，反之也成立。

2、直线与圆的位置关系（用R表示圆的半径，d为圆心到直线的距离）

（1）d>R时，直线与圆相离，无公共点；（2）d=R时，直线与圆相切，有一个公共点，直线称圆的切线；（3）d

3、切线的性质与判定

（1）切线的性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于经过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

（2）切线的判定：①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（3）切线长定理：①切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间线段的长度②切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

4、圆与圆的位置关系（用r表示半径较小的圆的半径，用R表示半径较大的半径，用d表示两圆的圆心距）

（1）d>R+r时，两圆外离，无公共点；（2）d=R+r时，两圆外切，只有一个公共点；

（3）R-r

（5）d

（四）圆中的计算问题

1、正多边形与圆的概念

（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形

（2）正多边形的外接圆：经过多边形各个顶点的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形。

（3）正多边形的中心与半径：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。 （4）正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距。

（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角， 正n 边形的每个中心角都等于 2、正多边形的性质

（1）正多边形的各边都相等 （2）正多边形的各角都相等

（3）正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

（4）边数相同的正多边形相似，它们的周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

3、圆中的弧长与扇形面积 （1）弧长公式：半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长L 的计算公式为

（2）扇形面积公式： 半径为R 的圆中，n °的圆心角与弧长所成的扇形面积为

4、圆柱和圆锥的侧面积与表面积 （1）圆柱： 设圆柱的高为L ，底面半径为R ， 则： 圆锥： 设圆锥的母线长为L ，底面半径为R ，则：

十三、统计与概率 （一） 统计

1、 数据的收集与表示

（1）数据的收集-------步骤：①明确调查问题②确定调查对象③选择调查方法④展开调查⑤记录结果⑥得出结论 概念：频数----表示每个对象出现的次数；频率-----表示每个对象出现的次数与总次数的比值。

（2）数据的表示：用统计图来表示数据，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图和折线统计图。（表示出每个项目的具体数目选择条形统计图；反映事物的变化情况选择折线统计图；表示各部分在总体中所占的百分比就选择扇形统计图） 2、数据的整理

（1）概念与方法：①平均数：将一组数据的总和除去个数 （反映各数据的平均大小）

②极差：把一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围。 ③方差：用“先平均、再差的平方、后平均”三部曲求得的结果表示一组数据偏离平均值的情况，此结果称为方差（反映一组数据的波动程度，方差越大，波动越大，越不整齐，越不稳定）。④标准差：方差的算术平方根。⑤众数：在一组数据中出现次数最多的数。⑥中位数：将一组数据按从小到大排序，如果有奇数个数据，则取最中间的这个数；如果有偶数个数据，则取最中间的两个数的平均数。 （2）公式：设有x 1、x 2……Xn 个数 ①平均数公式：

② 方差公式：

③ 标准差公式：

3、统计的意义

（1） 调查分为普查和抽样调查两种方式。

（2） 总体、个体、样本：把所要考察的对象的全体叫总体；把组成总体的每一个考察对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫

做这个总体的一个样本。样本中个体的数量叫容量。

360n ?180

L =2

3602n R LR S π=扇=22

R L R L ππ??=圆锥侧1S =S πππ2圆柱侧表面积=2RL S =2RL+2R S ππ2

表面积=RL+R 12.....n

x x x x n

+++=2

2

2

122()()......()

n x x x x x x s n

-+-++-=s =

（3） 样本估计总体：当样本足够大时，样本的平均数、标准差与总体的平均数、标准差很接近，可以用样本的平均数、标准差来估

计总体的平均数、标准差 （样本必须有广泛的代表性）

（二） 概率

1、 三个事件 （1）不可能事件：一定不会发生的事件（2）必然事件：一定会发生的事件 （3）随机事件：不能确定的事件

2、 概率：表示一个事件A 发生的可能性的大小的数，叫做该事件的概率，记作P （A ），0≤P （A ）≤1

3、 求等可能下的随机概率：（1）画树状图 （2）列表法

4、几何概念：通过面积之比，线段长之比来求概率，应用如：转盘，不规则图形的面积。

5、用实验求概率：在大量重复试验下，用该事件发生的频率稳定值来估计概率

6、常见的概率：抛掷1枚硬币有正面朝上和反面朝上2种等可能的结果、抛掷2枚硬币有（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反、反）4种等可能的结果、投掷2枚正六面体的骰子共有36种等可能的结果。 补充公式：

1、 若A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),线段AB 的中点为C ，则C 坐标是

2、 两条平行直线y=kx+b 1与直线y=kx+b 2间的距离:

3、 点P(x 0,y 0)到直线y=kx+b 的距离公式：

4、 若抛物线y=ax 2

+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B 则B A x x AB -=或

5、 三角形内切圆半径公式

6、 直角三角形内切圆半径公式：

7、 圆内接四边形①对角互补 ，②外角等于内对角。

8、 ①弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角的度数。 ②相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 9、125.67tan ;125.22tan ;3275tan ;3215

tan +=?-=?+=?-=?

10、定理：三角形一边上的中线等于这条边得一半，则这个三角形是直角三角形。

)

2

,

2

(2

12

1y y x x ++2

211k

b b d +-=

2

2

001k

b y kx d ++-=

a

AB ?=

c

s r 2=2

c

b a r -+=