小学数学难题解法之巧妙解题方法及练习题

小学数学难题解法之巧妙解题方法及练习题

小学数学难题解法大全之巧妙解题方法及练习题

巧想奇偶数

例1把13枚贰分钱硬币按国徽朝下的方法放在桌面上，如果每

次翻动12枚，你能不能把13枚硬币都翻成国徽朝上?

分析：按规定每进行一次操作，即每次翻动12枚硬币，不论翻

动多少次，翻动硬币的枚数总是12的倍数，即永远是偶数，这个性

质在翻动硬币的过程中保持不变;

要把13枚硬币都翻成国徽朝上，则每枚硬币都必须翻动奇数次，13个奇数相加仍为奇数，而奇数不等于偶数，所以根据规定把13

枚硬币都翻成国徽朝上是不可能的。

例2有甲乙两个容器，在甲容器中盛有1千克水。第一次把甲

容器中的

依次轮换倒下去，倒十九次后，乙容器中有多少水?

分步探求规律：

不管倾倒多少次，甲乙容器中水的总和始终不变，为1千克。

例3趣题：从前，在大草原上，有一个牧主。他有很多的牛、羊，可他却是个吝啬鬼。

有一年，他雇了一位牧羊人给他放羊。牧羊人给牧主放了一年的羊。到年终的时候。牧主对牧羊人说：“还有7天就过年了。在这

7天里，你要杀死36只羊，每天杀死的羊只能是单数，而不能是双数，你能完成这个任务我就付给你工钱，如果你不能照我说的办，

那么，这一年你只好白干了。”

牧羊人想：“奇数个奇数相加永远得奇数，因此7个奇数相加决不能得36。”牧主用这个道理欺骗我，企图抵赖工钱。

例4某月份内有五个星期天，其中三个星期天的日期是偶数，两个星期天的日期是奇数。问这个月里哪几天是星期日。

解：每月内相邻两个星期天的日期，必定一个为奇数，一个为偶数。因此，这个月份内星期天的日期一定为：偶数、奇数、偶数、奇数、偶数。每月最多是31天，所以第一个星期天只能是2号。由此容易推出其余四个星期天是9、16、23、30。

解：由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍，即4瓶油(连瓶)共重

(8+9+10+11+12+13)÷3=21(千克)

而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，故有

删去。

文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。

巧想倍数

例12台织布机4小时织布100米。照这样计算，5台织布机6小时可以织布多少米?

一般解法：

先求出1台1小时织布多少米，再求5台6小时织布多少米。即

100÷4÷2×5×6=375(米)

从同类量的相互倍数关系想：因为每台织布机工作效率相同，所以可先分别算出织布机台数及织布时间之间的倍数关系。即

100×(5÷2)×(6÷4)=375(米)

例2你往缸里倒水，如果每分钟增加1倍，10分钟时缸满了。请问几分钟时缸中的水是半满?

解：缸满的水量，是半满水量的1倍，所以由半满到缸满要1分钟，而半满时用了

10-1=9(分钟)

例3(第二届“从小爱数学”邀请赛试题)有一本故事书，每2页

文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有一页文字。(1)假如这本书有96页，而第一页是插图，这本书共有插图多少页?(2)假如这本书有99页，而第一页是插图，这本书共有插图多少页?说明

理由。

解：书是按……文字、插图、插图、插图、文字、插图、插图、插图、文字、……排列的。实际上是一张文字、三张插图交替排列。

(1)因为96刚好是4的倍数，所以这本书共有插图：

3×(96÷4)=72(页)

(2)99不是4的倍数，但我们已知96页中有72页是插图，其余

3页只可能有以下几种情况：插、插、插;插、插、文;插、文、插。即余下3页中可能有2页插图，也可能有3页插图。这样，可以知

道这本书可能有74页插图，也可能有75页插图。

一般解法：先求出两种树的总棵数，再分别求各占总数的百分之几。

松树：48÷〔48×(3+1)〕=25%

柏树：(48×3)÷〔48×(3+1)〕=75%

巧解法：把松树棵数看作“1”，柏树是松树的3倍，总数就是(1+3)。

松树占总数的1÷(1+3)=25%

柏树占总数的3÷(1+3)=75%

或1-25%=75%

例5首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题，笔试第一

试第9题：一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把

学生送往考场。一小用的汽车，每车坐15人，二小的汽车，每车坐13人。结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参

加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增

加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车。问最后两校共

有多少人参加竞赛?

解：根据一小第一次增加一个人就要增加一辆汽车，断定原来各车均已坐满，即人数是15的倍数;而二小第一次增加一个人车数却

不变，第二次再增加一个人才增加一辆车，说明原来有一辆车差一

人没坐满，即人数比13的倍数少1。试算发现，同时满足这两个条

件的只有90，于是得出最后两校参加竞赛的共为

(90+2)×2=184(人)

例6第五届“从小爱数学”邀请赛试题，3题：桌面上原有硬纸

片5张。从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面。像这样，取出，剪小，放回，再取出，剪小，放回……是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991?

解：每次放回后，桌面上的纸片数一定是6的倍数加5，而

1991=6×331+5，所以可能。

例7美国小学数学奥林匹克(1984～1985)第一次(1984年11

月)4题：一个由12人组成的夏令营小组到达营地时，带有足够食

用8天的食品，这时又有4人临时赶来参加他们的活动，但没带任

何食物。如果每人每天仍按原来的计划分配食物，试求所带的食品

现在能够食用多少天。

解：所带食物是1个人一天配给量的12×8=96(倍)，它能维持

16个人食用

96÷16=6(天)

例8两仓库共存食品240吨。已知甲库的20%与乙库的12%恰好等于36吨。求两库各存食品多少吨?解：据此题的特殊结构，将各分率与对应量同时扩大5倍，则甲的分率为100%。

甲率乙率对应量

(20%+12%)×5—→36×5(吨)

即100%+60%—→180(吨)

由此可知，乙库存食品的

40%是240-180=60吨

所以乙库存60÷(1-60%)=150(吨)

甲库存240-150=90(吨)

小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（十一）[1]

文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。

巧填两个真分数之间的分数

两个真分数之间的分数是无穷的，这里给出几种简便填法。

数，下同)。

且两个分数是真分数，

且两个分数为真分数，则a>b，

即bc-ad<0，

因为a、b、c、d是正数，故ac>0，a(a+c)>0，c(a+c)>0，

(5)根据“大小两数的算术平均数，必大于小数而小于大数。”求

符合要求。

文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度

而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧

妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。

(6)倍乘法

若插入“四个数”，就把它们各扩大“五倍”，即倍数比插入数多1。

(7)化为小数

显然，0.75～0.8之间的数是无穷的。

(8)反复通分

(9)变分子相同

故知所求数依次为

(个)符合要求的分数。如果扩大3倍，则得(63-55)×3-

1=23(个)。

(10)化为百分数

(11)单位“1”法

把两个分数中的任意一个看作“1”，求出另一个分数占单位“1”的几分之几，取所得分数分子与分母的中间数作分子，分母不变，

再乘以单位“1”即得问题的解。

(12)数轴法

都满足条件。

件

数)，取其中的m份(m＜n)，一般表达式

所以该题的解为：

n的取值无限，其解无穷。

假设m=2，n=3，则

上是关系有理数集的稠密性的问题——任意两个不同的有理数之间存在着无穷多个有理数。

小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（十）

文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度

而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧

妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。

巧试商

(1)定位打点

首先用打点的方法定出商的最高位。

其次用除数的最高位去除被除数的前一位(如果被除数的前一位

不够，就除被除数的前两位)。

最后换位调商。试商后，如果除数和商相乘的积比被除数大时，将试商减1;小时，且余数比除数大，将试商加1.例略。

(2)比积法

就是在求得商的最高位后，以后试商时，把被除数和已得的商与除数之积比较，从而确定该位上的商。常可一次试商获得成功，从

而提高解题速度，还可培养学生的比较判断能力。

例如，9072÷252=36.

十位上商3，得积756.在个位上试商时，只要把1512与756相

比较，便知1512是756的2倍，故商的个位应是3的2倍6.特别

是当商中有相同数字时，更方便。

本题在个位上试商时，只要把1268与1256相比较，便知应为8，且很快写出积1256，从而得到余数12.

(3)四舍五入法

除数是两、三位数的除法。根据除数“四舍五入”的试商方法，常需调商。若改为“四舍一般要减一，五入一般要加一”，常可一

次定商。

例如，175÷24，除数24看作20，被除数175，初商得8，直接

写商7.

2299÷382，382可看作400，上商5，积是2000.接近2299，但

结果商还是小，可直接写商6.

(4)三段试商法

把两位数的除数的个位数1—9九个数字，分为“1、2、3”、“4、5、6”、“7、8、9”三段来处理。

当除数的个位数是1、2、3时，用去尾法试商(把1、2、3舍去)。

商。

当除数个位数是4、5、6时，先用进一法试商，再用去尾法试商，然

商为8，取6—8之间的“7”为准确商。如果两次初

是初商6、7中的“6”.

(5)高位试低位调

用除数最高位上的数去估商，再用较低位上的数调整商。例如：513÷73=7的试商调商过程如下。

A.用除数十位上的7去除被除数的前两位数51，初商为7;

B.用除数个位上的3调商：从513中去减7与70的积490，余23，23比初商7与除数个位数3的积21大，故初商准确，为7.

如果283÷46时，用除数高位上的4去除28，初商为7，用除数个位6调商，从283中减去7与40的积余3，3比7与除数个位数

6的积42小，初商则过大。调为6.

这种试商方法简便迅速，初商出得快，由于“低位调”，准确商也找得准。同时，由于用除数最高位上的数去估商时，初商只存在过大的情况，调整初商时只需要调小，这样，调商也较快。

但是，有时在采用这种方法试商时，初商与准确商仍存在着差距过大的

调商，从181中减去6与30的积，余1，1比6与7的积小，照理应将初商调为5，因为1比42小41，而41>37，为了减少调商次数，直接将初商调为“4”，称为“跳调”。这样便于较快地找出准确商。

(6)靠五法

对除数不大接近于整十数、整百数的，如9424÷152，不论用舍法或者入法，都要两次调商。如果我们把除数152看作150，即不是用四舍五入法，而是向五靠，一般能减少试商次数，甚至可以一次定商。

(7)同头无除

当被除数和除数的最高位数字相同，而被除数的次高位数字又比除数次高位数字小的，例如3368÷354=9……，1456÷182=8，一般的就用“同头无除商8、9”.

(8)半除

被除数的前一位或两位数正好是除数前两位数的一半或接近一半的，例如965÷193=5，1305÷261=5，一般用“半除商5”.

(9)一次定商法

对确定每一位商，分四步进行：

第一步，用5作基商，先求出除数的5倍是多少;

第二步，求差数，即求出被除到的数与除数的`5倍的差数;

第三步，求差商，差数÷除数=“差商”;

第四步，定商，若差数>0，当差商是几，定商为“5+几”，若差数<0，当差商是几，定商为“5-几”。

例如：517998÷678=764 (6)

(1)先从高位算起，定第一位商7.

先求除数的5倍：678×5=3390求差商(5179-3390)÷678=2……;

定商5+2=7;

(2)定第二位商6.

差商(4339-3390)÷678=1……

定商5+1=6;

(3)定第三位商4.

被除数与除数5倍的差小于0，差商不足1，

定商5-1=4，即2718÷678的商定为4.

对于上述一次定商法，在定商的过程中，如果被除到的数是除数的1倍或2倍，可以直接定商，不必拘泥于上面四步。

小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（九）

文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度

而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。

巧设条件

有些题数量关系抽象，猛一看去甚至觉得条件“不充分”。若把题变为“看得见，摸得着”，则易为学生理解接受。

例1制造某种机器零件的时间甲比乙少用1/4，那么，甲比乙的工作效率高()%.

若假设乙加工这种零件要8小时(是4的倍数计算方便)，那么，甲加工

如果设乙加工这种零件要4分钟，那么，他每小时加工15个;甲用的时间比乙少1/4，只需要3分钟，他每小时能加工20个。这样，就更简捷了。

(20—15)÷15≈33.3%.

设正方形的边长为6个长度单位(6是2和3的最小公倍数)，则

例3甲数比乙数多25%，乙数比甲数少()%.

数少

例4一组题。

(1)一个正方形体的棱长扩大2倍，那么它的体积就扩大()倍，

表面积扩大()倍。

假设原正方体的棱长为1个单位长度，其体积为1×1×1，表面

积为1×1×6;扩大后的棱长为2，体积为23、表面积为22×6。再

通过比较就可得出结果。

(2)大圆半径是小圆半径的3倍，大圆周长是小圆周长的()倍，

小圆

假定小圆半径为1，则大圆半径为3。

与小圆面积的比是()。

假设阴影部分的面积为6，代入计算比直接利用两个“分率”推

导易理解。

求小明比小方高多少，就是求168cm的1/6+1，即高出24cm.

小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（八）[1]

文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度

而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧

妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。

巧求最小公倍数

求最小公倍数要根据具体题，灵活选用最佳方法。

(1)倍数查找法

例如，求6和9的最小公倍数。

分别求出要求最小公倍数的那几个数的一些公倍数，从中找出相同的且最小的一个。

6的倍数有：6、12、18、24……

9的倍数有：9、18、27、36……

则[6，9]=18.

(2)约分法

(证明略)

例如，求84与36的最小公倍数。

[84，36]=3×84=252或36×7=252

经逐次约分后，分数线上下形成了两列数，从这两列数的“头乘头或尾乘尾”即可得出原先两个数的最小公倍数。

(3)短除法

[15，30，40]=5×3×2×4=120.

用短除法求最小公倍数最好用质数去试除，否则易出错。如：

∴[15，30，40]=10×3×5×4=600.

因为用合数去除，相当于用2除再用5除，而15虽然不能被10整除，却可以被5整除。如果用10去除，就少用5去除，使结果扩大5倍。这是错误的。

此法也不是非要用质数去试除不可。例如，下面两式都是对的。

2×2×3×5×44×3×5×4

=240=240

这是因为12、60和16既有公约数2，也有公约数4。用较大的

公约数去除，能减少运算步骤，应灵活选用。

(4)归类法

成倍数关系的几个数，最大的那个是它们的最小公倍数。

例如，12、15和60成倍数关系，即12与15分别是60的约数。

则[12，15，60]=60

如果三个数两两互质，其积是它们的最小公倍数。

例如，3、4和5，3和4、3和5，4和5都是互质数。

则[3，4，5]=3×4×5=60.

如果三个数当中只有两个数是倍数关系，那么其中较大的数与另外一个数的最小公倍数，就是这三个数的最小公倍数。

例如，8和4是倍数关系，较大数8和3的最小公倍数是24.

则[8，4，3]=24.

(5)翻倍法

当几个数之间不存在倍数关系或互质关系，要找它们的最小公倍数时，用两个(或两个以上)数中较大的那个数依次乘以2、3、4、5……求得“最先积”如果是另一个数(或另几个数)的倍数时，这个“最先积”就是所求的最小公倍数。

例如，求30、35和70的最小公倍数。

因为70是三个数中较大的数，用70依次去乘以2、3、4……得

出积是70×2=140，70×3=210，70×4=280……而210是30、35和

70的倍数中的“最先积”，所以

[30，35，70]=210.

(6)用商法

先把两个数写成除法的形式，大数作被除数，小数作除数(除数为大于1的自然数)，所得的商写成最简分数。这两个数的最小公倍数等于被除数乘以商的分母。

例如，求64与48的最小公倍数。

64×3=192

∴[64，48]=192.

(7)口诀法

例如，求18和24的最小公倍数。

乘法口诀：“三六一十八(3×6=18)，四六二十四(4×6=24)”。6是它们的公约数，3和4是互质数。

则[18，24]=6×3×4=72.

(8)最简分数法

例如，求84和63的最小公倍数。

写为真分数，化为最简分数。原分数的分子(或分母)乘以最简分数的分母(或分子)。

63×4=252或3×84=252.

则[84，63]=252.

再如，求36、40和44的最小公倍数。

[36，40]=360.

[44，360]=3960.

则[36，40，44]=3960.

(9)特征法

例如，求24和30的最小公倍数。

根据24和30能被2整除的特征，记下2;

再根据都能被3整除，记下3.

2乘3得6，24和30分别除以6商为4、5，4和5互质。则[24，30]=6×4×5=120.

(10)定理法

定理：两个数的最小公倍数。等于这两个数的乘积除以它们的最大公约数。

这里的数都是自然数，即：

此定理的证明对小学教师来讲，应予以掌握，以居高临一般书中介绍的证法不易掌握，这里给出两种简便证法。

证明：?∵(a，b)|b，

∵a|[a，b]，b|[a，b]，

存在正整数m，n，

使[a，b]=am (1)

[a，b]=bn…(2)[2]

∴k=1，

[1]数的整除定理3：如果b|a1，那么b|(a1a2…an)。(n>1)

[2]最小公倍数的性质1：如果[a，b]=m，n是a、b的任意一个

公倍数，那么m|n.

[3]最大公约数的性质2，如果[a，b]=c，那么(a÷c，b÷c)=1.

(见《算术基础理论》)

证明：设(a，b)=t，

则a=t·p1，b=t·p2，其中(p1，p2)=1，

则有[a，b]=[t·p1，t·p2]

=t·p1·p2.

例1求44和64的最小公倍数。

这种方法虽然计算较复杂，但优点是在求两个数的最小公倍数的同时，复习了求最大公约数。如果习题既要求求两个数的最大公约数，又要求两个数的最小公倍数，那就更显示出其优越性。

例2a、b的最大公约数是15，最小公倍数是225，求a、b各是多少?

又因(a，b)=15，所以

a=15p1，b=15p2，且(p1，p2)=1，

于是15p1·15p2=225×15，所以

p1·p2=15，其中(p1，p2)=1.

由此得

例3整数a、b之积为9408，它们的最小公倍数是336，求a、b.

因a·b=9408，[a，b]=336及上述定理得

设a=28p1，b=28p2，(p1，p2)=1，于是ab=282·p1·p2=9408，

p1·p2=12，(p1，p2)=1.

由此得

文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度

而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。

(11)比例法

把要求最小公倍数的两个数看作一个比的前项和后项，再将这个比化简，使其成为一个比例。这个比例内项(或外项)的积，即为所求。

例如，求34与51的最小公倍数。

34∶51=2∶3

则[34，51]=34×3=102.

(12)扩倍法

把最大数扩大到能被另外两个数整除，扩大的倍数与最大数的积就是要求的最小公倍数。

例如，

∵60×4=240，240÷16=15，240÷24=10，

∴[16，24，60]=60×4=240.

(13)求差取积法

此法分三种情况，这里分别给出两种证明方法，第二种证法简捷。

一、两个数的差小于减数

先求两数之差，然后用差作除数，去除减数，再用所得的商乘以被减数，所得的积就是原两个数的最小公倍数。

例如，求12与15的最小公倍数。

15-12=3，12÷3=4，

15×4=60.

则[12，15]=60.

证法一：(下面的字母都表示自然数)

设两个数a、b，a-b=c，且0

如果b÷c=q，则aq=[a，b].

证明：∵a-b=c，∴a=b+c，

又∵b÷c=q，∴b=c·q，

∴aq=(b+c)·q=(c·q+c)·q

=(q+1)·cq=(q+1)·b，

∴b|aq.

又∵a|aq，∴aq是a，b的公倍数。

设m=[a，b]，则aq=km。

∵a|m、ak|mk、ak|ap，∴k|q.

又∵b|m、bk|mk、bk|aq，即cq·k|(q+1)·cq，

∴k|(q+1)，显然(q，q+1)=1，

∴k=1，

∴aq=m=[a，b].

证法二：

如果a-b=c，c

那么[a，b]=ad.

证明：∵a-b=c，且c

∴a÷b=1(余c).

又∵b÷c=d，

∴(a，b)=(b，c)=c.(辗转相除法所依据的两个定理)

二、两个数的差大于减数。

若两个数的差大于减数时，可以先把减数扩大若干倍，使减数接近被减数，然后再按上述方法求出这两个数的最小公倍数。

例如，求42与105的最小公倍数。

42×2=84105-84=21

42÷21=2105×2=210

则[42，105]=210

证法一：

设两个数a、b，且a-b>b，则将b扩大k倍(k是大于1的自然数)，使0

如果b÷c=q，那么aq=[a，b].

证明：∵a-kb=c∴a=kb+c，

∵b÷C=q∴b=cq，

∴a=kb+c=kcq+c=(kq+1)·c，

aq=(kq+1)c·q=(kq+1)·cq

=(kq+1)·b，

∴b|aq.

又∵a|aq，∴aq是a与b的公倍数。

设[a，b]=m，则aq=pm(p是自然数)。

∵a|m、ap|pm、ap|aq、p|q，

b|m、bp|pm、(qc)·p|(kq+1)·cq，

∴p|(kq+1).

∵(q，kq+1)=1，∴p=1，

∴aq=pm=[a，b].

证法二：

如果a-nb=c，c

那么[a，b]=ad.

证明：∵a-nb=c，且c

∴a÷b=n(余c).

又∵b÷c=d，

∴(a，b)=(b，c)=c.

三、两个数的差不能整除减数。

如果两个数的差不能整除减数时，可用差的约数(从大到小试除)作除数，然后再按上述方法求出两个数的最小公倍数。

例如：求189与135的最小公倍数。

189-135=54∵54135，

54的约数有27、18……

∵135÷27=5，

189×5=945，

则[189，135]=945.

如果两数差等于减数时，这两个数的最小公倍数是被减数。

证法一：

设两个数a、b，a-b=c，且cb，c的约数为c1、c2…，cn其中ci是这些约数中能整除b的最大一个。

令b÷ci=q，则aq=[a，b].

证明：设c÷ci=d，则c=cid.

又∵a-b=c，∴a=b+c，

∵b÷ci=q，∴b=ci·q.

aq=(b+c)·q=(ciq+cid)·q=(q+d)·ciq

=(q+d)·b，

∴b|aq。又∵a|aq，∴aq是a、b的公倍数。

同样设[a，b]=m，则aq=km.

∵a|m、ak|km、ak|aq，∴k|q，

∵b|m、bk|km、bk|aq，∴bk|(q+d)·b，