第三章 第8节 正弦定理和余弦定理应用举例
第三章 第八节 正弦定理和余弦定理应用举例
1.一船自西向东航行，上午、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为 ( ) A.176
2
海里/时 B ．346海里/时 C.
172
2
海里/时 D ．342海里/时 解析：如图．由题意知∠MPN =75°+45°=120°，∠PNM =45°. 在△
PMN 中，由正弦定理，得 sin
120
sin 45
M N PM =
，
∴MN =68
2
又由M 到N 所用时间为14-10=4小时， ∴船的航行速度v =4
=(海里/时)．
答案：A
2．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
解析：如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°
，∠AMB ＝45°，在△AMB
中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°
，解得BM ＝30 2 km.
答案：
3．如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离， 在这一岸定一基线
CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°， ∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．
解：在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a . ① 在△BCD 中，由正弦定理可得 BC ＝
a sin105°sin45°＝3＋1
2
a .
②
在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°， 所以利用余弦定理可以求得A 、B 两点之间的距离为 AB ＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BC ·cos30°＝2
2
a .
4.12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是 ( ) A.
2063米 B ．106米 C.106
3
米 D ．202米 解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，
则∠ABO=45°，∠AOB=75°， ∴∠OAB=60°.
由正弦定理知，20sin 45
sin 60
AO =
，∴AO=
3
(米)．
答案：A
5．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 3 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．
解析：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=在三角形BPC 中，由余弦定理可得
cos2θ2
2
2
(+-(
=2
，所以2θ=30°，4θ=60°，在三角形PCD 中，
可得PD =PC ·sin4θ=102
=15(m)．
答案：15 m
6．某人在山顶观察地面上相距2 500 m 的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B 在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A 、B 与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)． 解：画出示意图(如图所示)
设山高PQ =h ，则△APQ 、△BPQ 均为直角三角形， 在图(1)中，∠PAQ =30°，∠PBQ =45°.
∴AQ =
tan 30
PQ =
，BQ =
tan 45
PQ
=h .
在图(2)中，
∠AQB =57°+78°=135°，AB =2 500， 所以由余弦定理得：
AB 2=AQ 2+BQ 2-2AQ ·BQ cos ∠AQB ，
即2 5002)2+h 2·h ·cos135°)h 2， ∴h =
984.4(m)．
答：山高约984.4 m.
7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于 ( ) A ．120° B ．105° C ．90° D ．75°
解析：∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3(3
2
sin C ＋1
2
cos C )， 即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0,180°)， ∴C ＝120°.
答案：A
8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c 新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．
而(a ＋x )2
＋(b ＋x )2
－(c ＋x )2
＝x 2
＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形． 答案：A
9.有一山坡，坡角为30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为 ( ) A ．300 m B ．400 m C ．200 m D ．200 3 m 解析：如图，AD 为山坡底线，AB 为行走路线，BC 垂直水平面． 则BC=100，∠BDC=30°，∠BAD=30°， ∴BD=200，AB=2BD=400 米． 答案：B
10．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B
行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．解析：如图所示：设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD =80t ，BE =50t .
因为AB =200，所以BD =200-80t ，
问题就是求DE 最小时t 的值．
由余弦定理：DE 2
=BD 2
+BE 2
-2BD ·BE cos60° =(200-80t )2+2500t 2-(200-80t )·50t =12900t 2-42000t+40000. 当t =
7043
时DE 最小．
答案：
7043
11．如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，
在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．
解：因为CP ∥OB ，所以∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∴∠OCP ＝120°.
在△POC 中，由正弦定理得
OP sin ∠PCO ＝CP sin θ，∴2sin120°＝CP sin θ，所以CP ＝4
3sin θ.
又
OC sin(60°－θ)＝2sin120°，∴OC ＝4
3
sin(60°－θ)．
因此△POC 的面积为
S (θ)＝12CP ·OC sin120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32
＝43sin θsin(60°－θ)＝
43sin θ(
32cos θ－1
2
sin θ) ＝2
3
[cos(2θ－60°)－1
2]，θ∈(0°，60°)．
所以当θ＝30°时，S (θ)取得最大值为
3
3
. 12．(2010·宁波模拟)某建筑的金属支架如图所示，根据要求
AB 至少长2.8 m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5 m ，∠BCD ＝60°，已知建造支架的材料每米 的价格一定，问怎样设计AB ，CD 的长，可使建造这个 支架的成本最低？
解：设BC ＝am (a ≥1.4)，CD ＝bm ，连接BD .
则在△CDB 中，(b －1
2)2＝b 2＋a 2－2ab cos60°.
∴b ＝a 2
－
14
a －1
.
∴b ＋2a ＝a 2－
14
a －1
＋2a .
设t ＝a －1，t ≥2.8
2
－1＝0.4，
则b ＋2a ＝(t ＋1)2－
1
4t ＋2(t ＋1)＝3t ＋3
4t ＋4≥7，
等号成立时t ＝0.5＞0.4，a ＝1.5，b ＝4.
答：当AB ＝3 m ，CD ＝4 m 时，建造这个支架的成本最低．
正余弦定理的综合应用
正余弦定理的综合应用教学设计 课题名称正余弦定理的综合应用 科目数学（高三）授课人耿向娜 一、教学内容分析 本节课为高三一轮复习中的解三角形部分的习题课。解三角形的知识在历年的高考中与三角函数向量等知识相结合，频繁出现在选择、填空和17题的位置，是学生们的重要得分点之一。本节课对2013年中出现的解三角形问题的分析解答，强化学生对解三角形的理解和巩固，同时消除他们对高考的畏惧感，提升其自信心。 二、教学目标 1、知识目标：熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、边角关系互化，同时熟练结合三角函数知识求相关函数的最值等。 2、能力目标：培养学生分析解决问题的能力，提高学生的化简计算能力 3、情感目标：让学生在直接面对高考真题的过程中，体会解决问题的快乐，提升他们的自信心，提高他们的备战能力！ 三、学情分析 我所任课的班级是高三22班是文科普通班，他们的数学基础整体上很薄弱，计算能力有待提高。通过三个多月的一轮复习，越来越多的学生对数学产生了兴趣，同时也品尝到数学成绩提高带来的喜悦，具有了一定的函数知识和解决问题的能力。 四、教学重点难点 重点正余弦定理的应用 难点公式的转化和计算
五、教法分析 本节课我利用多媒体辅助教学，采用的是教师引导下的学生自主探究式学习法。 六、教学过程 教学环节教学内容设计意图 一、基 础 知 识 回 顾回顾正弦定理：k C c B b A a = = = sin sin sin ; C k c B k b A k a sin , sin , sin= = = 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 三角形面积公式：A bc B ac C ab S sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = 通过对公式的 回顾，为本节 课解答问题提 供工具。 二、例 题 讲 解类型一：判定三角形形状 1、设在ABC ?中，若B b A a cos cos=,判定该三角形 的形状。 该题的设置目 的在于训练学 生对边角混合 式的转化。此 题可以边化 角，也可角化 边，让学生体 会正余弦定理 的应用和边角 转化的魅力。 形 直角三角形或等腰三角 或 法二：（角化边） 角形 为等腰三角形或直角三 ， 或 ） 解析：法一：（边化角 ? = = + ? = - - + ? - = - ? - + = - + ? - + = - + ? = + = + = ? = ? = b a c b a o b a c b a c b a b a b c a b a c b a ac b c a b bc a c b a B A B A B A B A B A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 . 2 2 2 2 sin 2 1 2 sin 2 1 sinBcos cos sin π π
1.2.2正弦、余弦定理应用
1.2.2解斜三角形 学习目的： 1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用； 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化； 3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 学习重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法 学习难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 课堂过程： 一、复习引入： 上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题， 要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决 二、讲解范例： 应用二：测量高度 例1 如图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点。设计一种测量建筑物高度AB 的方法 分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直接测量建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C 到建筑物的顶部A 的距离CA ，并测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长。 解：选择一条水平基线HG , 使H 、G 、B 三点在同一条直线上，由在H, G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为α，β，CD=a. 测角仪器的高为h, 那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： sin sin() a AC βαβ= - sin asin sin = sin(-) AB AE h AC h h ααβαβ=+=++ 例2 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′, 在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′ 。已知铁塔BC 部分的高为27.3m, 求出山高CD （精确到1m ） 分析：根据已知条件，应该设法计算出AB 或AC 的长 解：在△ABC 中, ∠BCA=90°+ β , ∠ABC=90°-α, , ∠BAC= α -β, ∠BAD=α. 根据正弦定理得： E D G H C A B A α β
正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)
正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2. 实际问题中的常用角 (侧角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平■视线和目标视线的火角，目标视线在水平■视线白勺角叫仰角，目标视线在水平■视线下方的角叫俯角(如图①). (2) 方向角：相对丁某正方向的水平■角，如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60等； (3) 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平■角，如B点的方位角为g如图②). (4) 坡度：坡面与水平■面所成的二面角的度数. 【助学微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1) 阅读理解题意，弄活问题的实际背景，明确已知与未知，理活量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (2汁艮据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3汁艮据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)#三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 解三角形应用题常有以下两种情形 (1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. (2) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有 时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 考点自测 1. (2012江苏金陵中学)已知^ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等丁 - 解析记三角形三边长为a-4, a, a+ 4,则(a + 4)2 = (a-4)2 + a2— 2a(a-4)cos 1 120，解得a= 10,故S= 2 X 10x 6X sin 120 = 15寸3. 答案15 3 2. 若海上有A, B, C三个小岛，测得A, B两岛相距10海里，/ BAC= 60°, / ABC= 75°,则B, C问的距离是__________ 渔里. ................................ BC AB - 解析由正弦正理，知sin 60° = sin 1800-60°-75°.解侍BC= 5V6(海里)? 答案5 6
正弦定理、余弦定理在生活中的应用
正弦定理、余弦定理在生活中的应用 正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程测量中的重要应用，使高考考查的热点和重点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参考. 一、在不可到达物体高度测量中的应用 例1 如图，在河的对岸有一电线铁塔AB ，某人在测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D ，现测得 BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶 A 的仰角为θ，求塔高A B ． 分析：本题是一个高度测量问题，在?BCD 中，先求 出CBD ∠，用正弦定理求出BC ，再在ABC Rt △中求出 塔高AB. 解析：在BCD △中，CBD ∠=παβ--． 由正弦定理得 sin BC BDC ∠=sin CD CBD ∠． 所以BC =sin sin CD BDC CBD ∠∠=sin sin()s βαβ+·． 在ABC Rt △中，AB =tan BC ACB ∠= tan sin sin()s θβαβ+·. 点评：对不可到达的物体的高度测量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高. 二、在测量不可到达的两点间距离中的应用 例2某工程队在修筑公路时，遇到一个小山 包，需要打一条隧道，设山两侧隧道口分别为A 、B ， 为了测得隧道的长度，在小山的一侧选取相距3km 的C 、D 两点高，测得∠ACB=750， ∠BCD=450 ， ∠ADC=300，∠ADC=450（A 、B 、C 、D ） ，试求隧道的长度. 分析：根据题意作出平面示意图，在四边形 ABCD 中，需要由已知条件求出AB 的长，由图可知，在?ACD 和?BCD 中，利用正弦定理可求得AC 与BC ，然后再在?ABC 中，由余弦定理求出AB. 解析：在?ACD 中，∵∠ADC=300，∠ACD=1200，∴∠CAD=300，∴AC=CD=3. 在?BCD 中，∠CBD==600 由正弦定理可得，BC=003sin 75sin 60=26)2 +
正弦定理和余弦定理
04—正弦定理和余弦定理 利用正弦定理解三角形 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况. [例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2 b ，且 a > b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π 6 (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6，则b ＝________. [解析] (1)利用正弦定理的变形，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 中，得2R sin A ·sin B cos C ＋2R sin C sin B cos A ＝12×2R sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6 . (2)在△ABC 中，∵sin B ＝12，0b .又a ＋c ＝2b ，所以c ＝a －8，所以a 大于c ，则A ＝120°. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)·(a －8)·????－12，所以a 2－18a ＋56＝0. 所以a ＝14或a ＝4(舍去)．故选B. (2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中得，a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋3 2 c ＝b ，化简 整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.[答案] (1)B (2)π 6 利用正、余弦定理解三角形 [例3] 设△ABC 1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ??? ?A ＋π 4的值． [解] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2 2ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－1 3 .因为0 正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学容解析 本课教学容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材容 本节容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学容的知识类型 在本课教学容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择 《普通髙中数学课程标准(2017年版)》强调基于核心素养的教学,特别重视 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b， 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ， 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???， 第二节应用举例 题型一 测量距离问题 A 、 B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C ，测出 AC 的距离是55m, 51=∠BAC , 75=∠ACB .求A 、B 两点间的距离（精 确到1.0m ）. 分析 所求的边AB 的对角是已知的，又已知三角形的一边AC ，根 据三角形内角和定理可计算出AC 的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB . 解答 根据正弦定理，得 ABC AC ACB AB ∠= ∠sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ∠∠= ∠∠=sin sin 55sin sin 76554 sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55?≈=--= (m) 点拨 本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决。 本题型的解题关键在于明确：（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决。（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化 A B C 为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。 衍生1★★ 如图所示，客轮以速度v 2由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度V 沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知BC AB ⊥，且50=-BC AB 海里。若两船同时启航出发，则两船相遇之处距C 点 海里。（结果精确到小数点后1位） 解析 AB DB 2< ∴两船相遇点在BC 上，可设为E ，设x CE =，则 V BE AB DE 22+= 故 V x x 45cos 2252)225(22??-+V x 2)50(50-+= 得 3 5000 2= x ，∴8.40≈x 答案 8.40 点拨 本题考查了测量距离问题。 衍生2★★★如图所示，B A ,两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量B A , 两点间距离的方法。 分析 可以先计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离， 再测 A B C D α β A γ δ 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形； 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用； 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识梳理 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可 以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦 定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab .正余弦定理的应用_三角形面积公式公开课一等奖
正弦定理与余弦定理地综合应用
正弦定理和余弦定理的应用
正弦定理和余弦定理详细讲解