广西南宁市银海三美学校2018-2019学年高二3月月考理科数学试题

南宁市银海三美学校高二下学期3月月考理科数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分，请把答案填到答题卡上）

1. 已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =（ ）

A. {0,2}

B. {1,2}

C. {0}

D.

{2,1,0,1,2}--

【答案】A 【解析】 【分析】

由交集定义计算．

【详解】根据集合交集中元素的特征，可得{0,2}A B ?=， 故选：A.

【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2. i （1+i ）=（ ） A. 1i -+ B. 1i -- C. 1i + D. 1i -

【答案】A 【解析】 【分析】

根据复数的乘法运算得到结果.

【详解】根据复数的乘法运算得到：原式i （1+i ）=i-1． 故选A ．

【点睛】这个题目考查了复数的乘法运算，题目简单基础.

3. 某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（ ） A. 32种 B. 9种 C. 12种 D. 20种

【答案】C 【解析】 【分析】

根据加法原理直接计算可得答案

【详解】从8名男生4名女生选取一名当组长，

是男生的选法有8种，是女生选法的有4种，共有12种.

【点睛】本题考查了加法原理，属于基础题.

4. 已知曲线2

2

14x y -=通过122x x y y

?=??

?='?'伸缩变换后得到的曲线方程为（ ） A. 2

2

14

y x -=

B. 22

1x y -=

C. 221164x y -=

D. 221416

x y -=

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意可得：212x x y y ''=???=??，代入方程22

14x y -=，整理即可得解

【详解】由伸缩变换1

22x x

y y

?=???='?'

可得：212x x y y '

'=???=??

，代入方程22

14x y -=，

可得：22

(2)1()142

x y ''-=，

所以所求曲线方程为2

2

14

y x -=，

故选：A .

【点睛】本题考查了伸缩变化，根据变换前后的关系代入是解此类问题的关键，属于基础题.

5. 已知直线l 的参数方程是()2

12

t 222

x t y t ?

=-??

?

?=+??

为参数，则直线l 的斜率为( ) A.

22

B. 22

-

C. 1

D. 1-

【答案】D 【解析】

由2

12

222x t y t ?

=-???

?=+??

（t 为参数）得212

{222

x t y t -=--=（t 为参数），将两式相加，得直线的普通方程3y x =-+，得到直线斜率为1-

【详解】根据题意，直线l 的参数方程是()2

12

t 222

x t y t ?

=-??

?

?=+??

为参数，其普通方程为()()y 2x 10-+-=，

即y x 3=-+，直线l 的斜率为1-； 故选D ．

【点睛】消去参数的方法一般有三种：

（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数 （2）利用三角恒等式消去参数

（3）根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数 6. 用数学归纳法证明1111(2321

n n n N ++++?+<∈-，且1)n >时，第一步应验证的不等式是（ ） A. 12< B. 1

122

+

< C. 11

1223

+

+< D. 1123

+

< 【答案】C 【解析】 【分析】

直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可. 【详解】解：用数学归纳法证明1111(2321

n n n N ++++?+<∈-，且1)n >时，时，第一步应验证不等式为：11

1223

++<. 故选：C .

【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证1n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误，属于基础题.

7. 椭圆的参数方程为53x cos y sin θ

θ=??=?

（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（ ）

A. ()4,0±

B. ()0,4±

C. ()5,0±

D. ()0,3±

【答案】A 【解析】

消去参数可得椭圆的标准方程22

1259

x y +=，所以椭圆的半焦距4c = ，两个焦点坐标为(40)±，

，故填(±4, 0).

8. 用反证法证明“已知22,,0x y R x y ∈+=，求证：0x y ==.”时，应假设( ) A. 0x y ≠≠

B. 0x y =≠

C. 0x ≠且0y ≠

D. 0x ≠或

0y ≠

【答案】D 【解析】

分析：根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论.

详解：根据反证法证明数学命题的方法， 应先假设要证命题的否定成立，

而0x y ==的否定为“,x y 不都为零”，故选D.

点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于简单题. 9. 已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A. –4 B. –2 C. 4 D. 2

【答案】D 【解析】

试题分析：()()()2

312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在

()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.

【考点】函数的导数与极值点

【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但

0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0

x x <

时，'()0

f x<，

x x

>时'()0

f x>，则

x是极小值点，如果

x x

<时，'()0

f x>，

x x

>时，'()0

f x<，则

x是极大值点.

10. 如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（）

A. 280

B. 180

C. 96

D. 60

【答案】B

【解析】

【分析】

按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论.

【详解】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；

第2步，B区域有4种颜色可选；

第3步，C区域有3种颜色可选；

第4步，D区域也有3种颜色可选.

由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案. 选选：B. 【点睛】本题主要考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分步是关键，属于基础题.

11. 已知(),

P x y是椭圆

3cos

sin

x

y

α

α

?=

?

?

=

??

（α为参数）上任意一点，则点P到340

x y

--=的距离的最大值为（）

A.

26

2

-

B.

4

2

6

+

C. 23

- D. 23

+

【答案】B

【解析】

分析】

设P的坐标为()

3cos sin

αα

，，利用点到直线的距离公式将距离表示为关于θ的三角函数，由三

角函数的性质即可得结果.

【详解】根据题意(),P x y 是椭圆3cos sin x y α

α

?=??=??（α为参数）上任意一点，

设P 的坐标为

(

)

3cos sin αα，，

则点P 到340x y --=的距离

()46sin 3cos 3sin 443sin cos 42213

d πααααα?

?+- ?--+-??=

==

+， 当sin 14πα?

?

-= ??

?

时，d 取得最大值42

6

+. 故选：B.

【点睛】本题主要考查参数方程的应用，注意点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

12. 椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C 于A ，B

两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） A.

12

B.

32

C.

13

D.

33

【答案】D 【解析】 【分析】

利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可.

【详解】椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，

过2F 垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，

可得23222b c a

=?

，所以：()

22

23ac a c =-， 即2 3230e e +-=，

∵()01e ∈，，解得3

3

e =

，

故选：D.

【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.

二、填空题（每小题5分，共20分，请把答案填到答题卡上）

13. 定积分1

x

e dx =?

______．

【答案】e 1- 【解析】 【分析】

直接利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分即可．

【详解】解：由定积分公式可得1

1

00

|1x x e dx e e ==-?

，

故答案为1e -．

【点睛】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于寻找被积函数的原函数，属于基础题． 14. 若以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点A 的极坐标

2,3π??

???

化成直角坐标为_________. 【答案】(1,3) 【解析】 【分析】

利用极坐标化直角坐标公式将点A 的极坐标化为直角坐标. 【详解】由题意可知，点A 的横坐标为12cos

213

2π

=?

=，纵坐标为32sin 2332

π=?=， 因此，点A 的直角坐标为()

1,3，故答案为()

1,3.

【点睛】本题考查点的极坐标化直角坐标，解题时要熟悉极坐标与直角坐标的互化公式，考查计算能力，属于基础题.

15. 复数z 满足43zi i =+（i 是虚数单位），则｜z ｜＝__. 【答案】5 【解析】 【分析】

首先根据复数的运算法则，得到4334i

z i i

+=

=-，之后利用复数模的公式求得结果. 【详解】因为43zi i =+，所以4334i

z i i

+==-，

所以9165z =+=， 故答案是：

5.

【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.

16. 已知抛物线的参数方程为2

44x t y t ?=?=?

（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛

物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________. 【答案】8 【解析】 【分析】

先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222

p p

AB x x =+++， 求得答案．

【详解】抛物线的参数方程为2

4t 4x y t

?=?=?，普通方程为2

4y x =，

抛物线焦点为()1,0 ，且直线l 斜率为1，

则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程2

4y x =得2610x x -+=，

设()()1122,,,A x y B x y ，所以126x x +=， 根据抛物线的定义可知|121262822

A p p

x x x x p B +++=++=+==， 故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得AB 值，从而解决问题.

三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明

过程或演算步骤）

17. 已知等差数列{}n a 中，1315a a ==，． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若等比数列{}n b 满足122123b a b a a a ==++，，求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n a n =-；（2）133

2

n n S ． 【解析】 【分析】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d =+-，由11a =，35a =可得512d =+，解

得2d =，求出n a . （2）设等比数列{}n b 的公比为1

1n n q b b q -=，有求出3q =，利用等比数列前n

项和公式，求出.n S

【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d =+- 由11a =，35a =可得512d =+，解得2d = 从而()11221n a n n =+-?=-. 即数列{}n a 的通项公式21n a n =-

（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则11n n b b q -=

由123b a ==，2123b a a a =++ 11359b q =++==， 解得3q =，

所以{}n b 的前n 项和公式(

)()2

1

113133

3113

2

n

n n b q S q

+---=

==--． 【点睛】本题考查的是等差数列与等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.

18. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知4a =，23

B π

=，sin 2sin b C B .

（1）求ABC 的面积. （2）求b 的值；

【答案】（1）23；（2）27.

【解析】 【分析】

（1）由正弦定理可得边的关系2bc b ，即2c =，再由三角形的面积公式即可得结果； （2）直接由余弦定理得结果. 【详解】（1）因为sin 2sin b C

B ，

所以由正弦定理得：2bc b ，即2c =， 所以113

sin 4223222

ABC S ac B =

=???=△ （2）由余弦定理得2

2

2

224224cos 283

b π

=+-??=. 所以27b =.

【点睛】本题主要考查由正弦定理得边的关系，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.

19. 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为12312x t y t ?=??

??=-??

（t 为参数）.在以坐标原点

O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方

程是22sin 4πρθ??

=+

???

. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 【答案】（1）310x y --=，2

2

(1)(1)2x y -+-=；（2）231+. 【解析】 【分析】

（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以

ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参

数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得 直线l 普通方程为310x y --=.

将曲线C 的极坐标方程化为2

22

22sin cos 22ρρθθ??=+ ? ???

.

即2

2sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.

故曲线C 的直角坐标方程为()()22

112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()2

2

112x y -+-=中，得

2

2

13

12222t t ????-+-= ? ? ?????

. 化简，得()

2

12330t t -++=.

∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2. 由根与系数的关系，得12231t t +=+，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,

1212231PA PB t t t t +=+=+=+.

【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可.

20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，

60BAD ∠=，2PD AD AB ===，4CD =，E 为PC 的中点．

()1证明：//BE 平面PAD ； ()2求二面角B PC D --的余弦值．

【答案】（1）见解析（2）6

4

【解析】

【分析】

()1设F 为PD 的中点，连接EF ，.FA 证明//EF CD ，推出四边形ABEF 为平行四边形，所以

//.BE AF 然后证明//BE 平面PAD ．

()2取AB 中点M ，连接DM ，证明DM CD ⊥，以DM 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建

立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，平面PCD 的一个法向量，设 二面角B PC D --的平面角为θ，利用空间向量的数量积求解即可 【详解】()1证明：设F 为PD 的中点，连接EF ，FA ．

因为EF 为PDC 的中位线，所以//EF CD ， 且1

22

EF CD =

=． 又//AB CD ，2AB =，所以//AB EF ，且AB EF = 故四边形ABEF 为平行四边形，所以//BE AF ．

又AF ?平面PAD ，BE ?平面PAD ，所以//BE 平面PAD

()2解：取AB 中点M ，连接DM

AD AB =，60DAB ∠=， ABD ∴为等边三角形

从而，中线DM AB ⊥，且 3DM =，

又//AB CD ，故D M CD ⊥ 如图所示，

以DM 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

2PD AD AB ===，4CD = (

)(

)

3,0,03,1,0M

B

∴，(0,C 4，0)，(0,P 0，2)

于是 ()

3,3,0BC =-，()

3,1,2BP =-- 设平面PBC 的一个法向量为(,n x =y ，)z

则 n BC ⊥，n BP ⊥，从而0n BC ?=，0n BP ?=

330320

x y x y z ?-+=?∴?--+=??，解得32x y z y ?=??=??

令1y =，得(

)

3,1,2n =

，且31422n =++=

易知，平面PCD 的一个法向量为(

)

3,0,0DM =，且3DM =

设 二面角B PC D --的平面角为θ， 则3006

cos 4

223

n DM n DM

θ?++=

=

=

??． 【点睛】本题考查空间向量的数量积求解二面角的平面角以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力． 21. 已知函数()(1)ln ()a

f x a x x a R x

=--

-∈． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在[]1,3上的最大值为2-，求实数a 的值. 【答案】（1）ln 23y =-；（2）1a =或a e =. 【解析】 【分析】

（1）代入2a =求出()y f x =在点(2,(2))f 处的导数值和函数值，进而求出切线方程； （2）首先求出()f x 的导数，再分类讨论a 的不同取值范围对应的()f x 在[]1,3上的最大值，进而求得符合题意得实数a 的值.

【详解】解：（1）当2a =时，2()ln f x x x x =-

-，'212

()1f x x x

=+-，(2)ln 23f =-，'(2)0f =，所以曲线在点(2,(2))f 处的切线方程为ln 23y =-.

（2）'

22

1(1)()

()1(13)a a x x a f x x x x x --+-=

+-=≤≤， 当1a ≤时，'

()0f x ≤，()f x 在[1]3，

上单调递减，所以(1)12,1f a a =--=-=； 当3a ≥时，'

()0f x ≥，()f x 在[1]3，

上单调递增，所以(3)(1)ln 3323

a

f a =---=-，所以ln 31

31ln 33

a +=

<-

，舍去； 当13a <<时，()f x 在[1,]a 上单调递增，在[3]a ，上单调递减，所以()(1)ln 12f a a a a =---=-，所以a e =.

综上，1a =或a e =.

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的切线方程、单调性、最值，考查运算求解能力，属于基础题型.

22. 已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的短轴长为2，且椭圆C 的离心率为2

2

.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过椭圆C 的上焦点作相互垂直的弦AB ，CD ，求11

||||AB CD +为定值. 【答案】（1）2212y x +=（2）

324

【解析】 【分析】

（1）由题意得到b,a ，即可得结果.

（2）通过分直线AB 、CD 中有一个斜率不存在与均存在两种情况讨论．当直线AB 、CD 中有一个斜率不存在时，通过计算可知|AB |＝22、|CD |＝2，进而可得结论；当直线AB 、CD 斜率均存在时，设直线AB 方程为：y ＝k （x 3-），则直线CD 方程为：y 1

k

=-

（x 3-），通过联立直线与椭圆方程、利用韦达定理、两点间距离公式计算可知|AB |(

)()22

2

2

4141144k k CD k k ++==

++，，进而计算可得结论．

【详解】（1）由题意可知22b =，1b =.又椭圆C 的离心率为

2

2

，则2a =，

故椭圆C 的方程为2

212

y x +=

（2）当直线AB 的斜率不存在或为零时，

11324

AB CD += 当直线AB 的斜率存在，且不为零时，设直线AB 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，

联立22

1,

12

y kx y x =+???+=??消去y ，整理得()222210k x kx ++-=， 则12222k x x k +=-

+，122

1

2

x x k =-+， 故()

2

2

121214AB k x x x x =+?

+- (

)222212

k k +=

+.

同理可得：(

)2222121

k CD k +=

+，

∴()

(

)

222211*********k k AB CD k k +++=+++ ()

()

2231324221

k k +==+ 【点睛】本题考查椭圆的方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力和计算能力，注意解题方法的积累，属于难题．