空间的平行直线

? 教学重点、难点：公理4及等角定理的运用．

? 教学过程：一、复习

平面的基本性质．二、新课讲解

公理4 平行于同一直线的两直线平行．推理模式：//,////a b b c a c ?．

说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；

（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；

（3）如果空间图形F 的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到F '的位置，则就说

图形F 作了一次平移．

顺次连结不共面的四点,,,A B C D 所组成的四边形叫空间四边形ABCD ，相对顶点的连线,AC BD 叫空间四边形的对角线．

例1．已知,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，

求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：连结,AC BD ，

∵,E F 是ABC ?的边,AB BC 上的中点， ∴//EF AC ，

同理，//HG AC ，∴//EF HG ，同理，//EH FG ，

所以，四边形EFGH 是平行四边形．

思考：立几中“两组对边分别平行”，“一组对边平行且相等”，

“两组对边都相等” 的四边形是否为平行四边形？为什么？

E H

例2．如图：A 是平面BCD 外的一点,G H 分别是,ABC ACD ??的重心，

求证：//GH BD ．

证明：连结,AG AH 分别交,BC CD 于,M N ，连结MN ，

∵,G H 分别是,ABC ACD ??的重心， ∴,M N 分别是,BC CD 的中点， ∴//MN BD ，

又∵23

AG AH AM AN ==，

∴//GH MN ，由公理4知//GH BD ．

定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．已知：BAC ∠和B A C '''∠的边//,//AB A B AC A C ''''，并且方向相同，求证：BAC B A C '''∠=∠．

证明：在BAC ∠和B A C '''∠的两边分别截取,AD A D AE A E ''''==，

∵//,AD A D AD A D ''''=， ∴A D DA ''是平行四边形， ∴//,AA DD AA DD ''''=，同理//,AA EE AA EE ''''=， ∴//,EE DD EE DD ''''=，即D E ED ''是平行四边形，

∴ED E D ''=，∴ADE A D E '''???，所以，BAC B A C '''∠=∠．

三、课堂练习

判断下列命题是否正确：

（1）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等；

（2）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线所成的锐角（或直角）

相等；

（3）向量与11B A ，与11C A 是两组方向相同的共线向量，那么111BAC B AC ∠=∠．

〖解〗本题要借助作图帮助理解，正确答案为（2）（3）．

B '

C '

E '

D ' E

A '

四、本课小结

1．公理4的作用是证明两直线平行． 2．注意等角定理的条件和结论．

3．在同一平面内平几中成立的结论都能运用．

五、作业补充

1．长方体ABCD A B C D ''''-中，求证：AD A C BC '''∠=∠．

2．已知空间四边形ABCD 中，,,E F G 分别是,,AB AD BC 的中点，,M N 为对角线

,AC BD 的中点，若EFM θ∠=，求DNG ∠．

空间点到直线的距离公式

空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法，请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。第 1 页共 1 页

空间直线异面直线间距离的一个简明公式

异面直线间距离的一个简明公式本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用. 定理如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离 d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ y x y x l +++ 证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG . 则∠DEF =θ，且（DG ）min =d . 设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ. 在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x . ∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x . 图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则 MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ- 在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-= 所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=?中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ ?-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得 )4/()4()(2min 2a b ac GD -=

空间直线和平面总结知识结构图+例题

【同步教育信息】一. 本周教学内容：期中复习［知识串讲］空间直线和平面：（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥ 线面∥ 面面∥ 公理 4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ //,//I I ==???? a b a b 面面平行判定1 a b a b a //,//???? ??ααα 面面平行性质 a b a b A a b ??=????? ?ααββαβ ,//,////I 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ?I 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为在内射影则线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化：线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：（三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

空间直线与平面的位置关系(夹角)

§14.3空间直线与平面的位置关系（夹角）【知识解读】 1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 3、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 4、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面． 7、线面角--直线l与其在平面上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角

F E D C B A 【例题讲解】例1、简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？（2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？例2、已知：空间四边形A B C D 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面．例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证MN ∥平面BCE _ C _ B

B M H S C A A 例4、在正方体中,棱长为a .求：(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角；(2)直线1DB 与面1111D C B A ；例5、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。例6、如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且 a AB EA 2==，a DC =，F 、G 分别为EB 和AB 的中点.（1）求证：FD ∥平面ABC ；（2）求证：AF ⊥BD ； 1111D C B A ABCD -

新必修二 8.5空间直线、平面的平行(教案+练习)

8.5空间直线、平面的平行【学习目标】 1.掌握直线与平面平行的判定定理； 2.掌握两平面平行的判定定理； 3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．【要点梳理】要点一、直线与直线平行基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：//a b ，////b c a c ?. 基本事实4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 要点二、直线和平面平行的判定判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行. 图形语言：符号语言：a α?、b α?，//a b //a α?. 要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件： ①直线a 在平面α外，即a α?； ②直线b 在平面α内，即b α?； ③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．（2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点三、直线和平面平行的性质定理定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行. 符号语言：若//a α，a β?，b αβ=I ，则//a b . 图形语言：要点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α， αβ?，，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行

高考数学专题8.5空间直线平面的平行第一课时解析版

专题8.5 空间直线、平面的平行（第一课时）运用一概念的辨析【例1】(1)b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出bα的是（） A．b与α内的一条直线不相交 B．b与α内的两条直线不相交 C．b与α内的无数条直线不相交 D．b与α内的所有直线不相交 (2)（2019·运城市景胜中学高二月考（文））直线l是平面α外的一条直线，下列条件中可推出//lα的是（） A．l与α内的一条直线不相交B．l与α内的两条直线不相交 C．l与α内的无数条直线不相交D．l与α内的任意一条直线不相交【答案】(1)D(2)D 【解析】(1)b是平面α外的一条直线，要使bα，则b与平面α无公共点，即b与α内的所有直线不相交.故选D ?、l与α相交以及//lα都有可能，A选项不(2)对于选项A，l与平面α内的一条直线不相交，则直线lα

正确；对于B 选项，l 与α内的两条直线不相交，则直线l α?、l 与α相交以及//l α都有可能，B 选项不正确；对于C 选项，若l 与α内的无数条平行直线平行时，则l α?或//l α，C 选项不正确；对于D 选项，//l α，根据直线与平面平行的定义，可知直线l 与平面α内的任意一条直线都不相交，D 选项正确.故选：D. 【举一反三】 1．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个说法： (1)若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；(2)若m ∥α，n ∥α，m ，n ?β，则α∥β； (3)若m ∥n ，n ?α，则m ∥α；(4)若α∥β，m ?α，则m ∥β. 其中正确说法的个数为________个. 【答案】1 【解析】说法(1)中，m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故(1)错；说法(2)中，由面面平行的判定定理，当m 与n 相交时，可得α∥β，故(2)错；说法(3)中，由线面平行的判定定理，当m 在α外时，可得m ∥α，故(3)错；说法(4)中，由面面平行的性质知，(4)正确，即正确说法只有一个,故填1. 2．（2019·辽宁高考模拟（文））下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中,l m 为直线，,αβ为平面），则此条件是__________. ①____l m m α?????l α?；②____m l m α?????? l α?；③____l m m α⊥? ? ⊥???l α? 【答案】l α? 【解析】①//l m ，////m l αα?或l α?，由//l l αα??/； ②l α?/，m α?，////l m l α?； ③l m ⊥，//m l αα⊥?或l α?，由//l l αα???/．故答案为：l α?/．

空间直线(一)平行直线

空间直线(一)---平行直线教学目标： 1．了解空间两直线的三种位置关系----平行、相交、异面 2．掌握公理4，并能熟练应用其判别空间的两直线平行 3．理解并掌握等角定理及推论，并能运用它们教学重点：两直线的位置关系及公理4，等角定理教学难点：同上教学方法：探究法教具：模具教学过程一、复习引入： 1．平面的特征？ 2．平面的基本性质及其作用？ 3．今天来研究两直线的位置关系，回忆初中学习过的两直线的位置关系有哪些？二、新授： 1．空间两直线的位置关系： ①相交：两直线有且仅有一个公共点，则该两直线是相交直线 ②平行：在同一平面内，若两直线没有公共点，则该两直线为平行直线 ③异面：不同在任何一个平面的两直线称为异面直线 2．空间两直线位置关系的分类： ①据是否共面分：????????相交直线共面:平行直线异面:异面直线 ②据是否有公共点来分：???????? 有一个公共点:相交直线平行直线无公共点:异面直线 ex:如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线AB 与BC 是_____直线，直线AB 与A 1B 1是___直线，直线AB 与CC 1是____直线 3．平行直线：公理4：同平行于同一条直线的两直线是平行的符号表示：,a b a c a b c b c ????即注：1.公理4又称为平行公理. 2．公理4是证明平行的重要工具. 4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 证：略. 注：证明的过程采用类比的方法 .

5．推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 注：对于平面图形得出的结论，有些可以推广到立体图形中，例如上面的定理和推论，但是并非关于平面图形成立的结论，对于立体图形仍然适用，所以必须证明。三、例题选讲：例1．已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，证明四边形EFGH 是平行四边形. 证明：连结BD 、AC ， ∵E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴EF ∥AC,GH ∥AC,EH ∥BD,FG ∥BD 由于公理4，∴EF ∥GH ，EH ∥FG ∴四边形EFGH 是平行四边形. 申1：已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且满足23 CF CG CB CD ==，求证：四边形EFGH 有一组对边平行但不相等. 证：略. 申2：上题中若改为，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且满足12 AE AH EB HD ==，2CF CG FB GD ==，①求证：EFGH 是梯形.②若BD=a ，求梯形EFGH 的中位线的长. 申3：若把上题中改为，已知空间四边形ABCD ，AB=BC ，CD=DA ，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，试研究四边形MNPQ 是什么样的特殊四边形申4：若上题中AC=BD 呢？申5：若AC=BD ，且AC ⊥BD 呢？例2．求证：过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行. 例3．如图所示，两个三角形ABC 和DEF 的对应顶点的连线AD 、BE 、CF 交于点O ， O 在平面ABC 和平面DEF 之间，且23 AO BO CO OD OD OF ===， (1)求证：AB ∥DE ，BC ∥EF ，CA ∥FD (2)求ABC DEF S S ??的值四、练习：课本P 11 五、小结：本节主要学习了两直线的位置关系，与平行公理注意平行公理的应用与等角定理及其推论的应用. 六、板书设计： D

人教A版(2019)数学必修(第二册)：8.5 空间直线、平面的平行教案

空间直线、平面的平行【第一课时】直线与直线平行【教学目标】 1．理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题 2．理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题【教学重难点】 1．基本事实4 2．等角定理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．基本事实4的内容是什么？ 2．定理的内容是什么？二、基础知识 1．基本事实4 （1）平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．（2）符号表示： ? ?? a ∥ b b ∥ c ?a ∥c . 2．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．名师点拨定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．三、新知探究基本事实4的应用例1：如图，E ，F 分别是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，C 1C 的中点．求

证：四边形B 1EDF 为平行四边形．【证明】如图所示，取DD 1的中点Q ，连接EQ ，QC 1. 因为E 是AA 1的中点，所以EQ ═∥A 1D 1. 因为在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1═∥B 1C 1，所以EQ ═∥B 1C 1，所以四边形EQC 1B 1为平行四边形，所以B 1E ═∥C 1Q . 又Q ，F 分别是D 1D ，C 1C 的中点，所以QD ═∥C 1F ，所以四边形DQC 1F 为平行四边形，所以C 1Q ═∥FD . 又B 1E ═∥C 1Q ，所以B 1E ═∥FD ，故四边形B 1EDF 为平行四边形． [规律方法] 证明空间中两条直线平行的方法（1）利用平面几何的知识（三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等）来证明．（2）利用基本事实4即找到一条直线c ，使得a ∥c ，同时b ∥c ，由基本事实4得到a ∥b . 定理的应用例2：如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1， B 1， C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1 OC . 求证：△A 1B 1C 1∽△ABC . 【证明】在△OAB 中，因为OA 1OA ＝OB 1 OB ，所以A 1B 1∥AB . 同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .

空间的平行直线与异面直线——基础知识

空间的平行直线与异面直线 1、空间两直线的位置关系。相交直线——有且只有一个公共点。平行直线——在同一平面内，没有公共点。异面直线——不在任何．．一个平面内，没有公共点。 2、平行直线。 ①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性） ②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 ③等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角．．(．或直．．角．)．相等。 ※判定直线平行的方法： ①定义法。 ②运用公理4。 ③如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 ④垂直于同一平面的两直线平行（两直线不重合．．．．．．）。 ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行。 ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。 ⑦利用平行四边形的性质。 ⑧利用中位线或线段成比例。 3、空间四边形：定义：顺次连接．．．．不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形。相对顶点的连线AC 、BD 为空间四边形的对角线。 4、异面直线的画法。必须以平面为依托．．．．．．、避免产生歧义。 a b 5、异面直线判定定理。连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,, A B l B l ααα ?∈???AB与l是异面直线 A

※证明方法： ①反证法证明的主要三步是：否定结论→ 推导出矛盾→ 结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 ※在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。 ②定义法：根据定义不在任何一个平面内。 ③判定定理法：由判定定理的推理模式推导即可。 6、异面直线所成角。定义：对于两条异面直线a.b，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ※形补法！具体见《绿色通道》P21 ※注意！！ ②异面直线所成角与O ③为了简便，点O通常取在异面直线的一条上。 ④异面直线所成的角的范围： ] 2 ,0( 7、求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。（3）利用空间向量法，建系求解。 8、异面直线的距离。公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线 ※两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。两条异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度。（两条异面直线的公垂线有且只有一条．．．．．，且是连结两条异面直线上两点的线段中最短．．的一条）

《8.5 空间直线、平面的平行》直线与直线平行公开课优秀教案教学设计(高中必修第二册)

【新教材】8.5.1 直线与直线平行（人教A版）直线与直线平行是所有平行关系的基础，在初中已经学过平行四边形，中位线与底边等平行关系，本节教材重点介绍了平面的基本事实4,等角定理，对平面中直线与直线的平行关系进一步深化.也为后续线面平行、面面平行打下基础. 课程目标 1.正确理解基本事实4和等角定理； 2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题. 数学学科素养 1.直观想象：基本事实4及等角定理的理解； 2.逻辑推理：基本事实4及等角定理的应用. 重点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题. 难点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？举例说明. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本133-135页，思考并完成以下问题 1、平行于同一条直线的两条直线有什么关系？

2、空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究 1.平行线的传递性基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示:a∥b,b∥c?a∥c. 2.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 四、典例分析、举一反三题型一基本事实4的应用例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线， BD. 所以EH∥BD，且EH=1 2 BD. 同理，FG∥BD，且FG=1 2 所以EH∥FG，且EH=FG. 所以四边形EFGH为平行四边形. 解题技巧（证明两直线平行的常用方法） (1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边; (2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点; (3)利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行. 跟踪训练一 1、如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.

立体几何空间距离问题

空间距离问题 (专注高三数学辅导:QQ1550869062) 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角（2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离 ●案例探究

［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE a a a a a a a a a a a a EF a a a a a ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得. 错解分析：本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1 的距离，这主要是对异面

空间中的平行关系

空间中的平行关系一.【课标要求】 1.平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ?公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ?公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； ?公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线; ?公理4:平行于同一条直线的两条直线平行； ?定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2?空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：?平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ?一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： ?一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；?两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ?垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题二.【命题走向】立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。预测2019年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： (1)考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题； (2)在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主三.【要点精讲】 1 .平面概述 (1)平面的两个特征：①无限延展②平的(没有厚度) (2 )平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 (3 )平面的表示：用一个小写的希腊字母：?、1、等表示，如平面:-、平面1 ;用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。 2 .三公理三推论：公理1:若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内： A I , B I ,A^ * 》I 一

空间的平行直线与异面直线(二)

课题：空间的平行直线与异面直线(二) 教学目的： 1. 掌握两异面直线的公垂线和距离的概念； 2. 掌握两异面直线所成角及距离的求法． 3. 能求出一些较特殊的异面直线的距离教学重点：两异面直线的公垂线及距离的概念. 教学难点：两异面直线所成角及距离的求法. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任．何．一个平面内，没有公共点； 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 b a a b a b D 1 C 1B 1A 1 D C B A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线 7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把 b ′O b a

,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求二、讲解新课：两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条三、讲解范例：例1 设图中的正方体的棱长为a （1）图中哪些棱所在的直线与直线BA 1成异面直线？（2）求直线BA 1和CC 1所成的角的大小．（3）求异面直线BC 和AA 1的距离．解：（l ）∵A 1不在平面BC 1，而点B 和直线CC 1都在平面BC 1内，且B ?CC 1. ∴直线BA 1与CC 1是异面直线．同理，直线C 1D 1、D 1D 、DC 、AD 、B 1C 1都和直线BA 1成异面直线．（2）∵CC 1∥BB 1 ∴BA 1和BB 1所成的锐角就是BA 1和CC 1所成的角． ∵∠A 1BB 1=45°， ∴BA 1和CC 1所成的角是45°．（3）∵AB ⊥AA 1，AB ∩AA 1=A ，又∵AB ⊥BC ，AB ∩BC=B ， ∴AB 是BC 和AA 1的公垂线段． ∵AB=a ， ∴BC 和AA 1的距离是a ．说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要 A C 1C A

空间的平行直线教案20

空间的平行直线 1 D A B B ' C ' E ' D ' E A ' C 一．课题：空间的平行直线二．教学目标：1.掌握公理4及等角定理，能熟练运用公理4证明两直线平行； 2.了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立。三．教学重点、难点：公理4及等角定理的运用。四．教学过程：（一）复习：平面的基本性质．（二）新课讲解：公理4 平行于同一直线的两直线平行．推理模式：//,////a b b c a c ?．说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；（3）如果空间图形F 的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到F '的位置，则就说图形F 作了一次平移。顺次连结不共面的四点,,,A B C D 所组成的四边形叫空间四边形ABCD ，相对顶点的连线,AC BD 叫空间四边形的对角线。例1．已知,,,E F G H 分别是空间四边形四,,,AB BC CD DA 的中点，求证四边形EFGH 是平行四边形。证明：连结,AC BD ，∵,E F 是ABC ?的边,AB BC 上的中点， ∴//EF AC ，同理，//HG AC ，∴//EF HG ，同理，//EH FG ，所以，四边形EFGH 是平行四边形。思考：立几中“两组对边分别平行”，“两组对边都相等” 的四边形是否为平行四边形？为什么？例2．如图：A 是平面BCD 外的一点,G H 分别是,ABC ACD ??的重心，求证：//GH BD ．证明：连结,AG AH 分别交,BC CD 于,M N ，连结MN ， ∵,G H 分别是,ABC ACD ??的重心，∴,M N 分别是,BC CD 的中点， ∴//MN BD ，又∵2 3 AG AH AM AN ==，∴//GH MN ，由公理4知//GH BD ．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。已知：BAC ∠和B A C '''∠的边//,//AB A B AC A C ''''，并且方向相同，求证：BAC B A C '''∠=∠．证明：在BAC ∠和B A C '''∠的两边分别截取,AD A D AE A E ''''==， ∵//,AD A D AD A D ''''=，∴A D DA ''是平行四边形， ∴//,AA DD AA DD ''''=，同理//,AA EE AA EE ''''=， ∴//,EE DD EE DD ''''=，即D E ED ''是平行四边形， ∴ED E D ''=，∴ADE A D E '''???，所以，BAC B A C '''∠=∠．【练习】判断下列命题是否正确：（1）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等；（2）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线所成的锐角（或直角）相等；（3）向量AB 与11B A ，与11C A 是两组方向相同的共线向量，那么 111BAC B AC ∠=∠．〖解〗本题要借助作图帮助理解，正确答案为（2）（3）．五．课堂练习：课本第11页练习1，2，3题。六．小结：1．公理4的作用是证明两直线平行；2．注意等角定理的条件和结论； 3．在同一平面内平几中成立的结论都能运用。七．作业：P14习题9.2第3、4题补充：1．长方体ABCD A B C D ''''-中，求证：AD A C BC '''∠=∠． 2．已知空间四边形ABCD 中，,,E F G 分别是,,AB AD BC 的中点，,M N 为对角线,AC BD 的中点，若EFM θ∠=，求DNG ∠．

空间平行直线

§1.2.2 空间两条直线的位置关系（一） ¤预习目标：1．了解两条直线的三种位置关系；2．了解等角定理；3．通过与平面几何知识的类比，直观感知公理4，并能运用平行公理证明线线平行． ¤预习内容：． 1．空间的两条直线有以下位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点；（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．需要注意的是：（1）相交直线和平行直线统称为共面直线，而异面直线是不共面直线；（2）本书中，如无特殊说明，“两条直线”指不重合的两条直线，“两个平面”指不重合的两个平面． 2．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．公理4也叫平行公理，它所表述的性质又叫做空间平行线的传递性，即已知直线a 、b 、c 且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；实际上这也给出了空间两条直线平行的一种证明方法．公理4的重要作用是应用它证明等角定理及其推论，为下一步研究异面直线所成的角打基础． 3．证明空间两条直线平行的方法：一是利用定义，其需证两件事：（1）两直线在同一平面内；（2）两直线没有公共点．二是利用平行公理． 4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．等角定理实际上是初中平面几何中等角定理的类比推广：在平面几何中，如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两角相等或互补． 5．等角定理的推论：如果两条相交直线和另外的两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等． ¤预习反馈：【例1】下列几个平面几何命题是否成立？这几个命题在空间是否成立？如果在空间成立，试加以说明；如果不成立请举反例．（1）不相交的两条直线一定平行；（2）平行于同一直线的两条直线一定平行；（3）垂直于同一直线的两直线一定平行；（3）一条直线垂直于两条平行直线中的一条，也必垂直于另一条．解：以上四个平面几何命题均真，在空间只有（2）（4）成立．命题（2）、（4）是教科书中的公理、定理．命题（1）不成立，如在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与B 1C 1；命题（3）不成立，如AA 1⊥A 1B 1，B 1C 1⊥A 1B 1，但A 1A 不平行于B 1C 1．【例2】如图，在长方体木块的面A 1C 1上有一点P ，怎样过点P 画一条直线和棱CD 平行？解：在平面A 1C 1中，过P 作C 1D 1的平行线即可．【例3】如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别是AB ，BC 的中点，求证：EF ∥A 1C 1．解：连结AC ．在△ABC 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF ∥AC ．又因为AA 1∥BB 1且AA 1 = BB 1，BB 1∥CC 1且BB 1 = CC 1，所以AA 1∥CC 1且AA 1 = CC 1，从而四边形AA 1C 1C 是平行四边形，所以AC ∥A 1C 1．从而EF ∥A 1C 1．【例4】如图，已知E ，E 1分别为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AD ，A 1D 1的中点，求证：∠C 1E 1B 1 = ∠CEB ．解：连结EE 1．因为E 1，E 分别是A 1D 1，AD 的中点，所以A 1E 1∥AE 且A 1E 1 = AE ．故四边形A 1E 1EA 是平行四边形，从而A 1A ∥E 1E 且A 1A = E 1E ．又因为A 1A ∥B 1B 且A 1A = B 1B ，所以E 1E ∥B 1B 且E 1E = B 1B ，故四边形EE 1B 1B 是平行四边形．于是E 1B 1∥EB ，同理E 1C 1∥EC ．又因为∠C 1E 1B 1与∠CEB 两边的方向相同．所以∠C 1E 1B 1 = ∠CEB ． A B C D A 1 B 1 1 D 1 （例1图） A 1 （例2图） A C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F （例3图） A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 （例4图） E E 1

9.2.1空间中的平行直线

甘孜藏族自治州职业技术学校电子教案专业名称：学前教育课程名称：数学任课教师：何小波授课班级：2018级旅游班授课时间：2019-2020学年第2学期甘孜藏族自治州职业技术学校教务处制甘孜藏族自治州职业技术学校教学设计

课程名称：《数学》授课次序： 1 任课老师：何小波教研组长签字：课题名称 9.2.1空间中的平行直线授课类型理论课教学时数1学时（40分钟）授课时间第周星期第节第周星期第节第周星期第节第周星期第节备注授课班级 2018级旅游班教学目标1. 掌握平行线的基本性质，了解空间四边形的定义． 2. 了解空间中图形平移的定义，理解空间中图形平移的性质． 3. 渗透数形结合思想，渗透由平面到空间的转换思想，培养学生观察分析、空间想象的能力．教学内容与教材9.2.1空间中的平行直线平行线的基本性质空间四边形空间中图形平移的性质教学设备多媒体、课件教学重点平行线的基本性质．教学难点空间中图形平移的性质．方法手段这节课主要采用实物演示法．教师通过实物或模型演示，帮助学生理解平行线的性质，以及空间四边形的概念，培养学生的空间想象能力．通过证明题，向学生渗透将立体问题转化为平面问题来解决的思想．

教学过程教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、导入新课（5分钟） 1．平行线的定义． 2．平面几何中的平行公理． 3．平行线的传递性． 4．空间中的直线是否也具有类似的平行公理、平行线的传递性呢？师：在平面几何中，平行线的定义是什么？师：这个定义在立体几何中不变．但需特别注意“在同一平面内”．过直线外一点有几条直线和这条直线平行？师：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线是否互相平行？师：这是平面中平行直线的传递性．提出新问题，引出空间中的平行直线．生：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．生：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．生：是．复习旧知，引出新知，由平面推广到空间，激发学习新知识的兴趣．二、新知学习（30分钟）学习新知： 1．平行线的基本性质平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．空间平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行．即如果直线a // b，c // b，则a // c．如下图所示．师：这条性质同样也可推广到空间，作为空间中平行直线的基本性质．教师出示长方体模型，或以教室中的实物为例，让学生理解空间平行线的传递性．学生刚开始学习立体几何，空间想象能力较差，教师尽可能利用模型