几何五大模型
一、等积变换模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等；
⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图S :S =a :b
反之，如果S = S ，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
二、鸟头定理（共角定理）模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图，在△ABC 中， D ,E 分别是AB , AC 上的点（如图 1）或D 在BA 的延长线上， E 在AC 上（如 图 2），则S △ABC :S △ADE =（AB AC ）:（AD AE ）
五大模型
其它常见的面积相等的情况
⑶夹在一组平行线之间的等积变形，
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：
①S1:S2 =S4:S3或者S 1S3 =S2
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S :S =a2:b2
②S : S : S : S = a2:b2:ab: ab；
③梯形S的对应份数为(a + b)2。
四、相似模型
AD AE DE AF
① ===；
AB AC BC AG
② S
△ADE : S
△ABC
= AF :AG。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大
小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
S△ABG : S△AGC = S△BGE : S△EGC = BE:EC S△BGA : S△BGC = S△AGF : S△FGC = AF:FC
S△AGC : S△BCG = S△ADG : S△DGB = AD:DB
典型例题精讲
1 一个长方形分成4 个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15 倍，黄色三角形的面积是
21 平方厘米。问：长方形的面积是___________ 平方厘米。
如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，且AD＝2DE。则两块地ACF和CFB的面积比是
举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？
举一反三图
拓展】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？
拓展图
如图，将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1 ，那么三角形DEF的面积是
拓展】如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD＝AB,延长BC至E，使CE = 1BC，F是AC的中点，
若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O，若△AOM、△ABO 和
△BON的面积分别是3、2、1，则△MNC的面积是__________ 。
秒杀题】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且AO＝2，DO＝3, 那么CO的长度是DO的长度的____________ 倍。
例5 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形ABCD 的面积。
如右图长方形ABCD中，EF＝16，F＝9，求AG的长。
铺垫】图中四边形ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？
如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH＝5cm，HF＝3cm，求AG。
如右图，三角形ABC中，BD∶DC＝4∶9，CE∶EA＝4∶3，求AF∶FB。
例8图拓展】如图，三角形ABC的面积是1，BD＝DE＝EC，CF＝FG＝GA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9 部分的面积各是多少?
拓展图
例9 如右图，△ ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2 平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？
如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE＝2BE，CF＝2DF，连接BF，DE，相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积为S
1 ，正方形PCNG的面积为S
2 ，则S 1 ：S 2 ＝ ___ 。