二次含参问题---经典

不等式恒成立、存在性问题（一元二次不等式）

一、知识、方法回顾

（一）一元二次不等式

1．定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为_____的不等式叫一元二次不等式．

法一：符号法则

其它情况类比分析，结论如下：

()0__________()f x g x

f x

g x ≥?；()

0_________()f x g x ≤?．法二：化分式不等式为整式不等式分式不等式

()

0()

f x

g x >，由符号法则可知，()()f x g x 、同号，从而()()0f x g x ?>，其它情况类比分析，结论如下：

()

0()()0()

f x f x

g x g x >??>； ()0________()f x g x

0___________()f x g x f x g x ?≥?≥???；__________()0__________()f x g x ?≤???

．（三）典型例题

例1、解下列不等式：

（1）2

27210x x ≤-+<；（2）2

||60x x +-≤；

（3）

2317x x -<+；（4）1

01x x

<-< 练习1.关于x 的不等式02

<+-c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞βα ，其中0<<βα，则

不等式02

>++a bx cx 解集为．

2.若不等式220ax bx ++>的解集为11(,)23

-，则a b +的值为_____________． 3.若不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立，则实数k 的范围为__________． 4.设1)1()(2

++-=x a ax x f （1）解关于x 的不等式()0f x >；

（2）若对任意的]1,1[-∈a ，不等式()0f x >恒成立，求x 的取值范围. 二、含参不等式解法（一元二次不等式） 1.二次项系数为常数

例1解关于x 的不等式：.0)2(2

>+-+a x a x 2.二次项系数含参数

例2解关于x 的不等式：.01)1(2

<++-x a ax 例3解关于x 的不等式：.012<-+ax ax 练习：1.解关于x 的不等式

（1）033)1(2

2>++-ax x a （2）2

110x a x a ??

+< ???

；（3）2

(21)20()ax a x a -++>∈R ；（4）(2)4

a x x +-≤-（其中0a >）.

2. 设1)1()(2

++-=x a ax x f （1）解关于x 的不等式()0f x >；

（2）若对任意的]1,1[-∈a ，不等式()0f x >恒成立，求x 的取值范围.

三、不等式的恒成立问题

例1.已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ，求实数a 的取值范围。小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：

（1）若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x

（2）若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >?的上界小于B 。

练习 1.已知()22x x a

f x x

++=对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立，试求实数a 的取值

范围。 2、分离参数法

（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()()

max

g f x λ≥ (或()()

min

g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

练习1. 已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

2. 已知二次函数x ax x f +=2

)(，若[]1,0∈x 时，恒有1)(≤x f ，求a 的取值范围。

3、数形结合法

（1）若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；

（2）若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方。例3. 设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=

)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.

练习1. 当)2

1,0(∈x 时，不等式x x a log 2

<恒成立，求a 的取值范围．

4、变换主元法

例对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342

-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围。

练习1. 对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2

>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。 2.设函数b x x a x h ++=

)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4

[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围。练习题

1.当()1,2x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围__________

2.当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2

3. 若不等式2

3log 0a x x -<在10,3x ??∈ ???

内恒成立，求实数a 的取值范围是

4．设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。 5. 不等式()24420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围。 6. R 上的函数()f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,

2πθ?

∈ ??

时，有()

()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->恒成立，求实数m 的取值范围。若对于任意1a ≤，

7.已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24f x x ax =-+（1a ≥），

()1

x g x x =

+．（1）求函数()y f x =的最小值()m a ；（2）若对任意1x 、2[0,2]x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围．

四、不等式的存在性问题

若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立，则等价于在区间D 上()

max

f x k >；

若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立，则等价于在区间D 上的()min f x k <．例1.若关于x 的不等式2

3x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．

2.已知函数()f x x m =-，函数()()m m x f x x g 72

-+?=．

（1）若1=m ，求不等式()0≥x g 的解集；

（2）若对任意(]4,1∞-∈x ,均存在[)23,x ∈+∞,使得()()21x g x f >成立，求实数m 的取值范围．

练习1.若存在正数x 使2()1x

x a -<成立，则a 的取值范围是（） A ．(,)-∞+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0,)+∞ D ．(1,)-+∞

2. 设a ∈R ，二次函数2

()22.f x a x x a =--若()0f x >的解集为A ，

{}|13,B x x A B =<<≠?，求实数a 的取值范围。

五、二次方程根的分布

1 .因为二次函数，二次方程，二次不等式之间有着密切的联系，它们之间相互转化，二次方

程的根转化为方程中的系数满足不等式，而二次不等式的问题又可转化为二次函数问题；

2 .一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图像性质问题，它应用上的广泛性和灵活性是高考的热点。根据初中所学知识，已知方程的根可以确定方程中字母系数的值，同理已知方程根的范围也可以确定方程中字母系数的范围，对于一元二次方程可结合图像，函数与方程根的关系，将问题转化为解关于字母系数的不等式组的问题。

3 方法指南：

设实系数的一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两个根为ac b x x 4,,2

21-=?，设

)0()(2≠++=a c bx ax x f 。

1、方程有两个正根???

??>>+>??0002121x x x x

2、方程有两个负根???

??><+>??0002

121x x x x

3、方程有两个符号相反的根???<>??00

1x x