一次函数(正比例函数)的图像与性质

s

t

O A.．

s

t

O B ．

s

t

O C ．

s

t

O D ．

一次函数（正比例函数）的图像与性质

一、选择题

A 组

1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y =

2

x

的图像，则关于x 的不等式kx+b ＞

2

x

的解为( ) 【根据习题改编】 A ． x ＞1 B ． -2＜x ＜1 C ． -2＜x ＜0或x ＞1 D ． x ＜-2 答案：C

2、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如下图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）【根据习题改编】

答案：A

3、（2011年北京四中四模）函数y=－x 的图象与函数y=x ＋1的图象的交点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：B

4、（2011北京四中模拟7）在函数y x =

-1

1

中，自变量x 的取值范围是（ ） A. x>1 B. x ≥1 C. x<1 D. x ≤1 答案 A

5、（2011北京四中模拟7）对于正比例函数y mx =，当x 增大时，y 随x 增大而增大，则m 的取值范围是（ ）

A. m<0

B. m ≤0

C. m>0

D. m ≥0 答案 C

6.（2011年浙江省杭州市高桥初中中考数学模拟试卷）函数，一次函数和正比例函数之间的包

含关系是（ ）

第1题

答案：C

7．（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图，直线

b kx y +=交坐标轴于A （—3，0）、B （0，5）两点，则不等式0<--b kx 的解集为

（ ） A ．3->x

B ．3-

C ．3>x

D ．3

答案：A

8、（2011年（浙江省杭州市模拟）如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（22，2-） C.（－21，－2

1） D.（－22，－22）

答案：D

9、(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．．．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：3

55

d x =-

（05x ≤≤），则结论：①2AF =；②5BF =；③5OA =；④3OB =中，正确结论

的序号是（ ）

A 、①③④

B 、 ①③

C 、 ①②③

D 、 ①②③④

答案：C

O

A

B

y

y

x

O

B

A

（第8题） y O

A

F B P

（第9题）

图7 10、(2011山西阳泉盂县月考)如图，直线y=kx+b 交坐标轴于两点，则

不等式kx+b ＜0的解集是（ ）

A 、x ＞—2

B 、x ＞3

C 、x ＜—2

D 、x ＜3

【答案】C

11、(2011浙江杭州模拟15)如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，

圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）

【答案】A

12、 (2011浙江杭州模拟15)下列语句叙述正确的有（ ）个

①横坐标与纵坐标互为相反数的点在直线y= －x 上，②直线y= －x+2不经过第三象限，

③除了用有序实数对，我们也可以用方向和距离来确定物体的位置，④若点P 的坐标为（a ，b ），且ab=0，则P 点是坐标原点，⑤函数x

y 3

-=中y 的值随x 的增大而增大。⑥已知点P （x ，y ）在函数x x y -+=2

1

的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的第二象限。

A. 2

B.3

C.4

D.5 【答案】C

13、（2011年北京四中中考模拟19）下列各式中，能表示y 是x 的函数关系式是（ ）

A 、y=x x -+-12

B 、y=

x

3

C 、y=

x x

2

1- D 、y=x ± s

t

O A s

t

O B

s

t

O C

s

t O D

图4

第10题图

第11题图

答案 B

14、（2011杭州模拟25）设0＜k ＜2，关于x 的一次函数2(1)y kx x =+-，当1≤x ≤2时

的最大值是（ ）（原创）

（A ）22k - （B ）1k - （C ）k （D ）1k + 答案：C

15 （2011年北京四中中考全真模拟16）在函数y=3x-2, y=12 -x, y =1+3x 2 , y=2x

5 中，y

随x 的增加而增加的有( )

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 答案：C

16、（2011年浙江杭州三模）函数，一次函数和正比例函数之间的包含关系是（ ）

答案：A

17、（2011年浙江杭州八模）如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A 的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h 与铁块被提起的时间t 之间的函数关系的大致图象是 ( )

答案：B

12、（2011年浙江杭州五模）已知整数x 满足1205,2,25x y x y x ≤≤=+=-+，对任意

一个12,,x y y 中的较大值用m 表示，则m 的最小值是（ ）

A 、3

B 、5

C 、7

D 、2 答案：A B 组

1、（2011年广东省澄海实验学校模拟）函数m x y +=与)0

(≠

=m

x

m

y 在同一坐标系内的图象可以是( ) 答案：B

2、（2011深圳市三模）某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休

息0.5小时后，用1小时爬上山顶。游客爬山所用时间t 与山高h 间的函数关系用图形表示是（ ）

A B C D

答案：D

3、（2011深圳市模四）在同一直角坐标系中，函数y=kx+k ，与y=x

k

-（k 0≠）的图像大致为（ ）

第2题图 第1题图

O

x

y

A ． O

x y

B

O

x

y

C.

O

x

y

D.

答案：B

4、（2011年北京四中33模）强强每天从家去学校上学行走的路程为900m ，某天他从家去上学时以每分30m 的速度行走了450m ，为了不迟到他加快了速度，以每分45m 的速度行走完剩下的路程，那么强强行走过的路程s(m )与他行走的时间t(min)之间的函数关系用图象表示正确的是（ ） 答案D

5、（2011年浙江杭州27模）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽

中（如图），然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则能反映弹簧秤的

读数y （单位：N ）与铁块被提起的高度x （单位：cm ）之间的函数关系的图象大致是 （ ） 答案C

6、（2011北京四中一模）如果一定电阻R 两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安，那么通过这一电阻的电流I 随它两端电压U 变化的图像是( )

答案： D

第3

题图

Ｏ

y

x Ｏ

y

x Ｏ

y

x

Ｏ

y

x

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

7、为液态，整个过程温度不断上升,没有一定的熔化温度，如图所示，四个图象中表示蜡溶

化的是( )

（

A

）（B）（C）（D）

答案：C

8、（2011年杭州市模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，

90

C

∠=o，6cm

CD=，2

AD=cm，动点,P Q同时从点B出

发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿BC运动

到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A

时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为(s)

t，BPQ

△的

面积为y2

(cm)．则能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是

A． B． C． D．答案：B

9、（2011年黄冈浠水模拟1）从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q（p≠q），

构成函数

1

2

y px

=-和2y x q

=+，使两个函数图象的交点在直线x=2的左侧，则这样的有序数组（p,q）共有（）.

A.4组

B.5组

C.6组

D.不确定

答案：B

t/分

T/℃

t/分

T/℃

t/分

T/℃T/℃

t/分

P

Q

A D

C

B

第8题

二、填空题 1．（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期初三数学期中试卷）已知一次函数y =－2x +p （p 为常数）的图象一次平移后经过点A （－1，y 1）、B （－2，y 2），则y 1 y 2．（填“＞”、“＜”、“＝”） 答案：＜

2．（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期初三数学期中试卷）函数 y = 13x －2

的自变量x 的取值范围是____ __．

答案：x ≠2

3

3．（2011年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题）如图，已知A 1，A 2，A 3，…，A n

是x 轴上的点，且OA 1= A 1A 2= A 2 A 3=…= A n A n+1=1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n+1

作x 轴的垂线交一次函数1

2

y x =

的图象于点B 1，B 2，B 3，…，B n+1，连结A 1 B 2，B 1 A 2，A 2 B 3，B 2 A 3，…，A n B n+1，B n A n+1依次产生交点P 1，P 2，P 3，…，P n ，则P n 的坐标是 ．

答案：2, 2142n n n n n n ??

++ ?++??

4．（2011年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题）若一次函数2y x k =+-的图像在y 轴上的截距是5，则k = ． 答案：7

5．（2011年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题）在直线1y x =+上且位于x 轴上方的所有点，它们的横坐标的取值范围是 ． 答案：1x >-

2

1y = x x

6、（2011年北京四中模拟28）若一次函数(12)y k x k =-+的图像经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是 ． 答案：0＜k ＜

1

2

7、(2011浙江杭州模拟14)老师给出一个y 关于x 的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y 随x 的增大而减小；丁：当x<2时y>0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数______________. 【答案】14. 答案不唯一.例如：2

(2)1y x =-+

8、（2011杭州模拟）如图，直线y =2x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。过B 点作直线

BP 与x 轴交于点P ，且使OP =2OA ，则△ABP 的面积为 ▲ 。

答案：927

44

或

（写出一个得2分） 9 （2011年兴华公学九下第一次月考）写出一个经过点(1,1)的一次函数解析式__________________________．

答案：答案不确定

10. （2011年北京四中中考全真模拟15）如不等式mx+n<0的解集是x>4，点（1，n ）在双曲线y=2

x

上，那么函数y=(n-1)x+m 的图像不通过第_________象限。 答案：一

11. （2011年北京四中中考全真模拟17）函数b ax y +=的图像如图所示，则y 随 x 的增大而

答案：减小

（第1题图）

12. （2011浙江杭州模拟7）一次函数

1y kx b

=+与

2y x a

=+的图象如图，则下列结论

①0k <；②0a >；③当3x <时，12

y y <；④方程kx+b=x+a 的解是x=3中正确的是_______ .

（填写序号） 答案: ①④

13、（2011年浙江杭州六模）如图，直线y kx b

=+经

过

(21)A ，， (12)B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为 ．

答案：

14、（2011年浙江杭州七模）一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论

①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <；④方程kx+b=x+a 的解是x=3中正确的是 .

（填写序号）

答案： ①④

15、（2011年浙江杭州八模）已知正整数a 满足不等式组

2

32-≤+≥a x a x （x 为未知数）无

解，则函数4

1

)3(2

---=x x a y 图象与x 轴的坐标为 答案：11(,0)(,0)24

-

16.(2011浙江省杭州市8模).已知正整数a 满足不等式组

2

32-≤+≥a x a x （x 为未知数）无解，

则函数41)3(2

-

--=x x a y 图象与x 轴的坐标为 . 11

(,0)(,0)24

- 17. (2011浙江省杭州市10模)已知函数y 1=2x-5，y 2= -2x +15，如果y 1＜y 2 ，则x 的取值范围是_____. 答案:x<5

18、（2011年黄冈浠水模拟1）如图，l 1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l 2

反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公

y

x

O

A

B 第1题

第18题

2000 4000 6000

1 2 3

4

O

l 1 l 2 x

司赢利(收入大于成本)时，销售量必须____________． 答案：＞4

三、解答题

1. （2011年江苏盐都中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上，点B 在第象限，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转至△OA ′B ′，使点B 的对应点B ′落在y 轴的正半轴上，已知OB=2，?=∠30B OA (1)求点B 和点A ′的坐标；

(2)求经过点B 和点B ′的直线所对应的一次函数解析式，并判断点A 是否在直线BB ′上。

解：(1)在△OAB 中，

∵?=∠90OAB ，?=∠30B OA ，∴AB=OB ·130sin 2B OA sin =??=∠ OA= OB ·330cos 2BOA cos =??=∠

∴点B 的坐标为(3，1)

过点A ′作A ′D 垂直于y 轴，垂足为D 。 在Rt △OD A ′中 DA ′=OA ′·2

330sin 3A DO sin =

??='∠， OD=OA ′·2

330cos 3A DO cos =

??=

'∠ ∴A ′点的坐标为(23，2

3

)

(2)点B 的坐标为(3，1)，点B ′的坐标为(0，2)，设所求的解析式为b kx y +=,则

??

?==+2

b 1b k 3 解得2b =，33k -

=，∴2x 3

3

y +-

=

O

当23x =

时，23

223332x 33=+?-=+-

∴A ′(

23，2

3

)在直线BB ′上。 2. （2011年兴华公学九下第一次月考）如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与

x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．

（1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；

（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得

ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．

写出点P 的坐标．

答案：解：（1）由33y x =-+，令0y =，得330x -+=．1x ∴=．(1

0)D ∴，．-------2分

（2）设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：4x =，0y =；3x =，3

2

y =-

． 4033.2k b k b +=??∴?+=-??，326.k b ?

=?∴??=-?，

∴直线2

l 的解析表达式为362y x =-．----------------------5分 （3）由333

6.2

y x y x =-+??

?=-??，

解得23.x y =??=-?，(23)C ∴-，．-------------------------------------------6分 3AD =Q ，19

3322

ADC S ∴=??-=△．-------------------------------------------------------7分

（4）(63)P ，

．

3. （2011年北京四中中考全真模拟17）已知:反比例函数x

k

y =

和一次函数12-=x y ，其中一次函数的图像经过点（k,5）. （1） 试求反比例函数的解析式；

（2） 若点A 在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A 点的坐标。 答案：解：（1） 因为一次函数12-=x y 的图像经过点（k,5） 所以有 5＝2k-1 解得 k ＝3 所以反比例函数的解析式为y=3

x

（2）由题意得：??

??

?-==123x y x y 解这个方程组得：?????==223y x 或???-=-=31y x 因为点A 在第一象限，则x>0 y>0，所以点A 的坐标为（2

3

，2）

4、(2011浙江杭州模拟14)在如图所示的直角坐标系中，O 为原点，直线y =－1

2x +m 与x 轴、y

轴分别交于A 、B 两点，且点B 的坐标为（0，8）.（1）求m 的值；（2）设直线OP 与线段AB 相交于P 点，且S △AOP S △BOP = 1

3，试求点P 的坐标.

【答案】解：(1) m=8 ……………………………2分 (2) ???

?

?38,332 ……………………………4分

5、(2011浙江杭州模拟15)如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB 的顶点O 、A 、

B 均 在格点上，且O 是直角坐标系的原点，点A 在x 轴上．

（1）将△OAB 放大，使得放大后的△11B OA 与△OAB 对应线段的比为2∶1，画出△11B OA ．（所画△11B OA 与△OAB 在原点两侧）． （2）求出线段11B A 所在直线的函数关系式．

【答案】解：（1）图略 （2分）

（2）由题意得： 1A （4，0），1B （2，-4） （2分） 设线段11B A 所在直线的函数关系式为)0(≠+=k b kx y

则4024x b k b +=??+=-?， 解得28k b =??=-?

，

∴函数关系式为 82-=x y （2分）

6、（6分）(2011山西阳泉盂县月考)有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其

它均相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k ，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b 。 ①写出k 为负数的概率；

②求一次函数y=kx+b 的图像经过第二、三、四象限的概率。（用画树状图或列表法求解）

7、（10分）(2011山西阳泉盂县月考)如图所示，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=x

m

的图象交于

点A （－2，－5），C （5，n ）交y 轴于点B ，交x 轴于点D 。 （1）求反比例函数y=

x

m

和一次函数y=kx+b 的表达式。 （2）连结OA 、OC ，求△AOC 的面积。

（1）反比例函数的表达式为y=x

10

，一次函数的表达式为y=x －3.

(2)S △AOC=2

21

8.(2011.河北廊坊安次区一模）如图11，正比例函数2y x =的图像与一次函数b kx y +=的图像交于点A(ｍ，2)， 一次函数图像经过点B (2- , 1)-与y 轴的交点为C 与x 轴的交点为D ．

（1）求一次函数解析式； （2）求C 点的坐标； （3）求△AOD 的面积。

解：（1）由题意，把(A m ，2)代入2y x =中，得m =1 ∴(1A ，2)

将(1A ，2)、B (2- , 1)-代入y kx b =+中得

221k b k b +=??

-+=-? ∴1

1k b =??=?

∴一次函数解析式为：1y x =+

（2）C （0，1） （3）在1y x =+中，当y =0时，x =－1 ∴OD =1

∴S △AOD 1

1212

=

??= 9、（2011年浙江杭州二模）已知正比例函数x a y )3(1+=（a ＜0）与反比例函数x

a y 32-=的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为4． （1）求这两个函数的解析式；

（2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）； （3）利用图像直接写出当x 取何值时，21y y >．

第7题图

答案：（1） ∵交点纵坐标为4，∴?

?

?=-=+x a x a 434

)3(，解得5,521=-=a a （舍去） ∴正比例函数：x y 2-=反比例函数：

y 8

= （2）

（3）当202<<- 10、 （2011年浙江省杭州市模2）已知正比例函数x a y )3

(1+=（a ＜0）与反比例函数

x

a y 3

2-=

的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为4． （1）求这两个函数的解析式；

（2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）； （3）利用图像直接写出当x 取何值时，21y y >．

答案：（1） ∵交点纵坐标为4，∴?

?

?=-=+x a x a 434

)3(，解得5,521=-=a a （舍去）

∴正比例函数：x y 2-=反比例函数：x

y 8

-= （2）

（3）当202<<-

时，21y y >

11、（浙江杭州进化2011一模）在如图所示的直角坐标系中，O 为原点，直线y=－1

2x+m 与x

轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且点B 的坐标为（0，8）.（1）求m 的值；（2）设直线OP 与线段AB 相交于P 点，

…… 2′

…… 2′

…… 2′

且S △AOP S

△BOP = 13，试求点P 的坐标. 答案：

解：(1) m=8

(2) ??

?

??38,332

12、（河南新乡2011模拟）如图，已知一次函数

1y x m

=+（m 为常数）的图象与反比例

函数

2k

y x =

（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点 A （1，3）．

（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值

12

y y ≥的自变量x 的取值范围．

解：（1）由题意，得31m =+， 解得2m =，所以一次函数的解析式为

12

y x =+．

由题意，得

31k

=

，

解得3k =，所以反比例函数的解析式为

23y x =

． 由题意，得

3

2x x +=

，解得1213x x ==-，． 当

23

x =-时，

121

y y ==-，所以交点(31)B --，

． （2）由图象可知，当30x -<≤或1x ≥时，

y

O 1-

1- 1 3 1

A （1，3）

B

函数值12

y y ≥．

13、（河南新乡2011模拟）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C

＝3

4

． （1）求B ′ 点的坐标；

（2）求折痕CE 所在直线的解析式．

答案：解：（1）在Rt △B ′OC 中，tan ∠OB ′C ＝

4

3

，OC ＝9， ∴ 934OB =

'．

解得OB ′＝12，即点B ′ 的坐标为（12，0）．

（2）将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上的B ′ 点，CE 为折痕， ∴ △CBE ≌△CB ′E ，故BE ＝B ′E ，CB ′＝CB ＝OA ．

由勾股定理，得 CB 22OB OC '+15．

设AE ＝a ，则EB ′＝EB ＝9－a ，A B′＝AO －OB′＝15－12=3． 由勾股定理，得 a2+32＝(9－a)2，解得a ＝4． ∴点E 的坐标为（15，4），点C 的坐标为（0，9）．

设直线CE 的解析式为y ＝kx+b ，根据题意，得 9,

415.b k b =??

=+?

解得9,1.3b k =??

?=-??

∴CE 所在直线的解析式为 y ＝－3

1 x+9．