解析几何中设而不求专题练习(含参考答案)
解析几何中设而不求专题练习(含参考答案)
解析几何中设而不求专题练习
设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？
一、利用曲线与方程的关系：
1. 已知两圆2
2
1
:210240C x y x y +-+-=，222
:2280
C
x y x y +++-=，求
两圆的公共弦方程及弦长。
解：两圆方程相减，得240x y -+=，两圆的交点坐标均
满足此方程，故此方程即为公共弦所在直线方程。又圆2
C
的圆心2
(1,1)C --到公共弦的距离12455d -++==，且2
2
2
2
2
l d r ??
+= ???
（l 为公共弦长），2222
25
l r d ∴=-=5
注：其中求公共弦的方程时即用到了设而不求思想。 2. 过圆外一点P （a ，b ）引圆2
22
r y x =+的两条切线，
求经过两个切点的直线方程。
解：设两个切点分别为P 1（11
y x ，），P 2（2
2
y x ，），则切线方程为：21
1PP r by ax :1
=+l ，2
2
2PP r by ax :2
=+l 。 可见P 1（11y x ，），P 2（2
2y x ，）都满足方程2
r by ax =+，由直线方程的定义得：2
r by ax =+，即为经过两个切点的直线方程。
二、利用圆锥曲线的定义：
1. 已知椭圆
212
2F F 19
y 25x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，
3
PF F 21π
=
∠，求2
1PF F S
?。
1. 解析：由题意知点P 为椭圆上一点，根据椭圆的
注：通过将P 、Q 的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减。这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ 的斜率和中点坐标，是实现设而不求的关键。
四、利用韦达定理：
1. 已知椭圆C 1的方程为
14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦
点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线C 2的方程；
（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有
两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6
解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12
2
2
2
=-b
y a x ，则.1,3142
2222==+=-=b c b a a 得再由
故C 2的方程为.132
2
=-y x
（II ）将
.
0428)41(14
22222
=+++=++=kx x k y x kx y 得代入
由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得 ,0)14(16)41(16)28(2
2
2
2
1
>-=+-=?k k k 即 .4
12
>k ① 0
926)31(13
22222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.
由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得
.
13
1
.
0)1(36)31(36)26(,0312222222
<≠?????>-=-+-=?≠-k k k k k k 且即
)
2)(2(,66319
,3126),,(),,(2
2+++=+<+
A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x k x x k k x x y x B y x A 而得由则设
.1
37
32
31262319)1(2
)(2)1(2
22
222-+=+-?+--?
+=++++=k k k k
k k k x x k x x k B A B A
.
0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得
.
3
1151322<>k k 或 ③
由①、②、③得 .115
13
31412
2
<<< 13 ()33,21()21,33()1513,1(Y Y Y --- - 2. 已知平面上一定点C （4，0）和一定直线P x l ,1:=为该平面上一动点，作l PQ ⊥，垂足为Q ，且0)2)(2(=-+→ --→ --→ --→ --PQ PC PQ PC . （1）问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程； （2）设直线1:+=kx y l 与（1）中的曲线交于不同的两点A 、B ，是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过点D （0，－2）？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由. 解：（1）设P 的坐标为),(y x ，由0)2()2(=-?+得 0||4||22=-（2分） ∴（,0)1(4)42 22=--+-x y x （4分） 化简得.112 42 2=-y x ∴P 点在双曲线上，其方程为 .112 42 2=-y x （6分） （2）设A 、B 点的坐标分别为),(1 1 y x 、),(2 2 y x ， 由 ?????=- +=112 412 2 y x kx y 得,0132)3(22=---kx x k （7分） 2 2 1221313 ,32k x x k k x x --=-=+∴，（8分） ∵AB 与双曲线交于两点，∴△>0，即, 0)13)(3(4422 >---k k 解得. 2 13213<<-k （9分） ∵若以AB 为直径的圆过D （0，－2），则AD ⊥BD ，∴1-=?BD AD k k ， 即1222 2 1 1 -=+?+x y x y ，（10分） ∴1 2 12 1 2 12 (2)(2)0(3)(3)0, y y x x kx kx x x +++=?+++= ∴)12.(09323)313 )(1(09)(3)1(2 2 2 2 1 2 12 分=+-?+- -+?=++++k k k k k x x k x x k 解得)2 13,213(414,872 -∈±=∴= k k ，故满足题意的k 值存在，且k 值为4 14±. 五、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求 1. 抛物线20x y +=与过点(0,1)M -的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 斜率之和是1，求直线l 的方程。 解：设点1 1 (,)A x y ，点2 2(,) B x y ，直线l 的方程为1y kx =-， 则2 221211221212 22 x x y y x x k x x x x -+ -+===---，由已知条件， 1 OA OB k k +=. 1212 1y y x x ∴+=，又 22 12 12,22 x x y y =-=- ，则1 2 122x x --=，即1 2 1 2 x x +-=， 于是1k =是直线l 的斜率，直线l 的方程为1y x =-. 2.已知点P （3，4）为圆C ：64y x 2 2 =+内一点，圆周上有两动点A 、B ，当∠APB=90°时，以AP 、BP 为邻边，作矩形APBQ ，求顶点Q 的轨迹方程。 解析：设A （1 1 y x ，），B （2 2 y x ，），Q （x ，y ） 由题意得： 64 y x 2 121=+ ① 64 y x 2222=+ ② 3x x x 21+=+ ③ 4 y y y 21+=+ ④ 13 x 4 y 3x 4y 2211-=--?--，即y 4x 3y y x x 212 1 +=+。 ⑤ 22④③+2 2221221)4y ()3x ()y y ()x x (+++=+++ 将①②⑤代入上式并整理得103 y x 22 =+，即为点Q 的 轨迹方程。 注：本题的目标是找到x 、y 所满足的方程，而逐步 消去无关的2 2 1 1 y x y x 、、、则是解答问题的关键。 补充练习： 1、设1 F 、2 F 分别是椭圆 22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求2 1 PF PF ?的最大 值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,52 1 F F c b a -=∴===