2012年中考数学分类解析(159套63专题)专题50_圆与圆的位置关系
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）
专题50：圆与圆的位置关系
一、选择题
1. （2012上海市4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是【】
A．外离B．相切C．相交D．内含
【答案】D。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，6﹣2=4，4＞3，即两圆圆心距离小于两圆半径之差，
∴这两个圆的位置关系是内含。故选D。
2. （2012浙江杭州3分）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是【】
A．内含B．内切C．外切D．外离
【答案】B。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm．则d=6﹣2=4。
∴两圆内切。故选B。
3. （2012浙江宁波3分）如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是【】
A ．b=
a B ．2
C ．2
D ．
【答案】D 。
【考点】圆锥的计算。
【分析】∵半圆的直径为a ，∴半圆的弧长为
a
2π
。
∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面， ∴设小圆的半径为r ，则：2r=
a 2
π
π，解得：1r=
a 4
如图小圆的圆心为B ，半圆的圆心为C ，作BA⊥CA 于A 点， 则由勾股定理，得：AC 2+AB 2=BC 2，
即：2
2
2
1a a +b =a+a 2422
4πππ
π??????- ? ? ???????，整理得：。故选D 。
4. （2012浙江温州4分）已知⊙O 1与⊙O 2外切，O 1O 2=8cm ，⊙O 1的半径为5cm ，则⊙O 2的半径是【 】
A. 13cm.
B. 8cm
C. 6cm
D. 3cm 【答案】D 。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
因此，根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8－5=3（cm ）。
故选D 。
5. （2012江苏常州2分）已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【 】
A.外离
B.内切
C.相交
D.内含 【答案】B 。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵两半径之差7－3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。故选B。
6. （2012江苏宿迁3分）若⊙O
1，⊙O
2
的半径是r
1
=2, r
2
=4，圆心距d=5，则这两个圆的位
置关系是【】
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
【答案】B。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵r
1＋r
2
=6，r
2
－r
1
=2，d=5，∴r
2
－r
1
＜d r
1
＋r
2
。∴这两个圆的位置关系是相交。
故选B。
7. （2012江苏扬州3分）已知⊙O
1、⊙O
2
的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，
则⊙O
1与⊙O
2
的位置关系是【】
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
【答案】A。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵3+5=8，即两圆圆心距离等于两圆半径之和，∴两圆外切。故选A。
8. （2012福建福州4分）⊙O
1和⊙O
2
的半径分别是3cm和4cm，如果O
1
O
2
＝7cm，则这两圆
的位置关系是【】
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离【答案】C。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵ ⊙O
1、⊙O
2
的半径分别是3cm、4cm，O
1
O
2
＝7cm，
又∵ 3＋4＝7，∴⊙O
1和⊙O
2
的位置关系是外切。故选C。
9. （2012湖南常德3分）若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为【】
A. 外切
B. 内切
C. 外离
D. 相交
【答案】C。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
∵2+4=6＜7，即两圆半径之和小于圆心距，∴两圆外离。故选C。
10. （2012四川南充3分）如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1.点⊙P（a,0），⊙P 的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为【】
（A）3 （B）1 （C）1，3 （D）±1，±3
【答案】D。
【考点】两圆的位置关系，平移的性质。
【分析】⊙P与⊙O相切时，有内切和外切两种情况：
∵⊙O 的圆心在原点，当⊙P与⊙O外切时，圆心距为1+2=3，
当⊙P与⊙O第内切时，圆心距为2-1=1，
当⊙P与⊙O第一次外切和内切时，⊙P圆心在x轴的正半轴上，
∴⊙P（3,0）或（1,0）。∴a=3或1。
当⊙P与⊙O第二次外切和内切时，⊙P圆心在x轴的负半轴上，
∴⊙P（-3,0）或（-1,0）。∴a =-3或-1 。故选D。
11. （2012四川成都3分）已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是【】
A． 8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【答案】D。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵两圆外切，圆心距为5cm，若一个圆的半径是3cm，∴另一个圆的半径=5﹣3=2（cm）。故选D。
12. （2012四川乐山3分）⊙O
1的半径为3厘米，⊙O
2
的半径为2厘米，圆心距O
1
O
2
=5厘
米，这两圆的位置关系是【】
A．内含B．内切C．相交D．外切
【答案】D。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵⊙O
1的半径r=3，⊙O
2
的半径r=2，∴3+2=5。
∵两圆的圆心距为O
1O
2
=5，∴两圆的位置关系是外切。故选D。
13. （2012四川巴中3分）已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的
范围是【】
A. 0 B. 1 C. 0 D. 0≤d<2 【答案】D。 【考点】圆与圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， 由题意知，两圆内含，则0≤d＜3－1。故选D。 14. （2012辽宁营口3分）圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为【】 (A)1 (B)3 (C)1或2 (D)1或3 【答案】 D。 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，两圆相切可能外切或内切。 当两圆外切时，另一个圆的半径为1（1＋1＝2）； 当两圆内切时，另一个圆的半径为3（3－1＝2）。 故选D。 15. （2012贵州毕节3分）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会 旗图案有五个圆环组成，下图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在 ．．．的位置关系是【】 A外离 B内切 C外切 D相交 【答案】B。 【考点】圆与圆的位置关系。 【分析】观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交。因此它们的 位置关系有外切、外离、相交。故选B。 16. （2012贵州黔南4分）已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆的半径是【】 A．16厘米 B．10厘米 C．6厘米 D．4厘米 【答案】D。 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，由两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米可得另一圆的半径为10－6=4（厘米）。故选D。 17. （2012山东德州3分）如果两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是【】 A．内含 B．外离 C．相交 D．外切 【答案】D。 【考点】圆与圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，∴4+6=10。∴这两圆的位置关系是外切。故选D。 18. （2012山东青岛3分）已知⊙O 1与⊙O 2 的半径分别为4和6，O 1 O 2 ＝2，则⊙O 1 与⊙O 2 的 位置关系是【】 A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】A。 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。 ∵⊙O 1与⊙O 2 的半径分别是4和6，O 1 O 2 =2，∴O 1 O 2 =6－4=2。 ∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是内切。故选A 。 19. （2012山东烟台3分）如图，⊙O 1，⊙O，⊙O 2的半径均为2cm ，⊙O 3，⊙O 4的半径均为1cm ，⊙O 与其他4个圆均相外切，图形既关于O 1O 2所在直线对称，又关于O 3O 4所在直线对称，则四边形O 1O 4O 2O 3的面积为【 】 A ．12cm 2 B ．24cm 2 C ．36cm 2 D ．48cm 2 【答案】 B 。 【考点】相切两圆的性质，菱形的判定与性质。 【分析】连接O 1O 2，O 3O 4，由于图形既关于O 1O 2所在直线对称，又因为关于O 3O 4所在直线对称，故O 1O 2⊥O 3O 4，O 、O 1、O 2共线，O 、O 3、O 4共线，所以四边形O 1O 4O 2O 3的面积为 12 O 1O 2×O 3O 4。 ∵⊙O 1，⊙O，⊙O 2的半径均为2cm ，⊙O 3，⊙O 4的半径均为1cm ∴⊙O 的直径为4 cm ，⊙O 3的直径为2 cm 。∴O 1O 2=2×8=8 cm，O 3O 4=4+2=6 cm ， ∴S 四边形O1O4O2O3= 12 O 1O 2×O 3O 4= 12 ×8×6=24cm 2。故选B 。 20. （2012广西北海3分）已知两圆的半径分别是3和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为：【 】 A ．外离 B ．相交 C ．内切 D ．外切 【答案】C 。 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， ∵两圆半径之差为1，等于圆心距，∴两圆的位置关系为内切。故选C 。 21. （2012广西桂林3分）已知两圆半径为5cm 和3cm ，圆心距为3cm ，则两圆的位置关系是【 】 A ．相交 B ．内含 C ．内切 D ．外切 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵两圆半径之差2cm＜圆心距3cm＜两圆半径之和8cm，∴两圆的位置关系是相交。故选A。 22. （2012广西柳州3分）定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是2cm，动圆在直线l上移 动，当两圆相 切时，OP的值是【】 A．2cm或6cm B．2cm C．4cm D．6cm 【答案】A。 【考点】相切两圆的性质。 【分析】设定圆O的半径为R=4cm，动圆P的半径为r=2cm，分两种情况考虑：当两圆外切时，圆心距OP=R+r=4+2=6cm；当两圆内切时，圆心距OP=R-r=4-2=2cm。 ∴OP的值为2cm或6cm。故选A。 23. （2012新疆区5分）若两圆的半径是方程x2﹣5x+6=0的两个根，且圆心距是5，则这两圆的位置关系是【】 A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C。 【考点】圆与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程。119281 【分析】∵x2﹣5x+6=0，∴（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或x=3。 ∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+6=0的两根，∴两圆的半径分别是2、3。 ∵圆心距是5，2+3=5，∴这两个圆的位置关系是外切。故选C。 24. （2012甘肃兰州4分）已知两圆的直径分别为2cm和4cm，圆心距为3cm，则这两个圆的位置关系是【】 A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，由题意知，两圆圆心距d＝3＞R－r＝2且d＝3＜R＋r＝6，故两圆相交。故选A。 25. （2012内蒙古赤峰3分）已知两圆的半径分别为3cm、4cm，圆心距为8cm，则两圆的位置关系是【】 A．外离B．相切C．相交 D．内含 【答案】A。 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵两圆的半径分别为3cm、4cm，∴两圆的半径和为：3+4=7（cm）。 ∵圆心距为8cm＞7cm，∴两圆的位置关系是：外离。故选A。 二、填空题 1. （2012浙江丽水、金华4分）半径分别为3cm和4cm的两圆内切，这两圆的圆心距为▲ cm． 【答案】1。 【考点】圆与圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， ∵两个圆内切，且其半径分别为3cm和4cm，∴两个圆的圆心距为4－3＝1（cm）。 2. （2012江苏淮安3分）如图，⊙M与⊙N外切，MN＝10cm，若⊙M的半径为6cm，⊙N的半径为 ▲ cm。 【答案】4。 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， 由⊙M与⊙N外切，MN＝10cm，⊙M的半径为6cm，得⊙N的半径=10cm－6cm=4cm。 3. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为▲ ． 【答案】00）。 【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。 【分析】分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析： ①⊙M与⊙N外切，MN=4+1=5，= ∴圆心N0）。 ②⊙M与⊙N内切，MN=4﹣1=3，==， ∴圆心N0）。 综上所述，圆心N00）。 4. （2012四川德阳3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2， ⊙P 的半径是1，满足与⊙A 及x 轴都相切的⊙P 有 ▲ 个. 【答案】4。 【考点】坐标与图形性质，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系。 【分析】分两圆内切和两圆外切两种情况讨论即可得到⊙P 的个数：如图，满足条件的⊙P 有4个。 5. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC 为直径的⊙O 1与⊙O 2外切，⊙O 1与⊙O 2的外公切线交于点D ，且∠ADC=60°，过B 点的⊙O 1的切线交其中一条外公切线于点A ．若⊙O 2的面积为π，则四边形ABCD 的面积是 ▲ ． 【答案】 【考点】相切两圆的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；；切线长定理。 【分析】∵⊙O 2的面积为π，∴⊙O 2的半径是1。 ∵AB 和AH 是⊙O 1的切线，∴AB=AH。 设⊙O 2的半径是R ，连接DO 2，DO 1，O 2E ，O 1H ，AO 1，作O 2F⊥BC 于F 。 ∵⊙O 1与⊙O 2外切，⊙O 1与⊙O 2的外公切线DC 、DA ，∠ADC=60° ∴D．O 2、O 1三点共线，∠CDO 1=30°。 ∴∠DAO 1=60°，∠O 2EC=∠ECF=∠CFO 2=90°。 ∴四边形CFO 2E 是矩形， ∴O 2E=CF ，CE=FO 2，∠FO 2O 1=∠CDO 1=30°。 ∴DO 2=2O 2E=2，∠HAO 1=60°，R+1=2（R ﹣1），解得：R=3。 即DO 1=2+1+3=6， 在Rt△CDO 1中，由勾股定理得：CD= ∵∠HO 1A=90°﹣60°=30°，HO 1=3。 ∴四边形ABCD 的面积是：12 ×（AB+CD ）×BC= 12 ×）×（3+3）=12。 6. （2012贵州六盘水4分）已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，那么这两圆的位置关系是 ▲ ． 8. （2012甘肃白银4分）已知两圆的半径分别为3cm 和4cm ，这两圆的圆心距为1cm ，则这两个圆的位置关系是 ▲ ． 【答案】内切。 【考点】两圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， ∵两圆半径之差=4－3=1=圆心距，∴两圆内切。 9. （2012甘肃兰州4分）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm ，小圆的半径为3cm ，若大 圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是▲ ． 【答案】8＜AB≤10。 【考点】直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理。 【分析】首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个 公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围： 如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB， ∴D为AB的中点，即AD＝BD。 在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，∴AD＝4。∴AB＝2AD＝8。 当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB＝10。 ∴AB的取值范围是8＜AB≤10。 三、解答题 1. （2012广东佛山11分）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA． 若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？ （2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积． 【答案】解：（1）作图如下： 能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b＞4。 （2）连接BD，交AC于E， ∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。 设CE=x ，则AE=4－x ， ∵BC= b=3，AB= a=2， ∴由勾股定理得：22222 BE 3x 24x =-=- -（） 解得：21x 8 = 。 ∴BE 8= = ∴四边形ABCD 的面积是12A C B E 42 8 2 ???=? =。 答：四边形ABCD 2 。 【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。 【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案； （2）连接BD ，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE ，设CE= x ，则AE=4－x ， 根据勾股定理得出关于x 的方程，求出x ，根据三角形的面积公式求出即可。 2. （2012四川宜宾10分）如图，⊙O 1、⊙O 2相交于P 、Q 两点，其中⊙O 1的半径r 1=2，⊙O 2 的半径r 2．过点Q 作CD⊥PQ，分别交⊙O 1和⊙O 2于点C ．D ，连接CP 、DP ，过点Q 任作一直线AB 交⊙O 1和⊙O 2于点A ．B ，连接AP 、BP 、AC ．DB ，且AC 与DB 的延长线交于点E ． （1）求证： PA PB = ； （2）若PQ=2，试求∠E 度数． 【答案】（1）证明：∵⊙O 1的半径r 1=2，⊙O 2的半径r 2，∴PC=4，。 ∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°。 ∴PC．PD 分别是⊙O 1、⊙O 2的直径，在⊙O 1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O 2中， ∠PBA=∠PDC， ∴△PAB∽△PCD。∴ PA PB PC PD = ，即 P A P C P B P D = = = （2）解：在Rt△PCQ 中，∵PC=2r 1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ= P Q 1P C 2= 。∴∠CPQ=60°。 ∵在Rt△PDQ 中，PD=2r 2，PQ=2，∴sin∠PDQ=P Q P D 2 = 。∴∠PDQ=45°。 ∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°。 又∵PD 是⊙O 2的直径，∴∠PBD=90°。∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°。 在△EAB 中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°。 答：∠E 的度数是75°。 【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。 【分析】（1）求出PC 、PD ，证△PAB∽△PCD，得出 PA PB PC PD =，从而 P A P C P B P D = = = 。 （2）由cos∠CPQ= P Q 1P C 2 =，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°。由圆周角定 理，得出 ∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可。 3. （2012广西桂林10分）如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1经过⊙O 2的圆心， 顺次连接 A 、O 1、B 、O 2． (1)求证：四边形AO 1BO 2是菱形； (2)过直径AC 的端点C 作⊙O 1的切线CE 交AB 的延长线于E ，连接CO 2交AE 于D ，求证： CE ＝2O 2D ； (3)在(2)的条件下，若△AO 2D 的面积为1，求△BO 2D 的面积． 【答案】解：（1）证明：∵⊙O 1与⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1B=BO 2=O 2A 。 ∴四边形AO 1BO 2是菱形。 （2）证明：∵四边形AO 1BO 2是菱形，∴∠O 1AB=∠O 2AB 。 ∵CE 是⊙O 1的切线，AC 是⊙O 1的直径，∴∠ACE=∠AO 2C=90°。 ∴△ACE∽△AO 2D 。∴ 22D O AO 1EC AC 2 ==，即CE=2DO 2。 （3）∵四边形AO 1BO 2是菱形，∴AC∥BO 2。∴△ACD∽△BO 2D 。 ∴ 2BO D B 1AD AC 2 ==。∴AD=2BD。 ∵2 AO D S 1?=S ，∴2 O D B 1S 2 ?=。 【考点】相交两圆的性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据⊙O1与⊙O 2是等圆，可得AO 1=O 1B=BO 2=O 2A ，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论。 （2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，从而得出22D O AO 1EC AC 2 = = ，即可得出结论。 （3）首先证明△ACD∽△BO 2D ，得出 2BO D B 1AD AC 2 = = ，AD=2BD ，再利用等高不等底 的三角形面积关系得出答案即可。 4. （2012江西省10分）已知，纸片⊙O 的半径为2，如图1，沿弦AB 折叠操作． （1）如图2，折叠后的 AB 所在圆的圆心为O′时，求 AB 的长度； （２）如图3，当弦AB=2时，求折叠后 AB 所在圆的圆心Ｏ’到弦AB 的距离； （３）在图1中，再将纸片⊙O 沿弦CD 折叠操作． ①如图4，当AB∥CD，折叠后的 AB 与 C D 所在圆外切于点P 时，设点O 到弦AB ．CD 的距离之和为d ，求d 的值； ②如图5，当AB 与CD 不平行，折叠后的 AB 与 C D 所在圆外切于点P 时，设点M 为AB 的中点，点N 为CD 的中点，试探究四边形OMPN 的形状，并证明你的结论． 【答案】解：（1）当 AB 经过圆O 时，折叠后的 AB 所在圆O′在⊙O 上，如图2所示，连接O′A．OA ．O′B，OB ，OO′。 ∵△OO′A，△OO′B 为等边三角形， ∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。 ∴ AB 的长度12024180 3 ππ??== 。 （2）如图3所示，连接O′A，O′B， ∵O′A=O′B=AB=2， ∴△AOB 为等边三角形。 过点O 作OE⊥AB 于点E ∴折叠后 AB 所在圆的圆心Ｏ’到弦AB （3）①如图4，当折叠后的 AB 与 C D 所在圆外切于点P 时， 过点O 作EF⊥AB 交AB 于点H 、交 AEB 于点E ，交CD 于点G 、 交 CFD 于点F ，即点E 、H 、P 、O 、G 、F 在直径EF 上。 ∵AB∥CD，∴EF 垂直平分AB 和CD 。 根据垂径定理及折叠，可知PH= 12 PE ，PG= 12 PF 。 又∵EF=4，∴点O 到AB ．CD 的距离之和d 为： d=PH+PG= 12 PE+ 12 PF= 12 （PE+PF ）=2。 ②如图5，当AB 与CD 不平行时，四边形是OMPN 平行四边形。证明如下： 设O′，O″为 APB 和 CPD 所在圆的圆心， ∵点O′与点O 关于AB 对称，点O″于点O 关于CD 对称， ∴点M 为的OO′中点，点N 为OO″的中点。 ∵折叠后的 APB 与 CPD 所在圆外切， ∴连心线O′O″必过切点P 。 ∵折叠后的 APB 与 CPD 所在圆与⊙O 是等圆， ∴O′P=O″P=2，∴PM= 12 OO″=ON，PN= 12 OO′=OM， ∴四边形OMPN 是平行四边形。 【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。 【分析】（1）如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到 AOB的圆心角，再根据弧长公式计算即可。 （2）如图3，连接O′A．O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求 AB所在圆的圆心O′到弦AB的距离。 （3）①如图4， AEB与 CFD所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交 AEB于点E，交 CFD于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和。 ②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E． （1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论） （2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F． ①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由． ②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明． ③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论） 【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE， 【解析】 试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论； （2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证； ②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证； ③同②的方法可证． 试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线， ∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°， ∵OE⊥AB， 2008～2019 北京中考数学分类(圆) 一．解答题（共12 小题） 1.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O 到点A，B，C 的距 离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G 于点D，连接AD，CD． （1）求证：AD＝CD； （2）过点D 作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF 交图形G 于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE 与图形G 的公共点个数． 2.如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC，PD，切点分别为C， D，连接OP，CD． （1）求证：OP⊥CD； （2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP 的长． 3.如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC⊥OA 于点C，过点B 作⊙O 的切线交CE 的延长线于点D． （1）求证：DB＝DE； （2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O 的半径． 4.如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦AC 的中点，连接OF 并延长交于点D，过点D 作 ⊙O 的切线，交BA 的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE 面积的思路． 5.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM，弦CD∥BM，交AB 于点F，且 ＝，连接AC，AD，延长AD 交BM 于点E． （1）求证：△ACD 是等边三角形； （2）连接OE，若DE＝2，求OE 的长． 6.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，⊙O 的切线BD 交AC 的延长线于点D，E 是 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°， 2015中考数学真题分类汇编圆综合题 一．解答题（共30小题） 1．（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．（2015?枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．（2015?西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM， AM． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．（2015?广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6．（2015?北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 7．（2015?莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O 在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线． 圆的有关性质 一、选择题 1. (2021兰州，7,4分)如图，在⊙O中，点C 是的中点，∠A＝50o，则∠BOC＝（）。（A）40o（B）45o（C）50o（D）60o 【答案】A 【解析】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50o。根据垂径定理的推论，OC 平分弦AB 所对的弧，所以OC 垂直平分弦AB，即∠BOC＝90o? ∠B＝40o ，所以答案选A。 【考点】垂径定理及其推论 2. (2021兰州，10,4分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O, 四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC= （） （A）45o（B) 50o (C) 60o (D) 75o 【答案】：C 【解析】：连接OB,则∠OAB＝∠OBA, ∠OCB＝∠OBC ∵四边形ABCO 是平行四边形，则∠OAB＝∠OBC ∴∠ABC＝∠OAB＋∠OBC＝∠AOC ∴∠ABC＝∠AOC＝120o ∴∠OAB＝∠OCB＝60o 连接OD，则∠OAD＝∠ODC，∠OCD＝∠ODC 由四边形的内角和等于360o可知， ∠ADC＝360o－∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD ∴∠ADC＝60o 【考点】：圆内接四边形 3. (2021·四川自贡)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（） A．15°B．25°C．30°D．75° 【考点】圆周角定理；三角形的外角性质． 【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数． 【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°， ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°， ∴∠B=∠C=30°， 故选C． 【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键4. （2021·四川成都·3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（） A．πB．πC．πD．π 【考点】弧长的计算；圆周角定理． 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案． 【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC， ∴∠A=50°， 人教版九年级数学上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线； （2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）证明：连接CM ， ∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴ ． 又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，． ∴545(x )x 5)12152- =--（，∴，解得10 OD 3 = ． 又∵D 为OB 中点，∴ 1552 4 +∴D 点坐标为（0，154)． 连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有 解得． ∴直线AD 为 ． ∵二次函数的图象过M （5 6 ，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x= 154 ． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=15 4 交于点P ， ∴PD+PM 为最小． 又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=15 4 的交点． 当x= 15 4时，45y (x )x 5)152 = --（． ∴P 点的坐标为（15 4，56 ）． （3）存在． ∵ ，5 y a(x )x 5)2 =--（ 又由（2）知D （0，154)，P （15 4，56 ）， ∴由 ，得 ，解得y Q =± 103 ． ∵二次函数的图像过M(0，5 6 )、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为， 又∵该图象过点D （0，15 4 )，∴，解得a= 512 ． ∴二次函数解析式为 ． 又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103 ． ∴当y Q =103 时，，解得x= 1552-或x=1552 +； 当y Q =5 12 - 时，，解得x= 15 4 ． 年中考数学分类汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2018年中考数学分类汇总 主讲：六枝特区第九中学 汪恒 第一章 实数 课时1．实数的有关概念 【课前热身】 1.（08重庆）2的倒数是 ． 2.（08白银）若向南走2m 记作2m -，则向北走3m 记作 m ． 3.（08乌鲁木齐）2的相反数是 ． 4.（08南京）3-的绝对值是（ ） A ．3- B ．3 C ．13- D ．13 5．（08宜昌）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅 度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7（毫米2）， 这个数用科学记数法表示为（ ） A.7×10－6 B. 0.7×10－6 C. 7×10－7 D. 70×10－8 【考点链接】 1．有理数的意义 ⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应. ⑵ 实数a 的相反数为________. 若a ，b 互为相反数，则b a += . ⑶ 非零实数a 的倒数为______. 若a ，b 互为倒数，则ab = . ⑷ 绝对值?? ???<=>=)0( )0( )0( a a a a ． ⑸ 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤a ＜ 10的数，n 是整数. ⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精 确到哪一位.这时，从左边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 2.数的开方 ⑴ 任何正数a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫 _______________. 没有平方根，0的算术平方根为 ______. ⑵ 任何一个实数a 都有立方根，记为 . ⑶ =2a ???<≥=)0( )0( a a a . 3. 实数的分类 和 统称实数. 4．易错知识辨析 （1）近似数、有效数字 如0.030是2个有效数字（3,0）精确 到千分位；3.14×105是3个有效数字；精确到千位.3.14 万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位． （2）绝对值 2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 中考数学试题分类汇编 圆 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 中考数学试题及答案分类汇编圆 一、选择题 1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75° 2．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（） A．50°B．40°C．30°D．25° 3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（） A．55°B．60°C．65°D．70° 4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（） A．∠A=∠D B． =C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D 5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（） A．50°B．20°C．60°D．70° 6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（） A．32°B．38°C．52°D．66° 7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50° 8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（） A．15°B．18°C．20°D．28° 9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（） A．30°B．45°C．60°D．70° 10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100° 2017年浙江中考真题分类汇编（数学）：专题11 圆 一、单选题 1、（2017·金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ) A、10cm B、16cm C、24cm D、26cm 2、（2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则的长为（） A、 B、 C、 D、 3、（2017·丽水）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（） A、 B、 C、 D、 4、（2017·衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是（） A、 B、 C、 D、 二、填空题 5、（2017?杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=________． 6、（2017?湖州）如图，已知在中，．以为直径作半圆，交于点．若 ，则的度数是________度． 7、（2017·台州）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，则弧BC的长为________cm（结果保留） 8、（2017?绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E.则∠DOE的度数为________. 9、（2017·嘉兴）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为的，，弓形 （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________． 10、（2017?湖州）如图，已知，在射线上取点，以为圆心的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切．若的半径为，则的半径长是________． 11、（2017·衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线 上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________ 三、解答题 初三中考数学试题分类汇总解析新定义题专题 一、选择题 1.（2016杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论： ①若a@b=0，则a=0或b=0 ①a@（b+c）=a@b+a@c ①不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2 ①设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大． 其中正确的是（） A．①①①B．①①①C．①①①D．①①① 【答案】C 【解析】 试题分析：根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．[来源:学科网ZXXK] 2.（2016湖州）定义：若点P（a，b）在函数 1 y x 的图象上，将以a为二次项系数，b为 一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数 1 y x 的一个“派生函数”．例如：点（2， 1 2 ） 在函数 1 y x 的图象上，则函数2 1 2 2 y x x称为函数 1 y x 的一个“派生函数”．现给出以 下两个命题： （1）存在函数的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧 （2）函数 1 y x 的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，下列判断正确的是（） A．命题（1）与命题（2）都是真命题 B．命题（1）与命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 【答案】C 3.（2020湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形 可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（） A．1和1B．1和2C．2和1D．2和2 中考数学试题分类汇编 圆 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 中考数学试题及答案分类汇编圆 一、选择题 1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75° 2．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（） A．50°B．40°C．30°D．25° 3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（） A．55°B．60°C．65°D．70° 4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（） A．∠A=∠D B． =C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D 5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（） A．50°B．20°C．60°D．70° 6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（） A．32°B．38°C．52°D．66° 7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50° 8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（） A．15°B．18°C．20°D．28° 9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（） A．30°B．45°C．60°D．70° 10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100° 25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。 （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，求PD 的长。 D C B A O C B 3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。 （1）求证：AB=AC ； （2）若EF=4，2 3 tan F ，求DE 的长。 M N E D C B A O 5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A 2018年中考数学真题汇编:圆(填空+选择46题)答案 一、选择题 1.已知的半径为，的半径为，圆心距，则与的位置关系是（ C ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 2. 如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（ C ） A. B. C. D. 3.已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（ C ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ C ） A. B. C. D. 5.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（ D ） A.40° B.50° C.70° D.80° 6.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ A ） A. B.40πm2 C. D.55πm2 7.如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ A ） A. B. C. D. 8.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（D ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 9.如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm，圆锥的面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ C ） A. B. C. D. 10.如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ A ）。 A.27° B.32° C.36° D.54° 11.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则 的度数是（ B ） A. B. C. D. 12.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ D ） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则 的长为（ C ） A. B. C. D. 14.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（ B ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 35° 15.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( D ) A.3 B. C. D. 16. 如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD 的延长线于点C，若的半径为4，，则PA的长为（ A ） A. 4 B. C. 3 D. 2.5 17.在中，若为边的中点，则必有成立.依据以上结论，解决如下问题： 如图，在矩形中，已知，点在以为直径的半圆上运动，则的最小 值为（ D ）A. B. C. 34 D. 10 一、选择题 1. （2019滨州，6，3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的 大小为（） A．60°B．50°C．40°D．20° 【答案】B 【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B． 【知识点】圆周角定理及其推论 2. (2019聊城,8,3分)如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE, 如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为 A.35° B.38° C.40° D.42° 第8题图 【答案】C 【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C. 【知识点】三角形角和定理,圆周角定理 3. （2019省潍坊市，11，3分）如图，四边形ABCD接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB 于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=3 5 ，DF=5，则BC的长为（） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【思路分析】连接BD，先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE，从而可得AF=DF=5，根据sin∠CAB=3 5 ，求 得EF和AE的长度，再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB，根据sin∠CAB=3 5 求得BC的长度． 【解题过程】连接BD． ∵AD=CD， ∴∠DAC=∠ACD． ∵AB为直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB， ∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD． ∵∠ABD=∠ACD， ∴∠DAC=∠ADE． ∴AF=DF=5． 在Rt△AEF中， sin∠CAB= 3 5 EF AF ∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8． 中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 初三中考数学试题分类汇总解析尺规作图、投影与视图专 题 一、选择题 1.（2020宁波）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（） A. B. C. D. 【答案】B 2.（2020嘉兴）如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（） A. B. C. D. 【答案】A 3.（2016杭州）下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是（） A．B．C．D． 【答案】A 5.（2016湖州）由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（） A．B．C． D． 【答案】A 6.（2020衢州）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（） A . B . C . D . 【答案】A 7.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（ ） A ．1次 B ．2次 C ．3次 D ．4次 【答案】B ． 8.（2020湖州）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 8.（2017湖州）如图是按的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ） A ． B ． C . D ． 1:102002 cm 6002 cm 100π2 cm 200π2 cm 【答案】D 9.（2020金华）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a 和b ，得到a ∥b ，理由是（ ） A . 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B . 在同一平面内，垂直于同一条直线两条直线互相平行 C . 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D . 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 10.（2017衢州）下列四种基本尺规作图分别表示：∥作一个角等于已知角；∥作一个角的平分线；∥作一条线段的垂直平分线；∥过直线外一点P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ） 的 一、选择题 1、（2020最新模拟山东淄博）一个圆锥的高为33，侧面展开图是 半圆，则圆锥的侧面积是（ ）B （A ）9π （B ）18π （C ）27π （D ）39π 2、（2020最新模拟四川内江）如图（5），这 是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB ∠为120o ，OC 长为8cm ，CA 长为12cm ，则阴影部分的面积为（ ） A ．264πcm B ．2112πcm C ．2144πcm D ．2152πcm 解：S ＝ 212020360 π?－ 21208360 π?＝2112πcm 选（B ）。 3、（2020最新模拟山东临沂）如图，在△ABC 中， AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与 边 BC 交于点D ，则AD 的长为（ ）。A A 、55 2 B 、 554 C 、35 2 D 、354 4、（2020最新模拟浙江温州）如图，已知ACB ∠是O e 的圆周角，50ACB ∠=?，则圆心角AOB ∠是（ ）D A ．40? B. 50? C. 80? D. 100? 5、（2020最新模拟重庆市）已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（ ）C （A ）相交 （B ）内含 （C ）内切 （D ）外切 A C O B 图（5） 6、（2020最新模拟山东青岛）⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）．C A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含 7、（2020最新模拟浙江金华）如图，点A B C ，，都在 O e 上，若34 C o ∠，则AOB ∠的度数为（ ）D A ．34o B ．56o C ．60o D ．68o 8、（2020最新模拟山东济宁）已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其全面积为（ ）。C A 、π B 、3π C 、4π D 、7π 9、（2020最新模拟山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向 行 走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ ）。A A 、52° B 、60° C 、72° D 、76° 10、（2020最新模拟福建福州）如图2，O e 中，弦 AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则O e 的半径长 为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm C 11、（2020最新模拟双柏县）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，PB ＝2 cm ，BC ＝8 cm ，则PA 的长等于（ ） A ．4 cm B ．16 cm O C B A O B A 图2 A ·O P C B 2016中考分类汇总（28）代几综合题 （2016安徽）22．如图，二次函数bx =2的图象经过点)4,2(A与)0,6(B． ax y+ （1）求b a,的值； （2）点C是该二次函数图象上B A,两点之间的一动点，横 坐标为)6 x．写出四边形OACB的面积S关 （2016毕节）如图，已知抛物线bx x y +=2 与直线42+=x y 交于A(a,8)、B 两点， 点P 是抛物线上A 、B 之间的一个动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AB 交于点C 和点E. （1）求抛物线的解析式； （2）若C 为AB 中点，求PC 的长； （3）如图，以PC,PE 为边构造矩形PCDE ，设点D 的 坐标为（m,n ）,请求出m,n 之间的关系式。 （2016滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C （1）求点A，B，C的坐标； （2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数（2016长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°.点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFGH.设点E 运动的时间为t秒. （1）求线段EF的长.（用含t的代数式表示） 中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD， ∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重 合），且四边形BDCE 为菱形． （1）求证：AC=CE ； （2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ； （3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32 一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（操作发现） （1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF． ①求∠EAF的度数； ②DE与EF相等吗？请说明理由； （类比探究） （2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果： ①∠EAF的度数； ②线段AE，ED，DB之间的数量关系． 【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2 【解析】 试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出 ∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°； ②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可； （2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°； ②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论． 试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC， ∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD． 在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°； ②DE=EF．理由如下：全国中考数学平行四边形的综合中考真题分类汇总附详细答案
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