高三理科数学培优专题——三角函数(含答案)
三角函数专题
一、方法总结:
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)注意隐含条件的应用:1=cos 2
x +sin 2
x 。 (2)角的配凑。α=(α+β)-β,β=
2
β
α+-
2
β
α-等。
(3)升幂与降幂:主要用2倍角的余弦公式。 (4)化弦(切)法,用正弦定理或余弦定理。
(5)引入辅助角。asinθ+bcosθ=22b a +sin (θ+?),这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定,?角的值由tan ?=
a
b
确定。 2.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 二、例题集锦: 考点一:三角函数的概念
1.(2011年东城区示范校考试15)设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点,Q P 、是单位圆上的两点,O 是坐标原点,6
π
=
∠AOP ,[)παα,0,∈=∠AOQ .
(1)若34(,)55Q ,求??? ?
?
-6cos πα的值; (2)设函数()f OP OQ α=?u u u r u u u r ,求()αf 的值域.
考点二:三角函数的图象和性质
2.(2014年课标I ,7)在函数①cos 2y x =,②cos y x =,③cos(2)6y x π
=+,④tan 24y x π?
?=- ??
?中,最小
正周期为π的所有函数为 ( )
A.①②③
B. ②③④
C. ②④
D. ①③
3.(2012年课标全国,9)已知0ω>,函数()sin()4f x x π
ω=+
在(,)2
π
π上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.15[,]24
B.13
[,]24
C.10,2?? ??
?
D.()0,2
4.(2011年课标全国,11)设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ω?ω?ω?=+++><
的最小正周期为π,且
()()f x f x -=,则( )
A. ()f x 在0,2π?? ???单调递减
B. ()f x 在3,44ππ
??
???
单调递减 C. ()f x 在0,2π?? ???单调递增 D. ()f x 在3,44
ππ??
???
单调递增
5.将函数()()sin 22f x x π????
=+<
??
?
的图象向左平移
6
π
个单位长度后,所得函数()g x 的图象关于原点对称,则函数()f x 在0,
2π??
????
的最小值为 A .12- B .1
2
C
.
6.(2011年东城区期末15)函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωφωφπ
=+>><部分图象如图所示.
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及解析式;(Ⅱ)设()()cos 2g x f x x =-,求函数()g x 在区间[0,]2
x π∈上的最大值和最小值.
考点三、四、五:同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换
7.已知函数2
()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-(0x ω∈>R ,),相邻两条对称轴之间的距离等于2
π
. (Ⅰ)求()4
f π
的值; (Ⅱ)当02x π?
?
∈???
?,时,求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.
8.已知向量(cos ,sin ),a x x =r 向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=?r r r
(1)求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程; (2)若x 是第一象限角且'
3()2()f x f x =-,求tan()4
x π
+的值.
考点六:解三角形
9.ABC ?中,角,,A B C
成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
10.已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ?的内角,,A B C 所对的边,且22233a b c +-4ab =,则下列不等式一定成立的是
A .()()sin cos f A f
B ≤ B .()()sin cos f A f B ≥
C .()()sin sin f A f B ≥
D .()()cos cos f A f B ≤ 11.(2014年课标I ,16)已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边,2a =,且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ?面积的最大值为 .
12.(2014年河南焦作联考)在ABC ?中,已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+,若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,则
2
ab
c 的最大值为 . 13.(2015河北秦皇岛一模,17,12分)在ABC ?中,角A B C ,,所对的边分别为,,a b c ,满足
()2
22.AB AC a b c ?=-+u u u r u u u r
(1)求角A 的大小; (2
)求2
4sin()23
C B π
--的最大值,并求取得最大值时角,B C 的大小.
14.(2009全国II , 17,10分) 设ABC ?的内角A B C ,,的对边分别为,,a b c ,3cos()cos 2
A C
B +=-,2b ac =.求B ∠的大小.
14.(2015课标II ,17,12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,ABD ?的面积是ADC ?面积的2倍. (1)求sin sin B
C
∠∠;(2
)若1,2AD DC ==,求BD 和AC 的长.
15、(2011东城一模15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 分,且满足2cos cos c b B
a A
-=
. (Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ)若a =ABC 面积的最大值.
例题集锦答案:
1.(2011年东城区示范校考试理15)如图,设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点,Q P 、是 单位圆上的两点,O 是坐标原点,6
π
=
∠AOP ,[)παα,0,∈=∠AOQ .
(1)若34(,)55Q ,求??? ?
?
-6cos πα的值;(2)设函数()f OP OQ α=?u u u r u u u r ,求()αf 的值域.
★★单位圆中的三角函数定义
解:(Ⅰ)由已知可得5
4
sin ,53cos ==αα……………2分
6
sin sin 6cos cos 6cos π
απαπα+=???
?
?
-
∴………3分
10
4332
1
542353+=
?+?=…………4分
(Ⅱ)()f OP OQ α=?u u u r u u u r ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα?
?=? ??
?………6分
ααsin 21
cos 23+=
………………7分 sin 3πα??
=+
??
?
………………8分
[0,)απ∈Q 4[,)333
π
ππ
α∴+
∈………9分 sin 123πα?
?-<+≤ ??
? (12)
分
()αf ∴的值域是?? ? ??
(13)
分
2.(2011年西城期末理15)已知函数2
()2
2sin f x x x =-.(Ⅰ)若点(1,P
在角α的终边上,求()f α的值; (Ⅱ)若[,]63
x ππ
∈-,求
()f x 的值域.
★★三角函数一般定义
解:(Ⅰ)因为点(1,
P 在角α的终边上,
所以sin α=,1
cos 2
α=, ………………
2分 所以22
()22sin cos 2sin f αααααα
=-=-
………………4分
2
1(2(32=?-
?=-. ………………5分 (Ⅱ)2
()
22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分
2sin(2)16
x π
=+-, ………………8分
因为[,]63x ππ∈-,所以65626π
ππ≤+≤-x , ………………10分
所以1sin(2)126
x π
-≤+≤, ………………11分
所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.(2011年东城区期末理15)函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωφωφπ
=+>><
部分图象如图所示.
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及解析式;(Ⅱ)设()()cos 2g x f x x =-,求函数()g x 在区间[0,]2
x π∈上的最大值和最小值.
解:(Ⅰ)由图可得1A =,22362
T πππ
=-=,
所以T =π. ……2分 所以2ω=.
当6x π
=
时,()1f x =,可得 sin(2)16
?π?+=, 因为||2?π<
,所以6
?π
=. ……5分 所以()f x 的解析式为()sin(2)6
f x x π
=+. ………6分 (Ⅱ)()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π
=-=+
-sin 2cos cos 2sin cos 266
x
x x ππ
=+- 12cos 22x x =
- sin(2)6
x π
=-. ……10分 因为02x π≤≤,所以52666
x πππ-≤-≤. 当262
x ππ-=,即3x π
=时,()g x 有最大值,最大值为1;
当266x ππ-
=-,即0x =时,()g x 有最小值,最小值为1
2
-.……13分
2T =相邻平衡点(最值点)横坐标的差等;2||T =
πω ;()max min 1
2
y y A =- ;φ----代点法 4.(2010年海淀期中文16)已知函数x x x f 2cos )6
2sin()(+-
=π
.(1)若1)(=θf ,求θθcos sin ?的值;
(2)求函数)(x f 的单调增区间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心 解:(1)2
2cos 16
sin
2cos 6
cos
2sin )(x
x x x f ++
-=π
π
...3分(只写对一个公式给2分) 2
1
2sin 23+=x ....5分 由1)(=θf ,可得3
3
2sin =
θ ......7分 所以θθθ2sin 2
1
cos sin =
? ......8分 63= .......9分 (2)当Z k k x k ∈+≤
≤+-
,22
222
ππ
ππ
,换元法 ..11
即Z k k k x ∈++-
∈],4
,
4
[ππ
ππ
时,)(x f 单调递增.
所以,函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-
],4
,
4
[ππ
ππ
... 13分
5.(2011年丰台区期末理15)已知函数2
()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- (0x ω∈>R ,),相邻两条对称轴之间的距离等于
2
π.(Ⅰ)求()4f π
的值;(Ⅱ)当
02x π??
∈????
,时,求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.
解:(Ⅰ)()sin 2cos 212sin(2)14
f x x x x π
=--=--ωωω. ω意义 ……4分
因为 22
T π
=,所以 T =π,1ω=. ……6分
所以 ()2sin(2)14f x x π=--.所以 ()04f π
= ………7分
(Ⅱ)()2sin(2)14
f x x π
=--
当 0,
2x π?
?
∈???
?
时, 32444x πππ-≤-≤, 无范围讨论扣分
所以 当242
x ππ-=,即8x 3π
=时,max ()21f x =-, …10分
当244
x ππ
-=-,即0x =时,min ()2f x =-. ………13分
6、(2011朝阳二模理15)已知函数2
()2sin sin()2sin 12
f x x x x π=?+-+ ()x ∈R .
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间;
(Ⅱ)若02(
)23x f =,0ππ
(, )44x ∈-,
求0cos 2x 的值. 解: 2
()2sin cos 2sin 1=?-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分
π
2sin(2)4
x =+. 和差角公式逆用 ………………3分 (Ⅰ)函数()f x 的最小正周期2π
π2
T =
=. ……………………………………5分 令πππ
2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z , ……………………………………6分
所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππ
ππ88
k x k -+≤≤.
所以,函数()f x 的单调递增区间为3ππ
[π, π]88
k k -+ ()k ∈Z . ……………8分
(Ⅱ)解法一:由已知得0002
()sin cos 23
x f x x =+=, …………………9分 两边平方,得021sin 29x += 同角关系式 所以 07
sin 29
x =-…………11分 因为0ππ(, )44x ∈-
,所以0π
2(, )22
x π∈-. 所以2
07
42
cos 21()9
9
x =--=
. ……………………………………13分 解法二:因为0ππ(, )44x ∈-
,所以0ππ
(0, )42
x +∈. …………………………9分 又因为000ππ2(
)2)2)2244x x f x =?+=+=,
得 0π1
sin()43
x +
=. ……………………………………10分 所以20π122cos()1()43x +
=-=……………………………………11分 所以,00000πππ
cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444
x x x x x π
=+
=+=++ 12242
2339
=??
=. 诱导公式的运用
7、(2011东城二模理15)(本小题共13
分)已知
π
sin()
410
A+=,
ππ
(,)
42
A∈.
(Ⅰ)求cos A的值;(Ⅱ)求函数
5
()cos2sin sin
2
f x x A x
=+的值域.
解:(Ⅰ)因为ππ
42
A
<<
,且
π
sin()
410
A+=,
π
cos()
410
A+=-.
ππππ
cos()cos
sin()sin
4444
A A
+++
3
1021025
=-?+=.所以
3
cos
5
A=.………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
4
sin
5
A=.
2
12sin2sin
x x
=-+2
13
2(sin)
22
x
=--+,x∈R.
因为sin[1,1]
x∈-,所以,当
1
sin
2
x=时,()
f x取最大值
3
2
;
当sin1
x=-时,()
f x取最小值3
-.
所以函数()
f x的值域为
3
[3,]
2
-.
8.(2011年朝阳期末理15)已知△ABC中,2sin cos sin cos cos sin
A B C B C B
=+.
(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设向量(cos,cos2)
A A
=
m,
12
(, 1)
5
=-
n,求当?
m n取最
小值时,)
4
tan(
π
-
A值.
解:和差角公式逆用
所以2sin cos sin()sin()sin
A B B C A A
=+=π-=. ……… 3分
因为0A p
<<,所以sin0
A1.所以
1
cos
2
B=. ……… 5分
3
B
π
=. …………7分
(Ⅱ)因为
12
cos cos2
5
A A
?=-+
m n,………………… 8分
所以22
12343
cos2cos12(cos)
5525
A A A
?=-+-=--
m n. …10分
所以当
3
cos
5
A=时,?
m n取得最小值.
同角关系或三角函数定义……12分
所以
tan11
tan()
4tan17
A
A
A
π-
-==
+
. …………… 13分
9.(2011年石景山期末理15)已知函数
2
3
cos
sin
sin
3
)
(2-
+
=x
x
x
x
f()R
x∈.
(Ⅰ)求)
4
(
π
f的值;(Ⅱ)若)
2
,0(
π
∈
x,求)
(x
f的最大值;(Ⅲ)在ABC
?中,若B
A<,
2
1
)
(
)
(=
=B
f
A
f,求
AB
BC
的值.
解:(Ⅰ)
2
3
4
cos
4
sin
4
sin
3
)
4
(2-
+
=
π
π
π
π
f
2
1
=. 4分
(Ⅱ)
2
)
2
cos
1(3
)
(
x
x
f
-
=+
2
3
2
sin
2
1
-
x
x
x2
cos
2
3
2
sin
2
1
-
=)
3
2
sin(
π
-
=x.…6分
2
π
<