优秀教案25-幂函数

2.3幂函数

教材分析：

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数．组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质．对于幂函数，只需重点掌握这五个函数的图象和性质．学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．

课时分配 1课时

教学目标

重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质

难点：从幂函数的图象中概括其性质，据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小知识点：幂函数的定义、五个幂函数图象特征

能力点：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用

教育点：进一步渗透数形结合与类比的思想方法；体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性

教具准备：多媒体辅助教学 课堂模式：导学案

一、引入新课 (一) 回顾引入

【师生互动】师：数学的内在美常常让我感动，下面我们共同来欣赏运算的完美性，

思考：由8、2、3、

3

1

这四个数，运用数学符号可组成哪些等式？ 生：探讨，交流

师生共同分析：

【设计意图】（1）给出开放性问题，主要是为了提高学生的想象能力，激发他们学习新内容的兴趣（2）不但培养了学生动手的能力，也营造了师生合作，共同探讨问题的氛围 师：我们知道 对于等式 b a N

=

1 .如果a 一定，N 随着b 的变化而变化，我们建立了指数函数x

y a = 2 . 如果a 一定，b 随着N 的变化而变化，我们建立了对数函数log x a y = 设想 ：如果b 一定，N 随着a 的变化而变化,是不是也可以确定一个函数呢？

【设计说明】使学生回忆所学两个基本初等函数，为所要学习的幂函数作铺垫 (二) 观察下列对象：

问题(1)：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数p = 元， 问题(2)：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面 是s = 问题3)：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积是v = 问题(4):如果正方形场地面积为s ，那么正方形的边长a =

问题(5)：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度v =

3

2

8=8

log 32=3

18

2=

【师生互动】师：（1）它们的对应法则分别是什么？

（2）以上问题中的函数有什么共同特征？

让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论

生：（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方 （4）求算术平方根 （5）求－1次方

师: 上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α

=，其中x 是自变量，α是常数. 师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．

【设计意图】（1）引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过

一次函数、反比例函数、二次函数，发现是y x α

=是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣（2）通过具体实例让学生了解对数函数模型的实际背景，以表明对数函数来源于实践并且服务于实践；同时也充分体现了数学的应用价值；

二、探究新知 组织探究

1．幂函数的定义

一般地，形如α

x y =（α∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 如4

13

12

,,-

===x y x y x y 等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基

本初等函数.

【师生互动】师：1．幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本

（4）1-=x y （5）3

x y =

生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所作图象，体会幂函数的变化规律．

师：引导学生应用函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．

师生共同分析：强调画图象易犯的错误．

【设计意图】(1)通过具体作图，可使学生加深对图象的直观印象，记忆比较牢固；同时也提高了学生数形结合的思维能力；(2)符合学生的认知规律，由特殊到一般，从具体到抽象；（3）充分发挥学生学习的能动性，以学生为主体，展开课堂教学.

【师生互动】师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律． 生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表． x y =

2x y =

3x y =

2

1

x y =

1-=x y

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点

师生共同分析幂函数性质：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0(+∞上是增函数．特别地，当1

>α

时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．

【设计意图】 锻炼学生对数学问题进行归纳总结、类比的能力，培养学生进行合作探究的意识

三、理解新知

例1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：

（1）4455

2.5, 2.7 （2）7744

0.7, 0.9 （3）3

5)3(-，3

5)5(-

；

（4）2

14

.1-，2

17

.0-

例2 讨论函数5

2x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性

【师生互动】师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤． 并指出函数单调性是判别大小的重要工具， 生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．

【设计意图】使学生能根据幂函数的单调性，比较同指数的两个幂函数值的大小（其目的是培养学生用函数的观点解决问题的思想）,并且加深学生对性质的理解,同时让学生理解幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．

四、运用新知

探究与发现：如图所示，曲线是幂函数α

x y =在第一象限内的图象，已知α分别取2,2

1

,

1,1-四个值，则相应图象依次为： ．

师生共同分析：

规律1：在第一象限，作直线)1(>=a a x ，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

实际上可以转化成根据指数函数y=x

a 的单调性来研究幂指数的变化

3124

>>>a a a a

αααα由于1234a>1,>>>αααα所以

规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线x y =对称

【设计意图】通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人，更可加深对所得到结论的理解,指数函数和幂函数区别与联系一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然 例3

：证明幂函数()[0,]f x =

+∞上是增函数

学生思考：我们知道，当12()

()0,1()

f x y f x f x =><时若

得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明x x f =

)( 在[)∞+ ,0上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？

【设计意图】 巩固学生对函数单调性证明的掌握程度，加深对幂函数进一步的理解, 体现了以学生练为主体，提高学生推理的能力 巩固练习：

1．作出函数2

-=x y 和函数2

)1(--=x y 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．

2．判断下列方程在实数范围内解得个数

（1）12-=x x ； （2）42

3-=x x ．

五、课堂小结

提问方式

（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？

（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？

(3) 让学生对这一节课所学的内容提出质疑

【设计意图】(1)因为学生的能力层次参差不齐，上完一节课之后未必每个学生都能接受全部的知识内容，因而必须给出适当的时间让他（她）们去理清知识脉络.

（2）归纳整理知识，形成知识网络让学生进一步体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性

六、布置作业

课后书面作业

1、必做题习题2.3 1、2

2、选做题：自主丛书 67页 2

课后思考作业：

1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？

2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？

【设计意图】作业(必做题)按循序渐进的原则布置，既巩固本节课所学知识，又培养学生自觉学习的习惯，同时也锻炼了学生的解题能力；而选做题是提高型题，它是为了使高层次的学生在理解概念的基础上能力能够得到提高，进而拓宽学生的视野，增强学生思考问题的逻辑性，严密性.

七、教后反思

在研究幂函数时，先让学生类比研究指数函数和对数函数的思路，给出研究幂函数性质的思路，并通过自主探索、合作学习，引导学生画出常见的幂函数图象，并引导学生观察图象，概括出幂函数的性质，再次体现了新课程注重数学思考和合作探究的理念，这是本节亮点，不足之处是：学生对幂函数图象变化快慢的趋势掌握的较差．

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