相似图形知识点与题型分析

相似图形的知识与题型

知识点1：比例线段的相关概念

1.比例线段：

对于四条线段，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．

⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．

⑶比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，

那么应得比例式为：．

2.比例中项：如果（或），则b叫做a、c的比例中项。

知识点2：比例的性质

基本性质：(1)；

(2)．

反比性质（把比的前项、后项交换）：．

合比性质：．发生同样和差变化比例仍成立。

等比性质：若，则.

注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，，，，，，．

说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据．

②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k的方法，

设＝k，那么a＝kb，c＝kd，ad＝kb×d＝b×kd＝bc

知识点3：比例线段的有关定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边（即三角形中位线定理的逆定理）。

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰（即梯形中位线定理的逆定理）。

平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：

(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边。

知识点4：黄金分割

点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

注：黄金三角形：顶角是36°的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形。

知识点5：相似图形

1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形。

相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

注意：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；

（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；

（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；

（4）相似三角形的对应边之比叫做相似比。

2、相似三角形的判定方法

预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似。

判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似。

三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成

比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

3、相似三角形的性质定理：

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形的周长比等于相似比；

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；

（4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

4、相似三角形的等价关系

(1)反身性：对于任一有∽．

(2)对称性：若∽，则∽．

(3)传递性：若∽，且∽，则∽．

5、相似直角三角形

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边。

定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。

定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

6、直角三角形的射影定理

直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。

推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项。

经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型

知识点6：与位似图形有关的概念

1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点。

（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。

（3）位似图形的对应边互相平行或共线。

2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。

关于相似的证明

（一）证明比例式或等积式（三点定形法）：

1．横向定型法

欲证，横向观察，比例式中的分子是AB和BC，三个字母A、B、C恰为⊿ABC 的顶点；分母是BE和BF，三个字母B、E、F恰为⊿BEF的三个顶点。因此只需证⊿ABC∽⊿EBF．

2．纵向定型法

欲证，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A、B、C恰为⊿ABC 的顶点；右边的比是DE和EF中的三个字母D、E、F恰为⊿DEF的三个顶点．因此只需证⊿ABC∽⊿DEF．

3．中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考

虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形。

这种方法就是等量代换法。在证明比例式时，常用到中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

①

②

③

（二）比例中项式的证明：

比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解。

（三）倒数式的证明：

倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。

（四）复合式的证明：

复合式的证明比较复杂。通常需要进行对线段进行等量代换、等比代换、等积代换，将复合式转化为基本的比例式（或等积式），然后进行证明。

（五）相似证明中常见辅助线的作法：

1、在相似的证明中，常见的辅助线的作法是

做平行线构造成比例线段或相似三角形，再结合等量代换得到要证明的结论。

2、常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等。

如图：平分交于，求证：．

证法一：过作，交的延长线于．

∴，．

∵，∴．∴．

∵，∴．

点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型。

证法二：过作的平行线，交的延长线于．

∴，∴．

∵，∴．

点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型。

3、相似证明中常用的面积法基本模型如下：

4、相似证明中的基本模型

相似三角形的几种基本图形归纳：

(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）

若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）

(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

(4)如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型—也称射影定理型”、“三垂直型”）

射影定理型：

1、如图，若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；

2、满足1）AC2=AD·AB，2）∠ACD=∠B，3）∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．

例题精讲（一）

1、以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，（1）求AM、DM的长，（2）试说明AM2=AD·DM

（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？

解：（1）因为正方形ABCD的边长是2，P是AB中点，

所以AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，

所以PD＝

因为PF＝PD，所以AF＝，

在正方形ABCD中，AM＝AF＝，MD＝AD－AM＝3－（2）由（1）得AD×DM＝2（3－）＝6－2，

，所以AM2=AD·DM

（3）如图中的M点是线段AD的黄金分割点。

2、已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，

过O作EF∥BC，分别交AB，DC于E，F.

求证：(1)OE=OF； (2)；

(3)若MN为梯形中位线，求证AF∥MC.

分析：

(1)利用比例证明两线段相等的方法。

(2)证明时，可将其转化为“”类型：

①再化为，直接求出各比值，或用中间比求出各比值

再相加，证明比值的和为1；

②直接通分或移项，转化为证明四条线段成比例。

(3)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题。

延长BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.

(4)用运动的观点将问题进行推广：

若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB、BD、AC、CD于E、O1、

O2、F，如图5－126(b)，O1F与O2F是否相等? 为什么?

3、已知：如图5－127，在ΔABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，

F为DE中点，BE交AD于N，AF交BE于M. 求证：AF⊥BE.

分析：(1)分解基本图形探求解题思路。

(2)总结利用相似三角形的性质来证明两角相等，进一步证明两直线

位置关系（平行、垂直等）的方法，利用ΔADE∽ΔDCE ，

得到；结合中点定义得到；结合∠3=∠C；

从而得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠ 2. 进一步可得到AF⊥BE.

(3)总结证明四条线段成比例的常用方法：

①比例的定义；②平行线分线段成比例定理；

③三角形相似的预备定理；④直接利用相似三角形的性质；

⑤利用中间比等量代换；⑥利用面积关系。

4、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC．

分析：欲证BC2＝2CD·AC，只需证．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似。

由“2”所放的位置不同，证法也不同．

证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，

∵BD⊥AC于D，∴BD是线段CE的垂直平分线，

∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，

又∵AB＝AC，∴∠C=∠ABC．∴∠BEC=∠ABC．

∴△BCE∽△ACB．∴，∴

∴BC2＝2CD·AC．

证法二（构造2AC）：在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，

∵ AB＝AC，∴ AB＝AC=AE．∴∠EBC=90°，

又∵ BD⊥AC．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，

∴∠E=∠DBC，∴△EBC∽△BDC

∴即，∴BC2＝2CD·AC．

证法三（构造）：取BC中点E，连结AE，则EC=．

又∵AB=AC，∴AE⊥BC，∠ACE=∠C

∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE∽△BCD．

∴即．∴BC2＝2CD·AC．

证法四（构造）：取BC中点E，连结DE，则CE= ．

∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，∴∠EDC=∠C

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴△ABC∽△EDC．

∴，即．∴BC2＝2CD·AC．

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧。在解题中方法要灵活，思路要开阔。

例题精讲（二）

一、证明三角形相似

例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。

分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠3（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。

例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD

分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°

又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°

在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，

∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD

（例2图）（例3图）

例3、已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC

分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE 和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到

△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得

到解决。

证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD

∴△CBE∽△ABD ∴=即：=

△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用

∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC

∴∠DBE=∠ABC且= ∴ △DBE∽△ABC

例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形

（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

（2）（3）

（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF 与△ECA

解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=，

在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且，所以△EAF∽△ECA

二、证明比例式和乘积式

例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE

分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：

证明：过D点作DK∥AB，交BC于K，

∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE ，又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，

而由DK∥AB，得BK：KC=AD：DC，∴BK：BC=AD：AC ，∴BK：AD=BC：AC

因此DF：FE= BC：AC，∴DFAC=BCFE

例6：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。

求证：（1）MA2=MDME；（2）

证明：（1）∵∠BAC=900，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，

∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，

∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA2=MDME，

（2）∵△MAE∽△MDA，∴，∴

评注：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。

命题2 如图，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。例7：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。

分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑

作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中

“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，则

。与结论相比较，显然问题转化为证

证明：过D点作DG∥AB交FC于G，则△AEF∽△DEG，得（1）∵D为BC的中点，且DG∥BF

∴G为FC的中点，∴DG为△CBF的中位线，（2）

将（2）代入（1）得：

三、证明两角相等、两线平行和线段相等。

例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：∠AEF=∠FBD

分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直

角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形。

证明：作FG⊥BD，垂足为G。设AB=AD=3k，则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=

∵∠ADB=45°，∠FGD=90°，∴∠DFG=45°，∴DG =FG =

∴BG=，∴

又∠A=∠FGB=90°，∴△AEF∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD

例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，

求证：SQ∥AB，RP∥BC

分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可

考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQ∥AB，只需证明AR：AS=BR：DS 。

证明：∵在△ADS和△ARB中，∠DAR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC ∴△ADS∽△ABR ∴

但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，∴，

∴SQ∥AB，同理可证，RP∥BC

例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD

分析：要证明AF∥CD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AF∥CD，只要证明

即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。

证明：∵AB∥ED，BC∥FE ∴，

∴两式相乘可得：

例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC 交AB于G，求证：FC=FG

分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。

要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。

证明：∵ FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF，则有

而FC∥DE，∴△AED∽△AFC，则有，∴

又∵BE=DE（正方形的边长相等）∴，即GF=CF。

例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF

证明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt△CAE∽Rt△CDO，∴又OF∥BC，∴

又∵Rt△ABD∽Rt△CAD，∴

∴，∴ AE=BF