正交试验结果分析的回归分析方法

正交试验结果分析的回归分析方法

方法简述

本节的题目表明，本方法仅仅是对正交试验结果进行分析的一种方法。在对正交试验结果进行分析之前，如何明确试验指标、因素和水平，如何选择正交表，如何进行表头设计，如何做实验等，与本章所讲的常规的正交试验设计方法是完全相同的。本方法实际上是用正交表来设计试验方案，再用逐步回归方法来处理正交试验的实验数据。用正交表来设计试验方案，目的是使数据点的分布均匀合理；用逐步回归方法来处理实验数据，目的是为了得到有多种用途的数学回归式。

回归模型和回归方法

正交试验设计方法特别适合于解决多因素试验问题。化工上，大多数的实际问题都是多因素的问题，而且多数问题都是非线性的问题。一个适用于多元线性和非线性回归的回归模型，是下式所示的多元二次多项式：（以4个自变量为例）

（4-7）

可见，在4个自变量时，若包括b0则待求的回归系数就多达15个。为此实验的次数至少应16次，而且求回归系数的过程和应用回归式求y的计算过程都很长，舍入误差较大。实际上，如同在方差分析时有些列在F检验中会不显著一样，在按式（4-7）进行回归分析时有些项在F检验中也会不显著。若只让F检验显著的项进入和保留在回归式中，则所得的回归式肯定会比式（4-7）简化许多。为此，我们推荐使用逐步回归方法来进行多元二次多项式的回归。

逐步回归方法见本书的第3章3.5.5。在这种回归方法中，用每次选入时至多选入一项，每次剔除时至多剔除一项，选入、剔除交替进行的办法来进行回归操作。该选入时，从当前尚在回归式之外的众“项”中选择F值最大且F检验显著的一项，送入回归式。该剔除时，从当前已在回归式之中的众“项”中选择F值最小且F检验不显著的一项，从回归式剔除出去。由此可知，在最后所得的回归式中，每一项回归系数的F检验都是显著的。

上面说到每次选入时至多选入一项，其中的“项”指的是式（4-7）中用“+”隔开的项，如x3, 或x1x2，或等，选择正交表时即使不考虑交互作用x2×x3，进行回归分析最后所得的回归式中也可能含有x2x3一项。一旦出现了x2x3项，就表示交互作用“x2×x3”存在且应该考虑。因此用回归分析方法对正交试验结果进行分析的一个优点是：安排试验方案时因不考虑交互作用而选择较小的正交表，并不影响后来通过回归分析将客观存在着的交互作用找出。

用回归分析方法分析正交试验结果时，可以引出的结论。

用逐步回归方法来回归正交试验的数据时不仅得到一个回归式，而且也能像极差、方差分析那样引出一些结论。

①关于各项的显著性问题。由逐步回归方法的原理可知，凡是在最后所得的回归式中被选入并且被保留下来的“项”，都是在F检验中显著的项。凡是没有在最后的回归式中出现的项，就是未被选入或者选入后又被剔除的项，就是在F检验中不显著的项。

②关于因素间交互作用问题。凡是在回归式出现的两个因素（自变量）相乘的项，都是必须考虑的交互作用。反之，凡是在回归过程中虽然已考虑了出现某两因素相乘的可能性，但最后并没有在回归式中出现的两个因素相乘的项，都可以认为该交互作用不存在。

③若需要分析回归式中各项对因变量y影响的大小时，可以按下述方法进行。假设因素数为4的某试验问题逐步回归最后得到的回归式为：

(4-8)

则可令

（4-9) 将上式变为

在式（4-9）中，X1、X2、X3、X4 4项，谁是主要矛盾？直接比较实际回归系数b1、b2、b3、b4、的大小，行吗？不行。因为实际回归系数b1~ b4的数值与X1、X2、X3、X4和y的单位有关。为消除单位的影响，宜比较“标准回归系数”的绝对值的大小。标准回归系数的定义式如下：

(4-10) 式中:

(4-11)

(4-12)

(4-13)

(4-14) ……

标准回归系数的绝对值愈大，该项对因变量y值的影响愈大。

④试验指标随各因素的变化趋势和适宜条件的确定。

有了回归式之后，各种情况下的y值均可求出，按理说这个问题是不成问题的。实际上的困难在于在有一个或多个交互作用的情况下，y随某因素的变化规律会受到另一个或几个因素数值的影响，该用什么情况下的变化规律作为代表来说明所要说明的问题，并且应力求使变化趋势的讨论，有助于下一步最适宜操作条件的确定，此时，情况变得十分复杂。分析过程较繁琐，而最终引出的结果与用方差分析法得到的结论是一致的，所以用方差分析法确定最适宜操作条件将更为简便。用逐步回归法最大的特点是能得到回归式，更有利于试验结果的推广应用。