1
00<--n n a a 由n a 通项公式
,2,1,12)(51=-=--k k a a n n ,时
.02523222352332)(511101111=?-?+?>??-?+?=--------n n n n n n n n a a a
(2)当 ,2,1,2==k k n 时,
.023********)(5111111≥?-?>?+?-?=-------n n n n n n n n a a a
故0a 的取值范围为).3
1,0(
判断证明过程的正误
例 试判断下面的证明过程是否正确: 用数学归纳法证明:
)13(2
1
)23(741-=
-++++n n n 证明:(1)当1=n 时,左边=1,右边=1 ∴当1=n 时命题成立.
(2)假设当k n =时命题成立,即
)13(2
1
)23(741-=
-++++k k k 则当1+=k n 时,需证
))(23)(1(2
1
]2)1(3[)23(741*++=
-++-++++k k k k 由于左端等式是一个以1为首项,公差为3,项数为1+k 的等差数列的前n 项和,其和为
)23)(1(2
1
)131)(1(21++=+++k k k k ∴)(*式成立,即1+=k n 时,命题成立.根据(1)(2)可知,对一切*∈N n ,命题
成立.
分析:看一个用数学归纳法证明数学问题是否正确.关键要看两个步骤是否齐全,特别是第二步归纳假设是否被应用,如果没有用到归纳假设,那就是不正确的.
解: 以上用数学归纳法证明的过程是错误的.
在证明当1+=k n 时等式成立时,没有用到当k n =时命题成立的归纳假设,故不符合数学归纳法证题的要求.
第二步正确的证明方法是: 假设当k n =时命题成立,即
),13(2
1
)23(741-=
-++++k k k 则当1+=k n 时, )253(2
1
)13()13(21]2)1(3[)23(7412++=++-=-++-++++k k k k k k k
]1)1(3)[1(2
1
)23)(1(21-++=++=k k k k 即当1+=k n 时,命题成立. 说明:用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成缺一不可.尽管有些与正整数有关的命题用其它方法也可以解决,但题目若要求用数学归纳法证明,则必须严格按照数学归纳法的步骤进行,否则是不正确的.
用数学归纳法证明等式
例 用数学归纳法证明
n
n n n n n ++
++++=?-++?+?1
21112)12(1431211 分析:用数学归纳法证明一个与整数有关的命题,关键是第二步,要注意当1+=k n 时,等式两边的式子与k n =时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决.
证明:(1)当1=n 时,左边21211=?=
,右边2
1
=,赞美式成立. (2)假设当k n =时,等式成立,即
.21
21112)12(1431211k k k k k +++++=?-++?+? 则当1+=k n 时, )22)(12(1
2)12(1431211+++?-++?+?k k k k )
22)(12(1
212111++++++++=
k k k k k 11
221121213121++
??? ??+-+++++++=k k k k k k 2
21
121213121+++++++++=
k k k k k )
1)(1(1
)1(12)1(11)1(1++++++++++++=
k k k k k k
即当1+=k n 时,等式成立.
根据(1)、(2)可知,对一切*
∈N n ,等式成立.
说明:解题过程中容易将1+=k n 时,等式右边错写为
)
1()1(12111++++++++k k k k ,从而导致证明错误或无法进行.特别要注意等式右边的每一个式子都在随n 的变化而变化.
利用数学归纳法证明正切等式
例 用数学归纳法证明
)N ,2(tan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan *∈≥-=
?-++?+?n n n n n n α
α
αααααα 分析:在由假设k n =时等式成立,推导当1+=k n 时等式成立时,要灵活应用三角公式及其变形公式,本题中涉及到两个角的正切的乘积问题,联想到两角差的正切公式的变形
公式:
1)
tan(tan tan tan tan ---=
?βαβ
αβα,问题就会迎刃而解.
证明:(1)当2=n 时,左边α
α
ααα2
22tan 1tan 2tan 1tan 2tan -=-?= 右边α
αααααα222tan 1tan 22tan )tan 1(tan 22tan 2tan -=
--=-=,等式成立. (2)假设当k n =时,)N ,2(*∈≥k k 等式成立,即
k k k k -=
?-+++?α
α
αααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan tan 则当1+=k n 时,
)
()1tan(tan tan tan )1tan(tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan *+?+-=+?+?-++?+?ααα
α
ααα
αααααk k k k k k k k 由
α
ααααααk k k k k k tan )1tan(1tan )1tan(])1tan[(tan ?++-+=-+=得
1tan tan )1tan()1tan(tan --+=
+α
α
αααk k k k
代入)(*式,得 右边),1(tan )1tan(1tan tan )1tan(tan tan +-+=--++-=
k k k k k k α
α
ααααα 即αααααααα)1tan(tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan +?+?-++?+?k k k k ).1(tan )1tan(+-+=
k k α
α
这就是说,当1+=k n 时等式成立.
根据(1)、(2)可知,对任意*
∈≥N ,2n n ,等式成立.
说明:灵活应用三角公式是解决三角问题常用的方法和技巧,恰当的应用公式是关键.如果应用公式α
α
αcos sin tan =
来变形,本题就会出现困难.解决有关βαβαtan tan ,tan tan ?±的式子时,经常要用到)tan(
βα±展开式及其变形公式. 利用归纳法证明整除问题
例 用数学归纳法证明:17)13(-?+n
n 能被9整除.)N (*
∈n .
分析:证明一个与n 有关的式子)(n f 能被一个数a (或一个代数式)(n g )整除,主要是找到)1(+k f 与)(k f 的关系,设法找到式子)(),(21k f k f ,使得
)()()()1(21k f a k f k f k f ?+?=+,就可证昨命题成立.
证明:(1)当1=n 时,2717)13(=-?+k ,能被9整除,命题成立. (2)假设当k n =时,17)13(-?+k n 能被9整除,当1+=k n 时,
17)]2718()13[(17]7)1(21[17]1)1(3[1-?+++=-?++=-?+++k k k k k k k k k k k 7)32(9]17)13[(?++-?+=
]17)13[(-?+k k 和k k 7)32(9?+都能被9整除. k k k k 7)32(9]17)13[(?++-?+∴都能被9整除.
即17]1)1(3[1-?+++k k 能被9整除. 即当1+=k n 时,命题成立.
由(1)、(2)可知,对任何*
∈N n 命题都成立.
说明:如果将1+=k n 时,17]1)1[(1-?+++k k 变为673]17)13[(71+?+-?++k k k 能
被9整除,困难就大一些.本题也可用二项式定理把n
7写成n
)16(+展开后,再证明.
用归纳法证明直线分割平面问题
例 平面内有n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n 条直线把平面分成
)2(2
12
++n n 个部分. 分析:用数学归纳法证明几何问题,主要搞清楚当1+=k n 时比当k n =时,分点增加了多少个,区城增加了多少块,线段增加了多少条.本问题中第1+k 条直线与前k 条直线有k 个分点,平面区域增加了1+k 块.
证明:(1)当1=n 时,平面被分成2部分.
又
2)211(2
12
=++,命题成立. (2)假设当)N (*
∈=k k n 时命题成立.即符合条件的k 条直线把平面分成
)2(2
12
++k k 个部分.现在来考虑平面内有1+k 条直线的情况.任取其中的一条直线,记为l (如下图)图l 与其它k 条直线有k 个交点,平面区域增加了1+k 块,从而这1+k 条直
线把平面分成了
)1()2(212
++++k k k )222(21
2++++=k k k ]2)1()1[(2
1
2++++=k k 根据(1)、(2)可知,命题对任何正整数都成立.
说明:不能错误地认为第1+k 条直线被其它k 条直线分成k 段,区域增加了k 部分或2k 部分.
证明有关几何问题,哪n 边形内角和公式,n 边形对角线条数公式,还要确定初始值0n 应为多少.由k n =到1+=k n 时又是如何变化的.
猜想并证明数列的通项
例 对于数列}{n a ,若.
1
),10(1111n n a a a a a a a a -
=≠>+
=+且 (1)求422,,a a a ,并猜想}{n a 的表达式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.
分析:由已知条件,可直接求出422,,a a a 式,通过观察归纳,猜想出n a 的表达式,再用数学归纳法加以证明.
解:(1),1
,1111n
n a a a a a a -=+
=+ )1(1
11112242112+++=+-+-+=-=∴a a a a a a a
a a a a a a a
)
1(1
1)1(112
42462422
213+++++=+++-+=-=a a a a a a a a a a a a a a a
同理可得
)
1(1
2
4624684+++++++=a a a a a a a a a 猜想)1(1111)
1(12222
1222242222222--=
-?--=+++++++=+-+---n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a (2)(ⅰ)当1=n 时,右边122
41
)1(1a a
a a a a =+=--=,等式成立. (ⅱ)假设当k n =时)N (*∈k ,等式成立,即
)
1(1
222--=
+k k k a a a a ,则当1+=k n 时, 1
)
1(112
2221---+=-=++k k k k a a a a a a a a )1()
1()1)(1(2222222----+=
++k k k a a a a a a ,)
1(1)1(2)2(2--=++k k a a a 这就是说,当1+=k n 时,等式也成立.
根据(ⅰ)、(ⅱ)可知,对于一切*
∈N n ,)
1(1222--=+n n n a a a a 成立.
说明:这类题型是常见题型,尤其是用数学归纳法证明与递推关系有关系的命题时,依归纳假设证明当1+=k n 时命题也成立时,除了用上假设之外,一定还得用上递推关系,否则假设也没法用.这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方.
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ. 请读者分析下面的证法: 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ. 那么当n =k +1时,有: ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说,当n =k +1时,等式亦成立. 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步,当n =k +1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求. 正确方法是:当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 例2.是否存在一个等差数列{a n },使得对任何自然数n ,等式: a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立,并证明你的结论. 分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n =1,2,3时找出来{a n },然后再证明一般性. 解:将n =1,2,3分别代入等式得方程组. ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a , 解得a 1=6,a 2=9,a 3=12,则d =3. 故存在一个等差数列a n =3n +3,当n =1,2,3时,已知等式成立. 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数,等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 因为起始值已证,可证第二步骤. 假设n =k 时,等式成立,即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时, a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说,当n =k +1时,也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列a n =3n +3,对任何自然数n ,等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 例3.证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2.
高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (i )若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii )若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i )数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (ii ) A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 (v )两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理) (vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下:
1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (i )“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后,就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或;) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=,这样就能把幂上的函数移下来了,变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候,含有正余弦的加减的时候) 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ; cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
数列数学归纳法测试题
数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题: 1、等差数列{n a }中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列,a 1=25,b 1=75,a 100+b 100=100,则{n a +n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5,244,3,77 ,第n 项到第n +6项的和为T ,则|T|最小时,n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C )4 (D )3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0,则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> (B )21000a a +< (C )3990a a += (D )5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中,S 3=S 11,则当S n 最大知,n=……………………………………( ) (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列,{n b }是等差数列,b 1=0,n c =n a +n b ,如果数列{n c }是1,1,2,…,则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………( ) (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列,则…………………………( ) (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -,当n ≥2时,有…………………………………………………( ) (A )n S >n na >1na (B ) n S 45a a (D ) 36a a ≥45a a 10、一个等比数列前n 项和为21n -,则它的前n 项的各项平方和为……………………………( ) (A )2(21)n - (B ) 122(21)n - (C )41n - (D )1(41)3 n - 11、据市场调查,预测某种商品从2004年初开始的几个月内累计需求量n S (万件)近似满足n S =2(215)90 n n n --,则本年度内需求量超过1.5万件的月份是……………………………( )
函数及极限习题及答案
9、 n n n 、 n im (nr 戸 厂)= 10、函数f (X)在X 。处连续是f(x)在X 。连续的 _______________ 条件。 11、 Iim - X —) : 3 2 (X 1)(x 3x 2) 2X 5 +5X 3 12、 Iim (1 2 )kn =e ° ,贝U k= __________________ 。 n 心 n x 2 -1 13、 函数y = p 的间断点是 __________________ 。 X -3x+2 14、 _____________________________________________________ 当x 、-::时, 1 是比 J x +3 -J x +1 _______________________ 的无穷小。 X 1 16、 函数y =e x 在x=0处是第 ____________ 类间断点。 17 、 设y = —x -,贝U x=1为y 的 ________________ 间断点。 X —1 第一章函数与极限 (A ) 一、填空题 1设f(x) = .2 _x ? Iglgx ,其定义域为 __________________________________ 2、 设f(x) =In(x 1),其定义域为 ________________________________ 。 3、 设 f (x) =arcsin(x_3),其定义域为 ______________________________ 。 4、 设f(x)的定义域是[0,1],贝U f (si nx)的定义域为 ________________________________ 5、 设f(x)的定义域是[0 , 2],贝y y = f(x 2)的定义域为 ____________________________ < X 2 -2x k 6、 I im 4 ,贝U k= 。 X 3 X -3 X 7、 函数 y 有间断点 _______________ ,其中 ____________ 为其可去间断点。 Sin X sin 2x 8、 若当X = O 时,f(χ) __________________ , 且f (x)在χ=0处连续,贝U f (0) = X O
高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc
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(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)
数学归纳法(2016.4.21) 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ. 当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立.
题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ Λ. 那么当n =k +1时, 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++数学归纳法典型例习题
欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容: 高三复习专题:数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? (1 ??? (2()时命题成立,证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法,这两步各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立,n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的,学习时要具体问题具体分析。
? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错。 ??? (2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了。 ??? (3)关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时,。 ,右边,左边 时等式成立,即有,则当时, 由①,②可知,对一切等式都成立。 的取值是否有关,由到时 (2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法,即 ,则这不是归纳假设,这是套用数学归纳法的一种伪证。 (3)在步骤②的证明过程中,突出了两个凑字,一“凑”假设,二“凑”结论,关键是明确 时证明的目标,充分考虑由到时,命题形式之间的区别和联系。
第二章极限习题及答案:函数的连续性
函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f (1)求)x f (在点1=x 处的左、右极限,函数)x f (在点1=x 处是否有极限? (2)函数)x f (在点1=x 处是否连续? (3)确定函数)x f (的连续区间. 分析:对于函数)x f (在给定点0x 处的连续性,关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ;函数在某一区间上任一点处都连续,则在该区间上连续. 解:(1)1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数)x f (在点1=x 处有极限. (2))(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数)x f (在点1=x 处不连续. (3)函数)x f (的连续区间是(0,1),(1,2). 说明:不能错误地认为)1(f 存在,则)x f (在1=x 处就连续.求分段函数在分界点0x 的左右极限,一定要注意在分界点左、右的解析式的不同.只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在. 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f , (1)求)x f (的定义域,并作出函数的图象;
(2)求)x f (的不连续点0x ; (3)对)x f (补充定义,使其是R 上的连续函数. 分析:函数)x f (是一个分式函数,它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围,给函数)x f (补充定义,使其在R 上是连续函数,一般是先求)(lim 0 x f x x →,再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可. 解:(1)当02≠+x 时,有2-≠x . 因此,函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时,.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图. (2)由定义域知,函数)x f (的不连续点是20-=x . (3)因为当2≠x 时,2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此,将)x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数)x f (在R 上是连续函数. 说明:要作分式函数的图象,首先应对函数式进行化简,再作函数的图象,特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致. 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征,判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根.
求极限的常用方法典型例题
求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则; (2) 利用两个重要极限; (3) 利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量); (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限: (1)x x x 33sin 9lim 0-+→ (2)1)1sin(lim 21--→x x x (3)x x x 1 0)21(lim -→ (4)2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ (5))1 1e (lim 0-+→x x x x 解(1)对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四则运算法则和第一重要极限计算,即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? (2)利用第一重要极限和函数的连续性计算,即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= (3)利用第二重要极限计算,即 x x x 1 0)21(lim -→=2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 (4)利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量)计算,即
222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注:其中当∞→x 时,x x x x sin 1sin =,)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量,即它们还是无穷小量。 (5) 利用函数的连续性计算,即 )11e (lim 0-+→x x x x =11 01e 00-=-+?
数学归纳法例题讲解
数学归纳法例题讲解 例1.用数学归纳法证明: ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?n n n n . 请读者分析下面的证法: 证明:①n =1时,左边3 13 11=?= ,右边3 11 21= += ,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?k k k k . 那么当n =k +1时,有: ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ?? ??????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ??-= 321121121121 7151513131121k k k k 3 22 221321121++? =??? ??+-= k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就是说,当n =k +1时,等式亦成立. 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步,当n =k +1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求. 正确方法是:当n =k +1时. ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ()() 321211 2+++ += k k k k
()() ()()()() 321211232121 322 ++++= ++++= k k k k k k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 例2.是否存在一个等差数列{a n },使得对任何自然数n ,等式: a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立,并证明你的结论. 分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n =1,2,3时找出来{a n },然后再证明一般性. 解:将n =1,2,3分别代入等式得方程组. ??? ??=++=+=60 3224 26321 211a a a a a a , 解得a 1=6,a 2=9,a 3=12,则d =3. 故存在一个等差数列a n =3n +3,当n =1,2,3时,已知等式成立. 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数,等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 因为起始值已证,可证第二步骤. 假设n =k 时,等式成立,即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时, a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说,当n =k +1时,也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列a n =3n +3,对任何自然数n ,等式a 1+2a 2+3a 3+…
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (1)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (2)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在: (1)数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (2)A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 (5)两边夹挤准 (夹逼定理/夹逼原理) (6) 柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是: ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (1)“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
实用文库汇编之数学归纳法经典例题及答案
*实用文库汇编之数学归纳法(2016.4.21)* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立.
题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ . 那么当n =k +1时, 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++极限计算方法及例题
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的 极限严格定义证明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且;5)13(lim 2 =-→x x ;???≥<=∞→时当不存在,时当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需 再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时, 不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim =→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim =→x x x ,e x x x =--→21 ) 21(lim ,e x x x =+ ∞ →3)31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:
数学归纳法经典例题及答案精品
【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法( 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 当n =k +1时. 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ . 那么当n =k +1时, 这就是说,当n =k +1时,不等式成立. 由①、②可知,原不等式对任意自然数n 都成立. 说明:这里要注意,当n =k +1时,要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证明:
1211 2+<++k k k . 认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标. 题型3.证明数列问题 例3 (x +1)n =a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+…+a n (x -1)n (n ≥2,n ∈N *). (1)当n =5时,求a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的值. (2)设b n = a 22n -3,T n = b 2+b 3+b 4+…+b n .试用数学归纳法证明:当n ≥2时,T n =n (n +1)(n -1)3 . 解: (1)当n =5时, 原等式变为(x +1)5=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+a 4(x -1)4+a 5(x -1)5 令x =2得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=35=243. (2)因为(x +1)n =[2+(x -1)]n ,所以a 2=C n 2·2n -2 b n =a 22 n -3=2C n 2=n (n -1)(n ≥2) ①当n =2时.左边=T 2=b 2=2, 右边=2(2+1)(2-1)3 =2,左边=右边,等式成立. ②假设当n =k (k ≥2,k ∈N *)时,等式成立, 即T k =k (k +1)(k -1)3 成立 那么,当n =k +1时, 左边=T k +b k +1=k (k +1)(k -1)3+(k +1)[(k +1)-1]=k (k +1)(k -1)3 +k (k +1) =k (k +1)?? ??k -13+1=k (k +1)(k +2)3 =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)-1]3 =右边. 故当n =k +1时,等式成立. 综上①②,当n ≥2时,T n =n (n +1)(n -1)3 .
高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解(可编辑修改word版)
A. n -1 B. n +1-1 C. n +1-2 D. n +2-2 高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解 一、选择题 1 1 . 已知a = ,数列{a }的前n 项和为S ,已计算得S = 2-1, S = 3-1,S =1, n n +1+ n n n 1 2 3 由此可猜想 S n =( ) [答案] B 1 1 1 1 2.已知 S k = + + + + + +…+ (k =1,2,3,…),则 S k +1 等于( ) k 1 k 2 k 3 2k 1 A. S k + + 2(k 1) 1 1 B. S k + + - + 2k 1 k 1 1 1 C. S k + + - + 2k 1 2k 2 1 1 D. S k + + + + 2k 1 2k 2 [答案] C 1 1 1 1 1 1 1 [解析] S k +1= + + + + + +…+ = + + + + +…+ = + + + (k 1 1 1 1) 1 1 (k 1) 2 1 2(k 1) 1 1 k 2 k 3 2k 2 k 1 +…+ + + + - + + + =S k + + - + . k 2 2k 2k 1 2k 2 k 1 2k 1 2k 2 3. 对于不等式 1°当 n =1 时, n 2+n ≤n +1(n ∈N *),某人的证明过程如下: 12+1≤1+1,不等式成立. 2°假设 n =k (k ∈N *)时不等式成立,即 k 2+k 函数与极限习题与答案
第一章 函数与极限 (A ) 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ,其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ,其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ,其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0,1],则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0,2] ,则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ,则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ,其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ,x x x f 2sin )(= ,且0)(=x x f 在处连续 ,则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ,则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时, x 1 是比3-+x 15、当0→x 时,无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ,则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ,则当a 为 时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ,则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ,则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 (1)2 11 x y -= ; (2)x y sin = ; (3)x e y 1= ; 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同?为什么? (1)x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ; (2)2)(,)(x x g x x f = = ; (3)x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ; 3、判定函数的奇偶性 (1))1(2 2 x x y -= ; (2)3 2 3x x y -= ;