教科版高中物理选修3-4第3节 简谐运动的图像和公式.docx

高中物理学习材料

（鼎尚**整理制作）

第3节 简谐运动的图像和公式

1．以横坐标表示________，纵坐标表示________________________________________，描绘出简谐运动的质点的________随________变化的图像，称为简谐运动的图像(或振动图像)．简谐运动的图像是一条________(或________)曲线．

2．由简谐运动的图像，可以直接读出物体振动的________和________．用图像记录振动的方法在实际生活中有很多应用，如医院里的________________、监测地震的____________等．

3．简谐运动的表达式：x ＝________________或x ＝________________.其中A 表示简谐运动的________，T 和f 分别表示简谐运动的周期和频率，________或________表示简谐运动的相位，Φ表示t ＝0时的相位，叫做初相位，简称初相．频率相同、初相不同的两个振动物体的相位差是________．

4．如图1所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( )

图1

A ．振动周期是2×10－2

s

B ．第2个10－

2 s 内物体的位移是－10 cm C ．物体的振动频率为25 Hz D ．物体的振幅是10 cm

5．摆长为l 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(即取t ＝0)，当振动至t ＝3π2 l g

时，摆球恰具有负向最大速度，则单摆的振动图像是下图中的( )

6．物体A 做简谐运动的振动位移x A ＝3sin (100t ＋π

2

) m ，物体B 做简谐运动的振动位移

x B ＝5sin (100t ＋π

6

) m ．比较A 、B 的运动( )

A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，

B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 周期相等为100 s

C ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f B

D ．A 的相位始终超前B 的相位π

3

概念规律练

知识点一 简谐运动的图像

1．如图2所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )

图2

A ．t 1时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动

B ．t 2时刻振子的位移最大

C ．t 3时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动

D ．该图像是从平衡位置计时画出的

2．如图3所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：

图3

(1)质点离开平衡位置的最大距离是多少？

(2)在1.5 s 和2.5 s 两个时刻，质点向哪个方向运动？

(3)质点在第2秒末的位移是多少？在前4秒内的路程是多少？

知识点二 简谐运动的表达式

3．一物体沿x 轴做简谐运动，振幅为8 cm ，频率为0.5 Hz ，在t ＝0时，位移是4 cm ，且向x 轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程．

知识点三 简谐运动的相位、相位差

4．如图4所示，A 、B 为两弹簧振子的振动图像，求它们的相位差．

图4

5．有两个振动的振动方程分别是：x 1＝3sin (100πt ＋π3) cm ，x 2＝5sin (100πt ＋π

4

) cm ，下

列说法正确的是( )

A ．它们的振幅相同

B ．它们的周期相同

C ．它们的相位差恒定

D ．它们的振动步调一致 方法技巧练

根据图像判断物体运动情况的技巧

6．如图5所示为质点P 在0～4 s 内的振动图像，下列叙述正确的是( )

图5

A ．再过1 s ，该质点的位移是正向最大

B ．再过1 s ，该质点的速度方向向上

C ．再过1 s ，该质点运动到平衡位置

D ．再过1 s ，该质点的速度为零

7．如图6所示为一弹簧振子的振动图像，如果振子的质量为0.2 kg ，求：

图6

(1)从计时开始经过多少时间位移第一次达到最大；

(2)从第2 s 末到第3 s 末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、位移各是怎样变化的．

1．关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是()

A．表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线

B．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向

C．表示质点的位移随时间变化的规律

D．由图像可判断任一时刻质点的速度方向

2．如图7所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法中正确的是()

图7

A．因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹

B．振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹

C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度

D．振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向

3．如图8是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是()

图8

A．该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置

B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的

C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，可让底片沿垂直x轴方向匀速运动D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化的快慢不同

4．如图9所示为弹簧振子的振动图像，关于振子的振动，下列描述正确的是()

图9

A．振子沿如图所示的曲线运动

B．图像描述的是振子的位移随时间变化的规律

C．从0.5 s到1.5 s内振子先加速运动后减速运动

D．从1 s到2 s内振子先减速运动后加速运动

5．如图10所示为某质点在0～4 s内的振动图像，则()

图10

A．质点在3 s末的位移为2 m

B．质点在4 s末的位移为8 m

C．质点在4 s内的路程为8 m

D．质点在4 s内的路程为零

6．在水平方向上做简谐运动的质点，其振动图像如图11所示．假设向右的方向为正方向，则物体的位移向左且速度向右的时间段是()

图11

A ．0 s 到1 s 内

B ．1 s 到2 s 内

C ．2 s 到3 s 内

D ．3 s 到4 s 内

7.一个质点做简谐运动，它的振动图像如图12所示，则( )

图12

A ．图中的曲线部分是质点的运动轨迹

B ．有向线段OA 是质点在t 1时间内的位移

C ．有向线段OA 在x 轴的投影是质点在t 1时刻的位移

D ．有向线段OA 的斜率是质点在t 1时刻的瞬时速率

8．如图13所示，是质点做简谐运动的图像．由此可知( )

图13

A ．t ＝0时，质点位移、速度均为零

B ．t ＝1 s 时，质点位移最大，速度为零

C ．t ＝2 s 时，质点位移为零，速度沿负向最大

D ．t ＝4 s 时，质点停止运动

9．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )

A ．x ＝8×10－

3sin ?

???4πt ＋π2 m B ．x ＝8×10－

3sin ?

???4πt －π2 m C ．x ＝8×10－

1sin ?

???πt ＋32π m D ．x ＝8×10－

1sin ????4πt ＋π2 m

10．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π

4

t ，则质点( )

A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同

B ．第1 s 末与第3s 末的速度相同

C ．3 s 末至5 s 末的位移方向都相同

D ．3 s 末至5 s 末的速度方向都相同

11．一弹簧振子沿x 轴振动，振幅为4 cm ，振子的平衡位置位于x 轴上的O 点．图14甲中的a 、b 、c 、d 为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向．图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图像的是( )

甲

乙 图14

A ．若规定状态a 时t ＝0，则图像为①

B ．若规定状态b 时t ＝0，则图像为②

C ．若规定状态c 时t ＝0，则图像为③

D ．若规定状态d 时t ＝0，则图像为④

12.如图15所示为A 、B 两个简谐运动的位移—时间图像．试根据图像写出：

图15

(1)A 的振幅是______cm ，周期是________s ；B 的振幅是________cm ，周期是________s. (2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式． (3)在时间t ＝0.05 s 时两质点的位移分别是多少？

13．两个简谐运动的表达式分别为x 1＝4a sin(4πbt ＋π2)，x 2＝2a sin(4πbt ＋3π

2

)．求它们的

振幅之比，各自的频率，以及它们的相位差．

14．某质点的振动方程为x ＝5sin(2.5πt ＋π

2

)cm ，画出该质点的振动图像．

第3节 简谐运动的图像和公式

答案

课前预习练

1．时间 摆球相对于平衡位置的位移 位移x 时间t 正弦 余弦 2．周期 振幅 心电图仪 地震仪

3．Asin(2πT t ＋Φ) Asin(2πft ＋Φ) 振幅 2π

T

t ＋Φ 2πft ＋Φ Φ2－Φ1

4．BCD [振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－

2 s ．又f ＝1T ，所以f ＝25 Hz ，则A 项错误，C 项正确；正、负极大值表

示物体的振幅，所以振幅A ＝10 cm ，则D 项正确；第2个10－

2 s 的初位置是10 cm ，末位置是0，根据位移的概念有x ＝－10 cm ，则B 项正确．]

5．D

6．CD [振幅是标量，A 、B 的振动范围分别是6 m 、10 m ，但振幅分别为3 m 、5 m ，

A 错；A 、

B 的周期T ＝2πω＝2π100 s ＝6.28×10－

2 s ，B 错；因为T A ＝T B ，故f A ＝f B ，C 对；Δφ

＝φA0－φB0＝π

3

，D 对．]

课堂探究练

1．BC [从图像可以看出，t ＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，D 选项错误；t 1时刻以后振子的位移为负，因此t 1时刻振子正通过平衡位置向下负方向运动，A 选项错误；t 2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，B 选项正确；t 3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动，C 选项正确．]

点评 质点做简谐运动的情况要和振动图像结合起来，利用简谐运动的图像来分析简谐运动的运动过程会更直观、方便．

2．见解析

解析 由图像上的信息，结合质点的振动过程可知

(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x 的最大值为10 cm ；

(2)在1.5 s 后质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s 后质点位移增大，因此是背离平衡位置运动；

(3)质点第2秒末在平衡位置，因此位移为零．质点在前4秒内完成一个周期性运动，其路程为10 cm ×4＝40 cm.

点评 对于振动图像，不要错误地理解为振子的振动轨迹，振子位移的起始位置为平衡位置，应该与运动学中物体的位移区分开．

3．x ＝0.08sin (πt ＋5

6

π) m

解析 简谐运动振动方程的一般表达式为x ＝Asin(ωt ＋Φ)．根据题给条件有A ＝0.08 m ，ω＝2πf ＝π，所以x ＝0.08sin (πt ＋Φ) m ．将t ＝0时x ＝0.04 m 代入振动方程得0.04＝0.08sin Φ，解得初相Φ＝π6或Φ＝5

6π.因为t ＝0时，速度方向沿x 轴负方向，即位移在减小，所以取

Φ＝56π，所求的振动方程为x ＝0.08sin (πt ＋5

6

π) m.

点评 对于给定的位移，可能解得两个初相值，这要根据题意做出判断，舍去不合题意的值．

4.12

π 解析 该题考查相位差的求法，由图像可知这两个振动的周期相同，均为0.4 s ，因此有确定的相位差．而相位差为初相之差．

t ＝0时，x A ＝AsinΦA ，x A ＝0，ΦA ＝0，

x B ＝AsinΦB ，x B ＝－A ，ΦB ＝－1

2π

ΦA －ΦB ＝1

2

π

点评 在给定振动图像的条件下，可由图像直接读出振幅A 及初相Φ、周期T ，从而写出位移与时间的关系式x ＝Asin

2π

T

t ＋Φ，初相即取t ＝0时，由sinΦ的取值判定的ΦA 值． 5．BC [由振动方程可知振幅分别为3 cm 和5 cm ，A 错误；频率都是50 Hz ，B 正确；相位差(π3－π

4

)恒定，故C 正确；相位差不是0，故振动步调不一致，D 错误．]

点评 要理解x ＝Asin(2πft ＋Φ)中各字母所对应的物理量及各物理量的意义．

6．AD [依题意，再经过1 s ，振动图像将延伸到正向位移最大处，这时质点的位移为正向最大，振动物体的速度为零，无方向．]

方法总结 简谐运动的图像反映了质点在不同时刻的位移情况，另外根据图像的形式还可以推断出下一时刻的运动趋势，因此解此类问题应先画出再过1 s 的振动图像．画图像时只要将振动图像随时间延伸即可，而图像形状不变，然后再根据图像寻找规律．

7．见解析

解析 (1)由图知，在计时开始的时刻振子恰好以沿x 轴正方向的速度通过平衡位置，此时弹簧振子具有最大速度，随着时间的延续，速度不断减小，而位移逐渐加大，经t ＝1 s ，其位移达到最大．

(2)由图知，在t ＝2 s 时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断变大，加速度也变大，速度不断变小，当t ＝3 s 时，位移达到负向最大值，加速度达到正向最大值，速度等于零．

方法总结 充分利用图像的直观性，把图像与振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动过程中的一个状态(位置、振动方向等)，图线上的一段对应振动的一个过程，解题关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向．

课后巩固练

1．BCD [振动图像表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A 错，C 对．由图像可以判断某时刻质点的位移和速度方向，B 、D 正确．]

2．B [振动图像表示振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹，B 对，A 、C 错．由于图像不是质点的运动轨迹，因此切线的方向并不表示速度的方向．]

3．ACD [从图像中能看出坐标原点在平衡位置，A 对．横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，小球只在x 轴上振动，所以B 错，C 对．因图像中相邻小球之间时间间隔相同，密处说明位置变化慢，D 正确．]

4．B [振动图像表达的是振子的位移随时间变化的规律，不是运动轨迹，选项A 错，B 对；振子运动到平衡位置时速度最大，由图像得出：0.5 s 时振子在平衡位置，1 s 时在负的最大位移处，1.5 s 时又回到平衡位置，2 s 时在正的最大位移处，所以在0.5 s 到1.5 s 内振子先减速运动后加速运动，C 错；在1 s 到2 s 内振子先加速运动后减速运动，D 错．]

5．C [振动质点的位移指的是质点离开平衡位置的位移．位移是矢量，有大小，也有方向．因此3 s 末的位移为－2 m ，A 项错；4 s 末位移为零，B 项错；路程是指质点运动的路径的长度，在4 s 内应该是从平衡位置到最大位置这段距离的4倍，即为8 m ，C 项正确，D 项错．]

6．D [由于规定向右为正方向，则位移向左表示位移与规定的正方向相反，这段时间应为2 s 到3 s 或3 s 到4 s ；又要求速度向右，因此速度应为正．则满足这两个条件的时间段为3 s 到4 s ，D 正确．]

7．C [图中的曲线部分是质点的位移与时间的对应关系，不是质点的运动轨迹，故A 错；质点在t 1时间内的位移，应是曲线在t 1时刻的纵坐标，故B 错，C 对；质点在t 1时刻的瞬时速率应是曲线在t 1时刻所对应的曲线的斜率，故D 错．]

8．BC [t ＝0时，速度最大，位移为零，A 错．t ＝1 s 时，位移最大，速率为零，B 对．t ＝2 s 时，质点经过平衡位置，位移为零，速度沿负方向最大，C 对．t ＝4 s 时，质点位移为零，速度最大，D 错．]

9．A [2πT ＝4π，当t ＝0时，具有负方向的最大加速度，则x ＝A ，所以初相Φ＝π

2，表

达式为x ＝8×10－

3sin ?

???4πt ＋π2 m ，A 正确．] 10．AD [由表达式

x ＝Asin π4t 知，ω＝π4，简谐运动的周期T ＝2π

ω＝8 s ．表达式对应的振动图像如图所示．

质点在1 s 末的位移x 1＝Asin(π4×1)＝2

2

A

质点在3 s 末的位移x 3＝Asin(π4×3)＝2

2A ，故A 正确．由前面计算可知t ＝1 s 和t ＝3 s

质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B 错误；由x －t 图像

可知，3 s ～4 s 内质点的位移为正值，4 s ～5 s 内质点的位移为负值，C 错误；同样由x －t 图像可知，在时间3 s ～5 s 内，质点一直向负方向运动，D 正确．]

11．AD [振子在状态a 时t ＝0，此时的位移为3 cm ，且向规定的正方向运动，故选项A 正确；振子在状态b 时t ＝0，此时的位移为2 cm ，且向规定的负方向运动，图中初始位

移不对，故选项B 错误；振子在状态c 时t ＝0，此时的位移为－2 cm ，且向规定的负方向运动，图中运动方向不对，故选项C 错误；振子在状态d 时t ＝0，此时的位移为－4 cm ，速度为零，故选项D 正确．]

12．(1)0.5 0.4 0.2 0.8

(2)x A ＝0.5sin (5πt ＋π) cm ，x B ＝0.2sin cm(2.5πt ＋π

2) cm

(3)x A ＝－24 cm ，x B ＝0.2sin 5

8

π cm 解析 (1)由图像知：A 的振幅是0.5 cm ，周期是0.4 s ；B 的振幅是0.2 cm ，周期是0.8

s.

(2)由图像知：A 中振动的质点已振动了12周期，φ＝π，由T ＝0.4 s ，得ω＝2π

T ＝5π，则

简谐运动的表达式为x A ＝0.5sin (5πt ＋π) cm.B 中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了

1

4周期，φ＝π2，由T ＝0.8 s 得ω＝2πT ＝2.5π，则简谐运动的表达式为x B ＝0.2sin (2.5πt ＋π

2

) cm.

(3)将t ＝0.05 s 分别代入两个表达式中得：x A ＝0.5sin(5π×0.05＋π)cm ＝－0.5×2

2

cm ＝－24cm ，x B ＝0.2sin(2.5π×0.05＋π2)cm ＝0.2sin 5

8

π cm. 13．A 1∶A 2＝2∶1 f 1＝f 2＝2b ΔΦ＝π 解析 它们的振幅之比A 1A 2＝4a 2a ＝21；

它们的频率相同，都是f ＝ω2π＝4πb

2π＝2b ；

它们的相位差ΔΦ＝Φ2－Φ1＝3π2－π

2

＝π，可见它们反相． 14．质点的振动图像见下图

解析 该题考查的是根据振动方程画质点的振动图像．由题意知，振幅A ＝5 cm.周期T ＝2πω＝2π

2.5π

＝0.8 s ．当t ＝0时，x ＝5 cm ，由此可作出图像，见答案中图．

习题课 对简谐运动的理解提升

基础练

1．如图1所示，下列振动系统不可看做弹簧振子的是( )

图1

A．如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统

B．如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统

C．如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系住一个小球组成的系统

D．蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统

2．质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O，质点经过a点和b点时速度相同，所花时间t ab＝0.2 s；质点由b点再次回到a点花的最短时间t ba＝0.4 s；则该质点做简谐运动的频率为()

A．1 Hz B．1.25 Hz

C．2 Hz D．2.5 Hz

3．如图2所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是()

图2

A．由P→Q，位移在增大

B．由P→Q，速度在增大

C．由M→N，位移先减小后增大

D．由M→N，位移始终减小

4．一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是()

A．振子在M、N两点受回复力相同

B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同

C．振子在M、N两点加速度大小相等

D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动

5．图3为甲、乙两单摆的振动图像，则()

图3

A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1

B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1

C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1

D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4

提升练

6．一个质点a做简谐运动的图像如图4所示，下列结论正确的是()

图4

A．质点的振幅为4 cm

B ．质点的振动频率为0.25 Hz

C ．质点在10 s 内通过的路程是20 cm

D ．质点从t ＝1.5 s 到t ＝4.5 s 的过程中经过的路程为6 cm 7．如图5甲所示是演示简谐运动图像的装置，当漏斗下面的薄木板N 被匀速地拉出时，振动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系．板上的直线OO 1代表时间轴，图乙中是两个摆中的沙在各自板上形成的曲线，若板N 1和板N 2拉动的速度v 1和v 2的关系为v 2＝2v 1，则板N 1、N 2上曲线所代表的周期T 1和T 2的关系为( )

图5

A ．T 2＝T 1

B ．T 2＝2T 1

C ．T 2＝4T 1

D ．T 2＝1

4

T 1

8．如图6所示为某一质点的振动图像，由图像可知在t 1和t 2两时刻，质点的速度v 1、v 2，加速度a 1、a 2的大小关系为( )

图6

A ．v 1

B ．v 1>v 2，方向相反

C ．a 1>a 2，方向相同

D ．a 1>a 2，方向相反

9．如图7所示是一简谐运动的振动图像，则下列说法正确的是( )

图7

A ．该简谐运动的振幅为6 cm ，周期为8 s

B ．6～8 s 时间内，振子由负向最大位移处向平衡位置运动

C ．图中的正弦曲线表示振子的运动轨迹

D ．该振动图像对应的表达式为x ＝3sin (πt

4

) cm

10．如图8所示，一升降机在箱底装有若干弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中( )

图8

A ．升降机的速度不断减小

B ．升降机的加速度不断变大

C ．升降机的加速度最大值等于重力加速度值

D ．升降机的加速度最大值大于重力加速度值

11.一个质点在平衡位置O 点的附近做简谐运动，它离开O 点后经过3 s 时间第一次经

过M 点，再经过2 s 第二次经过M 点，该质点再经过________ s 第三次经过M 点．若该质点由O 点出发在20 s 内经过的路程是20 cm ，则质点做简谐振动的振幅为________ cm.

12．跳板跳水运动员在起跳前都要随跳板上下振动几次，若想获得最好的起跳高度，你认为应在何处起跳？________(填“最高点”“最低点”或“平衡位置”)．

13. 如图9所示，将质量m A ＝100 g 的平台A 连接在劲度系数k ＝200 N/m 的弹簧上端，形成竖直方向的弹簧振子，在A 的上方放置m B ＝m A 的物块B ，使A 、B 一起上下振动．若弹簧原长为5 cm ，求：

图9

(1)当系统进行小振幅振动时，平衡位置离地面C 的高度； (2)当振幅为0.5 cm 时，B 对A 的最大压力；

(3)为使B 在振动中始终与A 接触，振幅不得超过多少？

习题课 对简谐运动的理解提升

答案

1．D [A 、B 、C 中都满足弹簧振子的条件，D 中人受空气的阻力不可忽略，且不能看做质点，故不可看做弹簧振子．]

2．B [由题意知a 、b 两点关于O 点对称，由t ab ＝0.2 s 、t ba ＝0.4 s 知，质点经过b 点后还要继续向最大位移处运动，直到最大位移处，然后再回来经b 点到a 点，则质点由b 点到最大位移处再回到b 点所用时间为0.2 s ，则质点做简谐运动的T 4＝12t ab ＋1

2(t ba －t ab )，解

得周期T ＝0.8 s ，频率f ＝1

T

＝1.25 Hz.]

3．AC [由P →Q ，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A 正确，B 错误；由M →N ，质点先向着平衡位置运动，经过平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，选项C 正确，D 错误．]

4．C [建立弹簧振子模型如图所示．

由题意知，振子第一次先后经过M 、N 两点时速度v 相同，那么，可以在振子运动路径上确定M 、N 两点的位置，M 、N 两点应关于平衡位置O 对称，且由M 运动到N 知，振子是从左侧释放开始运动的(若M 点定在O 点右侧，则振子是从右侧释放开始运动的)．因

位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同．M 、N 两点关于O 点对称，振子回复力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反．由此可知，A 、B 选项错误；振子在M 、N 两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C 选项正确；振子由M →O 速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O →N 速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D 选项错误．]

5．BD [由图像可知T 甲∶T 乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l 甲∶l 乙

＝4∶1，故B 正确；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g 甲∶g 乙＝1∶4，故D 正确．]

6．BC [简谐振动的振幅是指质点离开平衡位置的最大距离，由振动图像直接可得A ＝2 cm ，所以A 选项错误；从图中可以看出振动周期为T ＝4 s ，因此振动频率f ＝1

T ＝0.25 Hz ，

所以B 选项正确；在10 s(即2.5个周期)内质点通过的路程为2.5×4A ＝2.5×4×2 cm ＝20 cm ，所以C 选项正确；质点在t ＝1.5 s 和t ＝4.5 s 两时刻时，由正弦图像的规律可知质点均处在距离平衡位置

2

2

A ＝ 2 cm 的地方，所以质点在t ＝1.5 s 到t ＝4.5 s 的过程中经过的路程应为(4＋22) cm ，所以D 选项错误．]

7．D [在木板上由摆动着的漏斗中漏出的沙形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的规律，即沙摆的振动图像．由于拉动木板的速度不同，所以N 1、N 2上两条曲线的时间轴的(横轴)单位长度代表的时间不等．如果确定了N 1、N 2上两条曲线的时间轴的单位长度与时间的对应关系后，就可以确定各条曲线代表的沙摆完成一次全振动所需的时间，即振动周期，从而可以确定T 1、T 2的关系．

由图可见，薄板被匀速拉出的距离相同，且v 2＝2v 1，则木板N 1上时间轴单位长度代表的时间t 1是木板N 2上时间轴单位长度代表的时间t 2的两倍，即t 1＝2t 2.由图线可知，T 1＝t 1，T 2＝1

2

t 2，因而得出T 1＝4T 2.正确选项为D.]

8．AD [在t 1时刻质点向下向平衡位置运动，在t 2时刻质点向下远离平衡位置运动，所以v 1与v 2的方向相同，但由于在t 1时刻质点离开平衡位置较远，所以v 1a 2，质点的加速度方向总是指向平衡位置的，因而可知在t 1时刻加速度方向向下，在t 2时刻加速度方向向上，综上所述A 、D 选项正确．]

9．BD [据振动图像可知该简谐运动的振幅A 为3 cm ，周期T 为8 s ，A 项错；6～8 s 时间内，振子由负向最大位移处向平衡位置运动，故B 项正确；振子的运动轨迹并不是题图中的正弦曲线，可知C 项错；又由简谐运动的振动方程x ＝Asin (2π

T t ＋Φ)，其中A ＝3 cm 、

ω＝2πf ＝2πT ＝π4、Φ＝0，故该振动图像对应的表达式为x ＝3sin (πt

4) cm ，D 项正确．]

10．D [从弹簧接触地面开始分析，升降机做简谐运动(简化为如图中小球的运动)，在

升降机从A →O 过程中，速度由v 1增大到最大vm ，加速度由g 减小到零，当升降机运动到A 的对称点A ′点(OA ＝OA ′)时，速度也变为v 1(方向竖直向下)，加速度为g(方向竖直向上)，升降机从O →A ′点的运动过程中，速度由最大vm 减小到v 1，加速度由零增大到g ，从A ′点运动到最低点B 的过程中，速度由v 1减小到零，加速度由g 增大到a(a>g)，故答案为D 选项．

]

11．14或103 4或4

3

解析 根据简谐运动的周期性和对称性分析解决问题．作出该质点振动的图像如下图所

示，则M 点的位置可能有两个，即如下图所示的M 1或M 2.

(1)第一种情况

若是位置M 1，由图可知T 1

4＝3 s ＋1 s ＝4 s ，T 1＝16 s ，根据简谐运动的周期性，质点第

三次经过M 1时所需时间为一个周期减第二次经过M 点的时间，故Δt 1＝16 s －2 s ＝14 s.

质点在20 s 内(即n ＝2016＝5

4个周期内)的路程为20 cm ，故由5A 1＝20 cm ，得振幅A 1＝4

cm.

(2)第二种情况

若是位置M 2，由图可知3T 24＝3 s ＋1 s ＝4 s ，T 2＝16

3

s.

根据对称性，质点第三次经过M 2时所需时间为一个周期减第二次经过M 点的时间， 故Δt 2＝163 s －2 s ＝10

3

s.

质点在20 s 内(即n ＝20163＝15

4个周期内)的路程为20 cm.

故由15A 2＝20 cm ，得振幅A 2＝4

3

cm.

12．最低点

解析 在最低点，人和板的作用力最大，板对人做功最多，人获得的动能最大，跳的最高．

13．(1)4 cm (2)1.5 N (3)1 cm

解析 (1)将A 与B 整体作为振子，当A 、B 处于平衡位置时，根据平衡条件得 kx 0＝(m A ＋m B )g 解得弹簧形变量

x 0＝(m A ＋m B )g k ＝(0.1＋0.1)×10200 m

＝0.01 m ＝1 cm

平衡位置距地面高度

h ＝l 0－x 0＝5 cm －1 cm ＝4 cm

(2)已知A、B一起振动的振幅A＝0.5 cm，当A、B振动到最低点位置时，加速度最大，其值为

am＝kA

m A＋m B ＝

200×0.005

0.1＋0.1

m/s2＝5 m/s2

方向竖直向上．

取B物块为研究对象，B受重力m B g、A对B的支持力N，其合外力为F＝N－m B g，根据牛顿第二定律得N－m B g＝m B am

解得N＝m B g＋m B am＝m B(g＋am)

＝0.1×(10＋5) N＝1.5 N

根据牛顿第三定律，B对A的最大压力大小为

N′＝N＝1.5 N.

(3)取B为研究对象，当B振动到最高点时受重力m B g和A对B的支持力N1，其合力为B的回复力

即F回＝m B g－N1.

根据牛顿第二定律得m B g－N1＝m B a

当N1＝0时，B振动的加速度达到最大值，其最大值为am′＝g＝10 m/s2

取A与B整体为研究对象，受到的最大回复力为

F回m＝kA′＝(m A＋m B)am′

则振动系统的振幅为A′＝(m A＋m B)am′

k

＝(0.1＋0.1)×10

200m

＝0.01 m＝1 cm

当振幅A′>1 cm时，B与A将分离，为使B在振动中始终与A接触，振动系统的振幅A′≤1 cm.