2015-2016_1_概率统计 北科大

A 卷

北京科技大学2015—2016学年度第一学期 概率论与数理统计 试题答案及评分标准

一．填空题（每小题3分，共15分） 1. 设事件A 和B 中至少发生一个的概率为

56，A 和B 中有且仅有一个发生的概率为2

3

，那么A 和B 同时发生的概率为 。

2. 从1,2,3,4中任取一个数记为X ，再从1,,X

中任取一个数记为Y ，则{}2P Y == 。

3. 设A n 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的0ε>，lim A n n P p n ε→+∞

??

-≥=?

???

。 4. 设X 服从区间[]0,θ（0θ>）上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自该总体的样本，则θ的矩估

计量 θ

= 。 5.设12,,,,1,n X X X n > 是来自正态总体()2

,N μσ的样本， 111

1n i i i X X k -+==-∑σ为总体参数σ的

无偏估计量，则k = ．

填空题答案：1.

16 2.13

48 3.0 4.2X

21n -

二．选择题（每小题3分，共15分）

1．设()()()

0.6,0.8,0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是 。 （A ）事件,A B 互不相容 （B ）事件,A B 互逆 （C ）事件,A B 互相独立

（D ）A B ?

2．设,X Y 是两个随机变量，则下列命题正确的是 。

（A ）,X Y 不相关?,X Y 不相互独立 （B ）,X Y 相互独立?,X Y 不相关 （C ）,X Y 不相关?,X Y 相互独立 （D ）,X Y 相关?,X Y 相互独立

3. 设,X Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则{}max ,Z X Y =的分布函数是 。

（A ）()()(){}

max ,z X Y F z F z F z = （B ）()()()z X Y F z F z F z = （C ）()()(){}

max ,z X Y F z F z F z = （D ）()()z X F z F z =

4. 设总体()

2,X N μσ ，μ与2

σ均未知，123,,X X X 是一个样本，则非统计量的是 。

（A ）

()1231

3

X X X ++ （B ）{}123max ,,X X X （C ）{}123min ,,X X X （D ）

()1232

1

X X X μσ

+++

5. 设对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05之下接受零假设

00:H μμ=，那么在显著性水平0.01下，下列结论成立的是 。

（A ）必须接受0H （B ）可能接受也可能拒绝0H （C ）必须拒绝0H

（D ）不接受也不拒绝0H

选择题答案：1.C 2.B 3.B 4.D 5.A

三．（本题12分）在次品率为

1

6

的一批产品中，任意抽取300件产品，其中次品的数量记作X 。 （1）写出X 的分布律，数学期望EX 及方差DX ；

（2）k 取何值时，概率{}P X k =最大？

（3）利用切比雪夫不等式估计次品数在40到60 之间的概率；

（4）利用中心极限定理计算次品数在40到60 之间的概率。已知()1.550.939Φ= 1.29=。

【解】（1）{}3003003005,0300.6

k P X k k k -??==≤≤ ???（2分）X 服从二项分布1300,6B ?

? ???，

125

50,3

EX DX ==

。（2分）。 （2）令

{}{}()

()1300151P X k k P X k k =+-=≤≥=+，解得()295

6k ≤≥（1分）。因此，{}P X k =在49k ≤时单调上升，在50k ≥时单调下降，因此50k =时最大（2分）。 （3）由切比雪夫不等式有{}

2125/37

501011012

P X -≤≥-=（2分）。 （4）由中心极限定理，{

}4060P X P ≤≤=≤≤（1分）

()1.55 1.552 1.5510.878P ??

=-≤≤=Φ-=????

（2分）

。

四．（本题12分）在某次实验中需要测量某物体的质量。一组测量结果如下（单位：g ） 8.6 8.5 8.9 8.4 8.4 8.7 8.8 8.3 8.8。 均值和方差分别记作μ和2σ。

问题：（1）求均值μ的置信区间，置信度为0.95；（2）是否可以认为物体的质量是8.2g ？显著性水平0.05α=；（3）是否可以认为物体的质量8.2μ≤？显著性水平0.05α=。 已知数据：0.05 1.65z =；()0.058 1.860t =；()0.059 1.833t =；()0.0510 1.813t =；

0.025 1.96z =；()0.0258 2.306t =；()0.0259 2.262t =；()0.02510 2.228t =

0.212=。

解：构造t -统计量3

X t S μ

-=

，则()~8t t （2分）。简单计算得到8.6X =，20.045S =。（2分） （1）置信度为0.95，则()0.0258 2.306t =，置信区间为()()0.02588.437,8.7633S X t ??

±= ???

。（2分）

（2）作双边检验01:8.2,:8.2H H μμ=≠，（1分）拒绝域为()0.0258 2.3063

X t t S μ

-=

>=，（1分）本题5.66 2.306t =>，因此不接受零假设0H ，不能认为物体的质量是08.2μ=（1分）。

（3）作单边检验01:8.2,:8.2H H μμ≤>，（1分）拒绝域为()0.058 1.8603

X t t S μ

-=

>=，

（1分）本题5.66 1.860t =>，因此拒绝原假设0H ，认为物体的质量8.2μ>。（1分）

五．（本题12分）设总体X 分布在闭区间[]0,θ（θ未知）之上，总体的概率密度函数正比于随机变量的值。

（1）求总体的概率密度函数； （2）求未知参数θ的矩估计量；

（3）求未知参数θ的极大似然估计量。 【解答】

（1）由题设(),0X f x kx x θ=≤≤（2分），因此20

12k kxdx θθ==?（1分），因此2

2k θ=，概率密度函数为()22

,0X f x x x θθ

=≤≤（1分）。

（2）20

2

23EX x xdx θ

θθ=

?

=?

（2分），令X EX =（1分），解得 32

X θ=（1分）。

（3）似然函数为21

2n

n

i n

i L x θ

==

∏，{}1max i

i n

x θ≤≤≥（2分）

。可见当{}1max i

i n

x θ≤≤=时，L 取得最大值，因此极大似然估计量 {}max i

X θ=（2分）。

六．（本题12分）设随机向量(),X Y 分布在正方形[][]0,10,1?上，其概率密度函数为

()(),32f x y Ax x y =+，0,1x y ≤≤。

（1）求A 及概率{}1P X Y +≥； （2）求,X Y 的边缘分布密度函数； （3）求条件密度函数()

X Y f x y ； （4）X 与Y 是否独立？为什么？ 解答：（1）()0,1

3

1322x y Ax x y dxdy A ≤≤=

+=

??

（2分），因此23

A =。 {}()()11010,11

2

21323233x

x y x y P X Y x x y dxdy xdx x y dy -≤≤+≥+≥=

+=+????()1

2

30

47

39

x

x dx =+=

?（2分） （2）()()()1

0223231,0133

X f x x x y dy x x x =

+=+≤≤?。（2分） ()()()1022

321,0133

Y f y x x y dx y y =+=+≤≤?。（2分）

（3）()()()()()()

2

32,323,01,01113

X Y Y x x y f x y x x y f x y x y f y y y ++===≤≤≤≤++（3分）

（4）不独立，因为()()(),,X Y X Y f x y f x f y ≠（1分）。

七．（本题14分）设连续型随机变量X 的分布函数是()0

1F x A Bx ??

=+???

2222x x x <--≤≤>，问：

（1）,A B 各是多少？ （2）X 的概率密度是什么？

（3）证明：随机变量Y X =服从[]0,2上的均匀分布。 （4）设随机变量sin Z X π=，计算DZ 。

【解】（1）由于()()2020lim 1,lim 0x x F x F x →-→-+==（1分），所以2021

A B A B -=??+=?，解出得到11

,24A B ==

（1分）。

（2）在22x -<<时，()124x F x =

+，所以概率密度函数()()1

'4

f x F x ==（1分）。 在2x ≤-和2x ≥时，()()'0f x F x ==（1分）。

（3）当0y <时，()0Y F y =，因此()0Y f y =。当2y >时，()1Y F y =，因此()0Y f y =。（1分）。 当02y ≤≤时，(){

}

{}

{

}F y P Y y P X y P

y X y =

≤

=≤=-≤≤2

y

=（3分），于是，

()()1

'2

f y F y ==

（1分）。综上，随机变量Y X =服从[]0,2上的均匀分布（1分）。 （4）由于[]~2,2X U -，因此，221

sin 04

EZ x dx π-=?=?（2

分），

()22

222211sin 42DZ EZ EZ EZ z dz π-=-==?=?（2分）。

八．（本题8分）将4个红球，8个蓝球，5个绿球随机地排成一行。

（1）前五个球为蓝色的概率有多大？

（2）前5个球中没有蓝色球的概率有多大？ （3）最后三个球为三种不同颜色的概率有多大？ （4）所有红球连在一起的概率有多大？

【解】（1）4351285485171352

221C C C p C C C ==

（2）8451295485171359

442C C C p C C C ==

（3）374141144851713564

17C C C p C C C ==

（4）18514135485171351

170

C C C p C C C ==

C 卷

北京科技大学2015—2016学年度第一学期 概率论与数理统计 试题答案及评分标准

一．填空题（本题每小题3分，共15分）

1.甲乙射击一个目标，甲命中的概率是0.6，乙命中的概率是0.7，两人同时各射击一次，目标被命中的概率是 。

2.若ξ服从()0,5上的均匀分布，那么方程24420x x ξξ+++=有实根的概率是 。

3.若二维随机变量(),X Y 在以原点为圆心的单位圆内的概率密度为

1

π

，其它区域都是0，那么12P X ?

?<=???

? 。

4.设n η是n 次独立试验中事件A 出现的次数，p 为A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>，

有

lim n n P p n ηε→+∞

??

->=????

。 5.若 12,θθ都是参数θ的无偏估计量，且 () ()

12D D θθ<，这时我们通常称统计量 1θ比 2θ 。

答案：

1.0.88

2.0.6

3.2

3

4.0

5.有效

二．选择题（本题每小题3分，共15分）

1.设事件,A B ，则()P A B -= 。

（A ）()()P A P B - （B ）()()P A P AB - （C ）()()()P A P B P AB -+ （D ）()()()P A P B P AB +-

2.已知,X Y 是相互独立的随机变量，同分布于标准正态分布。有人作出如下四个论断： （1）X Y +服从正态分布，但是X Y -不服从正态分布； （2）X Y +服从标准正态分布； （3）X Y +与X Y -是不相关的； （4）X Y +与X Y -是相互独立的。

在这四个断言中，正确断言的个数是 。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

3.设12,,,n X X X 相互独立，且同分布于标准正态分布，下列随机变量中服从2χ-分布的是 。

（A ）12n X X X +++ （B ）()2

12n X X X +++

（C （D ）22212n X X X +++ 4.设12,,,n X X X 是来自某总体的一个样本，下面统计量中可以作为总体均值μ的无偏估计量的是 。

（A ）12n X X X +++ （B ）12n

X X X n

+++

（C ）

121n X X X n +++- （D ）12n

X X X n

μ+++-

5.设,X Y 是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为()(),X Y F x F y ，则()max ,Z X Y =的分布函数是 。

（A ）()()()Z X Y F z F z F z = （B ）()()()()

max ,Z X Y F z F z F z =

（C ）()()()()max ,Z X Y F z F z F z = （D ）()()()()1max ,Z X Y F z F z F z =- 答案：1.B 2.B 3.D 4.B 5.A

三、（本题10分）

若()()

22

~1,3,~2,4X N Y N -，且,X Y 相互独立，问：（1）,X Y 的相关系数是多少？（2）

aX bY +服从什么分布？其均值、方差分别是多少？这里,a b 是常数，22

0a b +≠。（3）,a b 满足什么条件

时，随机变量aX bY +与X Y +是独立的？或者说明不可能相互独立？ 【解答】（1）由于,X Y 相互独立，因此相关系数是0（2分）。

（2）aX bY +应服从正态分布（1分），其数学期望是()2E aX bY aEX bEY a b +=+=-（1分），方差是()D aX bY +()()22916D aX D bY a b =+=+（2分）。

（3）由于aX bY +与X Y +都服从正态分布，因此只需要相关系数为零就是相互独立的，这只需要它们的协方差等于零即可（2分）。由于()cov ,916aX bY X Y aDX bDY a b ++=+=+。（1分）因此，当

16

9

a b =-时，aX bY +与X Y +相互独立。（1分） 四．（本题12分）

若一正方形的边长是随机变量X ，服从区间[]0,1上的均匀分布。（1）求面积S 的分布密度；（2）计算概率111482P S S ??

<

<

。 【解答】（1）由于正方形面积为2

S X =，

当01s <≤时，分布函数(){}{

}

{

20

S F s P S s P X s P X =<=<=<==3分）

，分布密度函数()(

)'S S f s F s ==

1分）；

当0s ≤时，分布函数(){}0S F s P S s =<=，分布密度函数()()'0S S f s F s ==；（1分） 当1s >时，分布函数(){}1S F s P S s =<=，分布密度函数()()'0S S f s F s ==。（1分）

因此，S 的概率密度函数为(

) 010, 0,1S s f s s s <≤=≤>?

。（1分）

（2

）1111

1,1114828411111482828

2P S S P S P S S P S P S ????<<<<

??????

<

<<====????????<<<

（2+3

分）

五．（本题12分）

设随机变量,X Y 相互独立，且它们的概率密度函数分别为

()12, 020, 0,2X x f x x x <

y Y e y f y y -?≥=?

试求：（1）(),X Y 的联合概率密度与联合分布函数；（2）X Y +大于1的概率；（3）X Y +的数学期望与方差。

【解答】（1）概率密度函数为()1,,02,02

y

f x y e x y -=

<<>（1分），联合分布函数 ()()()()()111220002

221100011, 02,0,,1, 2,01x y x t y y

x

y

y y t y ds e dt e ds x e x y F x y f s t dsdt e x y ds e dt e ds -----∞-∞

--??-?-<<>???====???-≥>???-???

????

?

???（2+2分）。

（2）{}{}()1

1111,x y P X Y P X Y f x y dxdy +≤+>=-+≤=-

??（1分）

()1

111000111

1111222x

y x dx e dy e dx e

---=-=--=-???。（1+1分）

（3）2012x EX dx ==?，0

1y

EY ye dy +∞

-==?（1分）， ()22

2

2

41

11233

x DX EX EX dx =-=-=-=?

， ()2

220

1211y DY EY EY y e dy +∞

-=-=-=-=?

（1分）

。 ()2E X Y EX EY +=+=（1分）

；由于,X Y 相互独立，()4

3

D X Y DX DY +=+=（1分）。 六．（本题12分）

罐子中有两只白球，一只黑球，从中随机摸出一只，观察颜色后放回罐中，并同时再放入一只同一颜色的球。问：（1）第二次摸出白球的概率是多少？（2）连续摸出三个白球的概率是多少？（3）若第二次摸出白球，判断第一次更有可能摸出哪种颜色的球？（4）若首次摸出白球时的摸球次数记做X ，求X 的分布律以及数学期望。

【解答】用,i i W B 分别表示第i 次摸出白球和黑球。

（1）由全概率公式{}{}{}{}{}

21211212312234343P W P W P W W P B P W B =+=

?+?=。（1+1分） （2）由乘法公式{}{}{}{}123121312

2342

3455

P WW W P W P W W P W WW ==??=。（1+1分） （3）由贝叶斯公式{}12P W W {}{}{}{}{}{}121121121P W P W W P W P W W P B P W B =+233344

3434

?

==?+?，

{}12P B W {}{}{}{}{}{}121121121P B P W B P B P W B P W P W W =+1213423124

3434

?

==?+?，

（2+1分） 因此，第一次更有可能摸出的是白球。

（4）分布律为{}{}()()

1112124

341212k k k P X k P B B W k k k k k --===????=

++++ ，1k ≥（2分）。

()()()()11141111

1444lim 212121

222k k k k EX k k k k k k k k k +∞

+∞+∞

→+∞===????=?==-=-= ? ?+++++++????∑∑∑。（1+2分） 七．（本题12分）

设总体X 的概率密度为()1, 00, 0

x

e x

f x x θθ-?≥?=?。今从总体中抽取10个个件，得到数据如

下：1050，1100，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150。（1）试分别用矩估计法和

极大似然估计法估计参数θ的值；（2）上述你使用的估计量是否为无偏估计量？为什么？ 【解答】（1）矩估计法，首先计算总体X 的一阶矩得到0

1

x

EX x e dx θ

θθ

-

+∞

=

?=?

（1分），令样本

均值等于一阶矩，得到1210

10x x x θ+++= （1分），因此θ的矩估计量为1210?10

X X X θ

+++= 。（1分）

极大似然估计法，似然函数为()10

1

1

10

10

1

1

1

;i

i

i x x i i L x e

e

θ

θ

θθθ

=-

-

=∑=

=

?∏（1分），对数似然函数为

10

11

ln 10ln i i L x θθ==--∑，令ln 0d L d θ=（1分），解得10

1

110i i x θ==∑（1分），因此θ的极大似然估计量为1210

?10

X X X θ

+++= 。（1分）

又样本均值为1168，故此θ的矩估计值和极大似然估计值都是1168.（1分） （2）由于()121012101

?1010

X X X E E EX EX EX θθ+++??==+++=

??? ，

（2分）因此上述估计都是θ的无偏估计。（2分）

八．（本题12分）

一批元件，从中随机抽取25只，测得平均寿命为950小时。若已知该种元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布。（1）求这批元件寿命的置信区间，置信度取为0.95；（2）若产品寿命不低于1000小时为合格，为检验这批元件是否合格，需要做什么样的零假设和备择假设？检验结果如何？显著性水平为0.05。已知：0.10.050.0251.28, 1.64, 1.96z z z ===。

【解答】（1）总体服从正态分布，方差已知为2

2

100σ=，样本容量为25，置信度为0.95的置信区

间是0.025X z ??±

??

?（4分），

代入数据得到()0.025100950 1.96910.8,989.25X z ????

=±?= ? ??

???。

（2分）

（2）零假设和备择假设为：01:1000,:1000H H μμ≥<（2分）。总体服从正态分布，方差已知为

22100σ=，显著性水平为0.05，选择检验统计量Z

=

1分），其拒绝域为 1.64z z α<-≤-（1分），代入数据得到检验值为 2.5 1.64

z ==-<-（1分）

。因此拒绝零假设，认为这批元件不合格。（1分）