例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度灌水.试求水面高 y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数3 2 3 41 ++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ） 知识点四、抽象函数的定义域【拓展】 （1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围； （2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围； （3）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域. 例8.已知函数)(x f 的定义域为]9,0[，求)12(+x f 的定义域.
函数概念中对应法则
函数概念中对应法则 【知识概述】函数知识是形成函数思想、数性结合与等价变换等数学思想方法的基础。函数是高中数学最主要的概念之一，更是高中数学的主要内容，同时又是高考重点考查的对象。要切实掌握函数的有关概念，并会用定义证明函数的性质。而函数概念的掌握关键是对其中的对应法则的理解和把握。 通常教师依据课本内容，先介绍映射，然后用其来定义函数。这从表面上看似乎解决了问题，其实则不然。因为映射中的对应法则即对应关系并未被学生所掌握。或者说学生对书上的图表映射例子能接受，但不深刻，不能把其运用到抽象的函数解析式中来.这一点往往被教师忽略，在以后的学习中将会产生深远的影响。这当中有一个大的思维跨度，能否越过这个槛，将会对学生高中数学学习有着重要影响。 一般有经验的老师都通过以下的方式来理解函数中的对应关系 第一种方式，教师只停留在书本所给的几个直观例子上，或者简单的找些类似例子，特别是集合文示图的例子。虽然有的教师也枚举诸如指数、开算术根、二次函 数等例子(22 36,y x y x y ==+=如①，②③用“定义”来进行文字解说，试着让学生通过几个不同函数中的对应法则的“定义”嵌套，就能“整合”函数对应法则，从而“内消”掌握该知识点。但却因没有进一步对函数对应法则进行分析，易导致学生对该知识点的理解不够到位，或者说是笼统的，还是停留在“定义”字面上。这将会制约学生对后继课程的学习。 第二种方式，函数的对应法则被看作“加工厂”，这种观点是把函数中自变量的取值看作“原材料”，而把函数值看作“产品”。既形象又直观，类比贴切，但还不够全面。因为用这种观点不好做“原材料”是“初级产品”的题。也即是“自变量位置”不是某个单一字母（即不是“自变量”本身）的情形（其系数与指数都不是1时，或者说是某个字母的非正比例中系数是1的表达式时）。在处理迭代时学生会有较大障碍。【例如：①()()21,21f x x f t t =+=+ 是同一函数吗？②()2132,f x x +=-
单位冲激函数的妙用(图
单位冲激函数的妙用（图） 上一回说到，单位冲激函数是连续函数与离散函数之间相互转换的桥梁，因此在工程技术尤其是IT领域的信号分析中有十分重要的妙用。 比如有许多不满足绝对可积条件的信号，应用单位冲激函数就可以求出其傅立叶变换，“化验”出信号包含的频率成分。 我们已经知道单位冲激信号的频谱密度函数是常数1，则根据傅里叶变换的对称性，有常数（直流信号）f（t）＝1的傅里叶变换（频谱密度函数）为 （1）可见单位冲激函数δ（t）与常数1构成一个傅里叶变换对： （2）推而广之，再根据傅里叶变换的频移性质，可知指数函数的频谱为频域的冲激函数 （3）再根据欧拉公式，可导出正弦函数的傅里叶变换（频谱）为离散频谱： （4） （5）
一般地，对于周期函数（傅立叶级数展开式的指数形式） （6）利用冲激函数的特性也可求出其傅里叶变换为 （7）综上所述，周期函数的傅里叶变换（频谱密度函数），是位于周期函数各次谐波频率nω1处的频域冲激函数串，频率间隔是周期函数的基频ω1，冲激强度等于相应的傅立叶系数C n 的2π倍。 可见用频域的冲激函数串来表示时域周期信号的离散频谱是非常方便的。通过引入冲激函数的概念，把傅里叶变换的适用范围拓展到周期函数，则周期函数的离散频谱都可以用冲激函数串方便地表示。 例：有脉幅为E、脉宽为τ、周期为T的周期矩形脉冲信号f T（t），如下图所示： 图1 周期矩形脉冲的时域波形 求其离散频谱。我们知道通过傅立叶级数的方法，求出其傅立叶系数为
（8）其中ω1＝2π/T为基频。由式（7）可得周期矩形脉冲的频谱密度函数为 （9）其离散频谱图如下图所示： 图2 周期矩形脉冲信号的频谱的冲激函数表示 单位冲激函数还有更大的妙用，且听下回分解。 （作者：周法哲2009-7-16于广东）
函数解析式的几种表示形式及五种确定方式
函数解析式的求法 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、（2001上海）设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
二次函数解析式的几种常见形式
二次函数解析式的几种常见形式 二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0). (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 1.7定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越 小，IaI越小开口就越大。） 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) 注意事项 ?二次函数知识点总是与图形相对应，这也是函数的特点之一，我们在学习二次函数的时候，一定要注重代数与几何的双重锤炼，做到真正的数形结合，同时，也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。
函数解析式的表示形式及五种确定方式
函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]()???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81 x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出
2.函数定义的一般形式
一、无参函数的定义形式 类型标识符函数名() { 声明部分 语句 } 其中类型标识符和函数名称为函数头。类型标识符指明了本函数的类型，函数的类型实际上是函数返回值的类型。该类型标识符与前面介绍的各种说明符相同。函数名是由用户定义的标识符，函数名后有一个空括号，其中无参数，但括号不可少。 {}中的内容称为函数体。在函数体中声明部分，是对函数体内部所用到的变量的类型说明。 在很多情况下都不要求无参函数有返回值，此时函数类型符可以写为void。 我们可以改写一个函数定义： void Hello() { printf ("Hello,world \n"); } 这里，只把main改为Hello作为函数名，其余不变。Hello函数是一个无参函数，当被其它函数调用时，输出Hello world字符串。 二、有参函数定义的一般形式 类型标识符函数名(形式参数表列) { 声明部分 语句 } 有参函数比无参函数多了一个内容，即形式参数表列。在形参表中给出的参数称为形式参数，它们可以是各种类型的变量，各参数之间用逗号间隔。在进行函数调用时，主调函数将赋予这些形式参数实际的值。形参既然是变量，必须在形参表中给出形参的类型说明。 例如，定义一个函数，用于求两个数中的大数，可写为： int max(int a, int b) { if (a>b) return a; else return b; } 第一行说明max函数是一个整型函数，其返回的函数值是一个整数。形参为a,b,均为整型量。a,b的具体值是由主调函数在调用时传送过来的。在{}中的函数体内，除形参外没有使用其它变量，因此只有语句而没有声明部分。在max函数体中的return语句是把a(或b)的值作为函数的值返回给主调函数。有返回值函数中至少应有一个return语句。
数学概念的定义形式知识讲解
数学概念的定义方式 一．给概念下定义的意义和定义的结构 前面提到过，概念是反映客观事物思想，是客观事物在人的头脑中的抽象概括，是看不见摸不着的，要用词语表达出来，这就是给概念下定义。而明确概念就是要明确概念的内涵和外延。所以，概念定义就是揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。揭示概念内涵的定义叫内涵定义，揭示概念外延的定义叫做外延定义。在中学里，大多数概念的定义是内涵定义。 任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。被定义项是需要明确的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来联接被定义项和定义项的。例如，在定义“三边相等的三角形叫做等边三角形”中，“等边三角形”是被定义项，“三边相等的三角形”是定义项，“叫做”是定义联项。 二、常见定义方法。 1、原始概念。数学定义要求简明，不能含糊不清。如果定义含糊不清，也就不能明确概念，失去了定义的作用。例如，“点是没有部分的那种东西”就是含糊不清的定义。按这个要求，给某概念下定义时，定义项选用的必须是在此之前已明确定义过的概念，否则概念就会模糊不清。这样顺次上溯，终必出现不能用前面已被定义过的概念来下定义的概念，这样的概念称为原始概念。在中学数学中，对原始概念的解释并非是下定义，这是要明确的。比如：代数中的集合、元素、对应等，几何中的点、线、面等 2、属加种差定义法。这种定义法是中学数学中最常用的定义方法，该法即按公式：“邻近的属+种差=被定义概念”下定义，其中，种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间的差别，即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性。例如，平行四边形的概念邻近的属是四边形，平行四边形区别于四边形的其他种概念的属性即种差是“一组对边平行并且相等”，这样即可给平行四边形下定义为“一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形”。 利用邻近的属加种差定义方法给概念下定义，一般情况下，应找出被定义概念最邻近的属，这样可使种差简单一些。像下列两个定义： 等边的矩形叫做正方形； 等边且等角的四边形叫做正方形。 前者的种差要比后者的种差简单。 邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式： （1）发生式定义方法。它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差来下定义的。例如，“在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆”即是发生式定义。在其中，种差是描述圆的发生过程。 （2）关系定义法。它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。例如，若a b=N，则log a N=b(a＞0，a≠1)。即是一个关系定义概念。 3、揭示外延的定义方法。数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。常见的有以下种类： （1）逆式定义法。这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法．例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法． （2）约定式定义法。揭示外延的定义方法还有一种特殊形式，即外延的揭示采用约定的方法，因而也称约定式定义方法。例如，a0=1(a≠0)，0！=1，就是用约定式方法定义的概念。 三、概念的引入 （1）原始概念
3道经典例题冲激函数匹配法
经典例题1 教材第65页例题2-9的姐妹题： 设描述系统的微分方程式为)(2)()()(3)(4)(2222t e dt t de dt t e d t r dt t dr dt t r d ++=++，试求其冲激响应。 用第三版教材65页的解法，不能解答此题 解： （一）0-至0+期间系统的微分方程是： )(2)()()(3)(4)(2222t dt t d dt t d t r dt t dr dt t r d δδδ++=++ …………………（1） 根据方程两边奇异信号平衡的原则，可以假设： 22()d r t dt =)()()()(22t u d t c dt t d b dt t d a ?+++δδδ ()dr t dt =)()()(t u c t b dt t d a ?++δδ )()()(t u b t a t r ?+=δ (2) 将上述3式代入（1）式，可得32,11,3,1-==-==d c b a 系统的初始状态为零，也就是'(0)0,(0)0r r --==，所以 3)0(-=+r ，11)0('=+r （二）0+时刻以后系统处于零输入状态，系统的微分方程是： 22()()43()0d r t dr t r t dt dt ++= 设系统的齐次解（特解为零）为：3()()()t t r t Ae u t Be u t --=+ 则： 3-=+B A , 113=--B A ，从而可以知道4-=A ， 1=B )()(4)(3t u e t u e t r t t --+-= （三）在考虑2式可以知道系统的冲激响应包含奇异函数，所以系统的冲激响应为：)()()(4)(3t t u e t u e t r t t δ++-=--
二次函数的概念及一般形式习题
二次函数 知识点一 二次函数的概念 我们把形如c bx ax y ++=2 )(o a c b a ≠为常数，、、其中的函数叫做二次函数。 例，下例函数中，是二次函数的是（ ) A ，2 2x y -= B ，x x y 12- = C ，22)2(x x y --= D ，123 +-=x x y 补充：判断一个函数是否为二次函数的方法和步骤; (1)先将函数进行整理，使其右边是含有自变量的代数式，左边是因变量； (2)判断右边含自变量的代数式是否为整式； (3)判断含自变量的项的最高次数是否为2； (4)判断二次项的系数是否为零。 / 1、下列函数中，是二次函数的是（ ） A ：2 681y x =+ B ；81y x =+ C ：8y x = D ：28 1y x =-+ 2、函数2 ()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（ ） A ：m n 、为常数，且m ≠0。 B ：m n 、为常数，且m ≠n 。 C ：m n 、为常数，且n ≠0。 D ：m n 、可以为任何数。 3、函数2 221 ()m m y m m x --=+是二次函数，那么m 的值是（ ） A ：2 B ：-1或3 C ：3 D ：±1 4、下列关系中，是二次函数关系的是（ ） A ：当距离S 一定时，汽车行驶的时间t 与速度v 之间的关系。 B ：在弹性限度时，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系。 \ C ：圆的面积S 与圆的半径r 之间的关系。 D ：正方形的周长C 与边长a 之间的关系。 5、已知x 为矩形的一边长，其面积为y ，且(4),y x x =-则自变量的取值范围是（ ） A ：0x > B ：04x << C ：0≤x ≤4 D ：4x > 6、二次函数2y x = -中，a =______，b =______，c =______。 7、已知函数2 2 ()(1)1y m m x m x m =-+-++。若这个函数是二次函数，求m 的取值范围。 ?
初中函数概念大全
函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 一次函数和正比例函数 1、一次函数的概念：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像是经过点（0，b ）的直线(b 是直线与y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在y 轴上的截距)；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。 3、斜率： 1 212tan x x y y k --= =α ①直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0) ②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: 1 11 21 2)()(tan y x x x x x y y b x b kx y +---= +=+=α ③由直线在x 轴和y ④设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ l 若12//l l ，则有1212//l l k k ?=且1b ⑤点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即： 4寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 则AB 间的距离，即线段AB
二次函数的概念与一般形式
一、内容和内容解析 （一）内容 二次函数的概念，二次函数的一般形式． （二）内容解析 二次函数在一次函数基础上“次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要． 针对一系列实际问题，建立函数，引导学生观察这些函数的共同特点，类比一次函数的定义从而归纳出二次函数的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体函数的共同特点，得出二次函数的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式 也是对具体函数从自变量的“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足“二次”的要求． 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1．能够表示简单变量间的二次函数关系，体会二次函数是刻画实际问题的重要数学模型，理解二次函数的概念和二次函数的一般形式； 2．经历、探索二次函数概念的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯． （二）目标解析 1．通过建立二次函数解决相关的实际问题，让学生体会到自变量相乘导致自变量的次数升高，继而产生二次函数，感受二次函数是重要的数学模型，体会学习的必要性； 2．将不同形式的二次函数统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善二次函数的概念．学生能够判断二次函数，准确的说出二次函数的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为二次函数的条件．
三、教学问题诊断分析 实际问题中等量关系的建立，学生会遇到一些问题，需要教师借助列表、图象等辅助工具直观地帮助分析问题，或者搭建问题串帮助学生理解题意． 培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出二次函数的概念，得出一般形式． 本课的教学重点应该放在形成二次函数概念的过程上，不能草草给出二次函数的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫． 本课的教学难点是二次函数的概念． 四、教学过程设计 （一）创设情境引入新知 观察下列函数：（1）y = 2x+1；（2）；（3）． 其中一次函数有． 一次函数的定义：． 一次函数的图象是：． 请说出上面一次函数的图象所经过的象限和增减性． 师生活动：回忆函数的定义，图象和性质，并回顾一次函数的研究程序：定义图象和性质应用． 【设计意图】回忆一次函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用．同时引出新知，一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系，但是实际问题的变量之间关系都能用一次函数表示吗？
