概率论练习册答案第二章
习题2-2
1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0
1,,
0,A X A =??
?
发生不发生. 写出随机变量X 的分布律.
解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者
2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为
c
c c c 167
,
85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠ 13571,24816c c c c +++= 所以3716 c = . 所求概率为 P {X <1| X 0≠}=258167852121 }0{}1{= ++=≠-=c c c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥5 1}9 =, 求{P Y ≥1}. 解 注意p{x=k}=k k n k n C p q -,由题设5{9 P X =≥2 1}1{0}1,P X q =-==- 故2 13 q p =-=. 从而 {P Y ≥3219 1}1{0}1().327 P Y =-==-= 4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功 一次的概率为19 27 , 求每次试验成功的概率. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19,那么一次都没有成功的概率是 278. 即278)1(3 =-p , 故 p =3 1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解 由泊松分布的分布律可知6=λ. 6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律. 解 从1,2,3,4,5中随机取3个,以X 表示3个数中的最大值,X 的 可能取值是3,4,5,在5个数中取3个共有103 5=C 种取法. {X =3}表示取出的3个数以3为最大值,P{X =3}=2235C C =10 1 ; {X =4}表示取出的3个数以4为最大值,P{X =4}=10 3 3523=C C ; {X =5}表示取出的3个数以5为最大值,P{X =5}=5 3 3524=C C . X 的分布律是 1. 设 解 (1) F (x )=0, 1,0.15,10,0.35,01,1, 1. x x x x <-??- ? ??≤≤≥ (2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15; (3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为 F (x ) = A +B arctan x -∞ 试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率. 解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知 ()0112 ,.2()1 2 A B A B A B πππ? +-=???==? ?+=?? 于是 11 ()arctan ,.2F x x x π =+-∞<<+∞ (2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤ 1111 (arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242 ππππ=+?---= 3. 设随机变量X 的分布函数为 F (x )=0, 0, 01,21,1, ,x x x x <?????? ≤ ≥ 求P {X ≤-1}, P {0.3 解 P {X 1}(1)0F -=-=≤, P {0.3 P {0 5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1; 11 {1},{1}84 P X P X =-===; 在 事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与 该区间的长度成正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p . 解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时, 1 (1)8 F -= ; 当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以 11 5{11}(1)(1){1}1.848 P X F F P X -<<=---==- - = 易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为 {1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--, 取x =1得到 1=k (1+1), 所以k = 12 . 因此 {1P X -<≤|11}1 2 x X x -<<= +. 于是, 对于11x -<<, 有 {1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<< {11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155 .8216 x x ++=?= 对于x ≥1, 有() 1.F x = 从而 0,1,57(), 11,161, 1. x x F x x x <-+=-<??????≥ (2) X 取负值的概率 7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16 p P X F P X F F F F =<=-==---=-= 习题2-4 1. 选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,]. x x c f x x c ∈=???? 如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量 的概率密度函数. (A) 13. (B) 12. (C) 1. (D) 3 2 . 解 由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞ =?可得0 2d 1c x x =?, 于是1=c , 故本题应选(C ). (2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ). (A) 1. (B) 0. (C) 1 2 . (D) -1. 解 因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即 2{}1P X c <=, 从而{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ). (A) cos ,[0,],()0, x x f x π∈=???其它. (B) 1 ,2, ()20, x f x <=?????其它. (C) 22 () 2,0, ()0, 0.≥x x f x x μσ-- =? (D) e ,0,()0,0.≥x x f x x -=?? 解 由概率密度函数的性质()1f x dx +∞-∞ =? 可知本题应选(D). (4) 设随机变量2~(,4)X N μ, 2 ~(,5)Y N μ, 1 {X P P =≤4μ-}, {2P P Y =≥5μ+}, 则( ). (A) 对任意的实数12,P P μ=. (B) 对任意的实数12,P P μ<. (C) 只对实数μ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数1 2,P P μ>. 解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数μ, 有 1 2(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A). (5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ). (A) 0 ()1d ()∫a F a x f x -=- . (B) 0 1 ()d 2 ()∫a F a x f x -=- . (C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-. 解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布2 22(,)N μσ, 且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ). (A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2. 解 对μ1=μ2时, 答案是(A). (7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数 αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ). (A) 2 u α . (B) 2 1α - u . (C) 1-2 u α. (D) α-1u . 解 答案是(C). 2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使 1 {2}4 P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ? 解 因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为 1e ,0, ()0,0.≤x x F x x λ-->=?? ? 由题意可知 221 {2}(2)()(1e )(1e )e e 4 k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-. 于是 ln 2 k λ =. 3. 设随机变量X 有概率密度 34,01, ()0, x x f x <<=?? ?其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ? 解 由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是3 04d 0.5a x x =?, 因此a = . 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为 20, 0,()01,1, 1, , ≤≤x F x x x x <=>?? ??? 求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<. 解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=, 可得 2,01, ()0, 其它.x x f x <=? ? (2) 2 2 {0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=. 5. 设随机变量X 的概率密度为 f (x )= 2,01,0,x x ??? ≤≤ 其它, 求P {X ≤ 1 2 }与P {1 4X <≤2}. 解 {P X ≤1 2 20 1 1 12d 224 0}x x x ===?; 1 {4P X <≤1 2 14 1 152}2d 1164 x x x ===?. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数 , 01,(),12,0, x x f x A x x <=-? ??? ≤≤其它. 求: (1) 常数A ;(2) X 的分布函数F (x ). 解 (1) 由概率密度的性质可得 12 2 2 1 1 2 1 111d ()d [] 12 2 x x A x x x Ax x A =+-= +- =-??, 于是 2A =; (2) 由公式()()d x F x f x x -∞ =? 可得 当x <0时, ()0F x =; 当0≤x<1时, 201()d 2 x F x x x x = = ? ; 当1≤x <2时, 21 1 ()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=- -??; 当x ≥2时, ()1F x =. 所以 22 0,0, 1()221, 2. 1,02 1,12x F x x x x x x x =-≥?????-??<≤, ≤, 7. 设随机变量X 的概率密度为 1 (1),02,()4 0,x x f x ????? +<<=其它, 对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率. 解 2115 {1}(1)d 48 P X x x >=+=? . 所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为 223333535175 ()()()888256 C C += . 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程2 4420x Xx ++=有实根的概率. 解 随机变量X 的概率密度为 1 05,()50, ,x f x <=?????≤其它, 若方程有实根, 则 2 1632X -≥0, 于是2 X ≥2. 故方程有实根的概率为 P {2X ≥2}=2 1{2}P X -< 1{P X =-<< 1d 5 x =- 15=- . 9. 设随机变量)2,3(~2 N X . (1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ; (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满足{}0.9P X d >≥, 问d 至多为多少? 解 (1) 由P {a }()()22222 a X b b a ΦΦ-----<=-≤公 式, 得到 P {2 =123()2Φ--+23()2 Φ--=0.6977, }3{>X P =133 {3}1()1(0)2 P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 . (2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以 {}0.5P X c =≤ 由(0)Φ=0推得 3 0,2 c -=于是c =3. (3) {}0.9≥P X d > 即13( )0.92 d Φ--≥, 也就是 3()0.9(1.282)2 d ΦΦ-- =≥, 因分布函数是一个不减函数, 故(3) 1.282,2 d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +?-=≤. 10. 设随机变量2 ~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <. 解 因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N μ σ -=. 由条件{04}0.3 P X <<=可知 02 2 42 220.3{04}{ }()()X P X P ΦΦσ σ σ σσ ---=<<=< < =--, 于是22()10.3Φσ -=, 从而2 ()0.65Φσ=. 所以 {{ }2 020}P P X X σ σ==--<< 22 ()1()0.35ΦΦσσ -=-=. 习题2-5 1. 选择题 (1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ). (A) 11()33 F y -. (B) (31)F y +. (C) 3()1F y +. (D) 1 1 33 ()F y -. 解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). (2) 设()~01,X N ,令2Y X =--, 则~Y ( ). (A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N . 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C). 2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解 若随机变量2 ~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态 分布, 即2 ~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,μσ== 所以Z ~(5,8)N . 概率密度为 ()f z = 2 (5)16 ,x x -- -∞<<+∞. 3. 已知随机变量X 的分布律为 (1) 解 (1) (2) 4. ()X f x =1 142ln 20x x <? ???, , , 其它, 且Y =2-X , 试求Y 的概率密度. 解 先求Y 的分布函数)(y F Y : )(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y - 1{2}P X y =-<-=1-2()d y X f x x --∞ ? . 于是可得Y 的概率密度为 ()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -? <- ??? 即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-? ? =??? 5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2 Y X =的概率 密度. 解 由题意可知随机变量X 的概率密度为 ()0,. 1 ,22,4其它X f x x =?-<??? 因为对于0 (){Y F y P Y =≤2}{y P X = ≤}{y P =X (X X F F =-. 于是随机变量2Y X =的概率密度函数为 ()Y f y (X X f f =+ 0 4. y = << 即 ()04,0,.其它f y y =< 总习题二 1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别 计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率. 解 以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B . (1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=2 3358.02.0C . (2) 至多有3件次品的概率是 k k k k C -=∑53 5 8.02.0. 2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻 (1) 恰有两个设备被使用的概率是多少? (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少? (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少? (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少? 解 以X 表示同一时刻被使用的设备的个数,则X ~B (5,0.1), P {X =k }=k k k C -559.01.0,k =0,1, (5) (1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03 225=C ; (2) 所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5 =--; (3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954; (4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为 e ,0,()00, ≥,x k x f x x θθ -=???? 且已知1{1}2 P X >= , 求常数k , θ. 解 由概率密度的性质可知0 e d 1x k x θθ - +∞=? 得到k =1. 由已知条件 1 1 1 e d 2x x θ θ - +∞ = ? , 得1 ln 2 θ= . 4. 某产品的某一质量指标2 ~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最大是多少? 解 由{120P ≤X ≤}200120160 160 200160 { }X P σ σ σ ---=≤ ≤ =40 40 40 ( )(1( ))2( )1ΦΦΦσ σ σ --=-≥0.8, 得到40 ( )Φσ ≥0.9, 查表得 40 σ ≥1.29, 由此可得允许σ最大值为31.20. 5. 设随机变量X 的概率密度为 φ(x ) = A e -|x |, -∞ 试求: (1) 常数A ; (2) P {0 解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ?+∞ +∞ --∞ -∞ ==? ? 即0 2e d 1x A x +∞ -=?故2A = 1, 得到A = 12 . 所以 φ(x ) = 12 e -|x |. (2) P {0 1 1 1 1 1e e d (e )0.316.022 2 x x x ----=-= ≈? (3) 因为|| 1()e d ,2x x F x x --∞= ? 得到 当x <0时, 11()e d e ,22x x x F x x -∞==? 当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222 x x x x F x x x ---∞=+=-?? 所以X的分布函数为 1 ,0, 2 () 1 1,0. 2 x x x F x x - ? < ?? =? ?- ?? e e≥ 第一章小测试 一、选择题 1.设A 、B 、C 为三个事件,则A 、B 、C 不全发生可表示为( ) A. ABC B. ABC C. C B A D. C B A 2.设事件A 和B 互为对立事件,则下列各式不成立的是( ) A. ()0P AB = B. ()0P AB = C. ()1P A B = D.()1P B A = 3.将一枚均匀硬币抛掷3次,则至少有2次出现币值面朝上的概率是( ) A. 18 B. 38 C. 12 D. 58 4.盒内有6个产品,其中正品4个次品2个,不放回地一个一个往外取产品,则第二次才取到次品的概率与第二次取产品时取到次品的概率分别为( ) A. 41153, B. 441515, C. 1133 , D. 14315, 5.设两个事件A 和B 相互独立,且()0.5P A =,()0.4P B =, 则()P A B 的值是( ) A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 6.对于任意事件A,B,若A B ?,则下列各等式不成立的是( ) A. B B A = B. φ=B -A C. B B A = D. φ=B A 7.设A,B 为任意两个概率不为0的互斥事件,则下列结论中一定正确的是( ) A. ()()P A B P A = B. ()()()P A B P A P B -=- C. ()()()P AB P A P B = D.()()P A B P A -= 8.将一枚均匀硬币抛掷3次,则恰有一次出现币值面朝上的概率是( ) A. 38 B. 18 C. 58 D. 12 9. 已知在10只电子元件中,有2只是次品,从其中取两次,每次随机地取一只,作不放回抽取,则第二次取出的是次品的概率是( ) A. 145 B. 15 C. 1645 D. 845 10.设两个事件A 和B 相互独立,且()0.6P A =,()0.3P B =, 则()P A B 的值是( ) A. 0.3 B. 0.7 C. 0.72 D. 0.9 11.事件A 、B 、C 中恰有一个事件发生的事件是( ) A .ABC B . C AB C .C B A D .C B A C B A C B A ++ 12.设A 和B 是两个随机事件,则下列关系式中成立的是( ) 概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单,若投保人在投保一年内意外死亡,则公司赔付20万元,若投保人因其它原因死亡,则公司赔付5万元,若投保人在投保期末自下而上,则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002,因其它原因死亡的概率为0.0010,求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ,则X 是一个随机变量,取值为20万,5万,0,其相应的概率为0.0002;0.0010; 2.(1)一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5。在袋中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律 (2)将一颗骰子抛掷两次,以X 表示两次中得到的小的点数,试求X 的分布律。 解 (1)在袋中同时取3个球,最大的号码是3,4,5。每次取3个球,其总取法: 3554 1021 C ?= =?,若最大号码是3,则有取法只有取到球的编号为1,2,3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4,则号码为有1,2,4;1,3,4; 2,3,4共3种取法, 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5,则1,2,5;1,3,5;1,4,5;2,3,5;2,4,5;3,4,5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==,其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数,则随机变量X 的分布律为 (2)将一颗骰子抛掷两次,以X表示两次中得到的小的点数,则样本点为S={(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6)},共有36个基本事件, X的取值为1,2,3,4,5,6, 最小点数为1,的共有11种,即(1,1,),(1,2),(2,1)…,(1,6),(6,1),11 {1} 36 P X==; 最小点数为2的共有9种,即(2,2),(2,3),(3,2),…,(3,6),(6,3), 9 {2} 36 P X==; 最小点数为3的共有7种, 7 {3} 36 P X==; 最小点数为4的共有5种, 5 {4} 36 P X==; 最小点数为5的共有3种, 3 {5} 36 P X==; 最小点数为6的共有1种, 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品的次数, (1)求X的分布律; (2)画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只,取到次品的次数为0,1,2。在不放回的情形下, 从15只产品中每次任取一只取3次,其总的取法为:3 15151413 P=??,其概率为 若取到的次品数为0,即3次取到的都是正品,其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 第一章行列式·1.1 二阶与三阶行列式 1.(单选题) 计算?A.; B.; C.; D.. 参考答案:A 2.(单选题) 行列式?A.3; B.4; C.5; D.6. 参考答案:B 3.(单选题) 计算行列式. A.12; B.18; C.24; D.26. 参考答案:B 4.(单选题) 计算行列式?A.2; B.3; C.0; D.. 第一章行列式·1.2 全排列及其逆序数 1.(单选题) 计算行列式? A.2; B.3; C.; D.. 参考答案:C 2.(单选题) 计算行列式? A.2; B.3; C.0; D.. 参考答案:D 第一章行列式·1.3 阶行列式的定义 1.(单选题) 利用行列式定义,计算n阶行列式:=? A.; B.; C.; D.. 参考答案:C 2.(单选题) 计算行列式展开式中,的系数。A.1, 4; B.1,-4; C.-1,4; D.-1,-4. 参考答案:B 第一章行列式·1.4 行列式的性质 1.(单选题) 计算行列式=? A.-8; B.-7; C.-6; D.-5. 参考答案:B 2.(单选题) 计算行列式=? A.130 ; B.140; C.150; D.160. 参考答案:D 3.(单选题) 四阶行列式的值等于多少? A.; B.; C.; D.. 参考答案:D 4.(单选题) 行列式=? A.; B.; C.; D.. 参考答案:B 5.(单选题) 已知,则?A.6m; B.-6m; C.12m; D.-12m. 参考答案:A 一章行列式·1.5 行列式按行(列)展开 1.(单选题) 设=,则? A.15|A|; B.16|A|; C.17|A|; D.18|A|. 参考答案:D 《概率论》第二章练习答案 一、填空题: ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数,则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为: ax+b 0 4. 设为随机变量,E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度,则J[f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/:, 丨1, x :: 0 0 岂 x ::: 1,则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 :::: 6) = 0.99 8. 某型号电子管,其寿命(以小时记)为一随机变量,概率密度:(x)二 x _100 x2,某一个电子设备内配有3个这样的电子管,则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100 第二章 随机变量及其分布 1、解: 设公司赔付金额为X ,则X 的可能值为; 投保一年内因意外死亡:20万,概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡:5万,概率为0.0010 投保一年内没有死亡:0,概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律 解:X 可以取值3,4,5,分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X : 3, 4,5 P :10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样,以X 表示取出次品的只数,(1)求X 的分布律,(2)画出分布律的图形。 解:任取三只,其中新含次品个数X 可能为0,1,2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X : 0, 1, 2 P : 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验,设每次成功的概率为p ,失败的概率为q =1-p (0 第一章练习 1、当下列条件满足时,事件A 与B 互为对立。( ) (A )、Φ=AB (B )、Ω=?B A (C )、Φ=AB 且Ω=?B A (D )、A 与B 互不相容 2、每次试验的成功率为)10(< 第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系; 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质;理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质; 3、掌握几种常用的重要分布:两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布,且能熟练运用; 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品,用T 表示合格品,F 表示不合格品,则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系; (2) 若此产品的合格品率为p ,求(1)p X =? 解:(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→; (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数? (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤ ?≥??; (2) 2 1 ()1F x x = + ()x -∞<<+∞. 解:(1) 显然()F x 是单调不减函数;0()1F x ≤≤,且()0F -∞=、()1F +∞=; (0)()F x F x +=,故()F x 是某个随机变量的分布函数. (2) 由于()01F +∞=≠,故()F x 不是某个随机变量的分布函数. 3、设X 的分布函数为 (1)0 ()00 x A e x F x x -?-≥=? 求常数A 及(13)p X <≤? 解:由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =; (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤? 解:由(10)(1)F F +=得 1A =; (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ? 解:由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个,其中有10个次品,求任意取出的5个产品中次品数的分布列? 解:设X 表示5个产品中的次品数,则X 是离散型随机变量,其所有可能取值为0、1、…、 5,且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为 教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪,观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ,试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件: (1)只击中第一枪; (2)只击中一枪; (3)三枪都没击中; (4)至少击中一枪。 Solution (1)事件“只击中第一枪”,意味着第二枪不中,第三枪也不中。所以,可以表示成 1A 32A A 。 (2)事件“只击中一枪”,并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中,任意一个发生,都意味着事件“只击中一枪”发生。同时,因为上述三个事件互不相容,所以,可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . (3)事件“三枪都没击中”,就是事件“第一、二、三枪都未击中”,所以,可以表示成 123A A A . (4)事件“至少击中一枪”,就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”,所以,可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值: (1)A 与B 互斥; (2);B A ? (3)81)(=AB P . Solution 由性质(5),)(A B P =)()(AB P B P -. (1) 因为A 与B 互斥,所以φ=AB ,)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 (2) 因为;B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=- 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 两人各投中两次的概率为: P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解: 2.1掷一颗匀称的骰子两次,以X 表示前后两次出现的点数之和 ,求X 的概率分布,并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1,得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时,命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次,求下列事件的 概率: (1)两人投中的次数相同;(2) 甲比乙投中的次数多. 解:分别用A ,B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中,则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为: P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324, 两人各投中一次的概率为: 并且,P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥; =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ; 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…,试确定常数 解: k ae ae = 1 ,即 1=1。 k -0 1 - e P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为:P(A^ A2B1B2^0.0784O所以: 第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件: (1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。 4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和: C B A ++,C AB +,AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+,试问B A =是否成立?举例说明。 7. 对于事件C B A ,,,试问C B A C B A +-=--)()(是否成立?举例说明。 8. 设 31)(=A P ,21 )(=B P ,试就以下三种情况分别求)(A B P : (1)Φ=AB , (2)B A ?, (3) 81 )(=AB P . 9. 已知 41)()()(===C P B P A P ,161 )()(==BC P AC P ,0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯,假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口,试求下列事件的概率:=A “三个都是红灯”=“全红”; =B “全绿”; =C “全黄”; =D “无红”; =E “无绿”; =F “三次颜色相同”; =G “颜色全不相同”; =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任意抽取3件(分三种情况:一次拿3件;每次拿1件,取后放回拿3次;每次拿1件,取后不放回拿3次),试求: (1)(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率; (2)(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字,试求下列事件的概率: {}501与三个数字中不含=A ,{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字,计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学,计算下列事件的概率: (1)6人中至少有1人生日在10月份; 1.计算?() A. B. C. D. 答题: A. B. C. D. (已提交) 2.行列式? A.3 B.4 C.5 D.6 答题: A. B. C. D. (已提交) 3.利用行列式定义计算n阶行列式:=?( ) A. B. C. D. 答题: A. B. C. D. (已提交) 4.用行列式的定义计算行列式中展开式,的系数。A.1, 4 B.1,-4 C.-1,4 D.-1,-4 答题: A. B. C. D. (已提交) 5.计算行列式=?() A.-8 B.-7 C.-6 D.-5 答题: A. B. C. D. (已提交) 6.计算行列式=?() A.130 B.140 C.150 D.160 答题: A. B. C. D. (已提交) 7.四阶行列式的值等于() A. B. C. D. 答题: A. B. C. D. (已提交) 8.行列式=?() A. B. C. D. 答题: A. B. C. D. (已提交) 9.已知,则?A.6m B.-6m C.12m D.-12m 答题: A. B. C. D. (已提交) 10.设=,则? A.15|A| B.16|A| C.17|A| D.18|A| 答题: A. B. C. D. (已提交) 11. 设矩阵,求=? A.-1 B.0 C.1 D.2 答题: A. B. C. D. (已提交) 12. 计算行列式=? A.1500 B.0 C.—1800 D.1200 答题: A. B. C. D. (已提交) 13. 齐次线性方程组有非零解,则=?() A.-1 B.0 C.1 D.2 答题: A. B. C. D. (已提交) 14. 齐次线性方程组有非零解的条件是=?()A.1或-3 B.1或3 C.-1或3 D.-1或-3 答题: A. B. C. D. (已提交) 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验,了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件之间的关系与运算; 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义,会计算简单的古典概率和几何概率,理解概率的基本性质; 3、了解条件概率,理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式,会用它们解决较简单的问题; 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子,观察两次点数之和; (2) 连续抛掷一枚硬币,直至出现正面为止; (3) 某路口一天通过的机动车车辆数; (4) 某城市一天的用电量. 解:(1) {2,3, ,12}Ω=; (2) 记抛掷出现反面为“0”,出现正面为“1”,则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=; (3) {0,1,2, }Ω=; (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件,试表示下列事件: (1) A 、B 、C 都发生或都不发生; (2) A 、B 、C 中至少有一个发生; (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解:(1) ()()ABC ABC ; (2) A B C ; (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中,记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”,写出下列事件:(1) AB ;(2) A B ;(3) ()A B C ;(4) ABC . 解:(1) AB 为“命中5环”; (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”; (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”; (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数,求它们的和为偶数的概率? 解:记取出偶数为“0”,取出奇数为“1”,则其出现的可能性相同,于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”,则 {(0,0),(1,1)}A =,从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张,求下列事件的概率: (1) 全是黑桃;(2) 同花;(3) 没有两张同一花色;(4) 同色? 解:从52张扑克中任取4张,有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”,则A 有413 C 种取法,于是413 452 ()C p A C =; (2) 设B 为“同花”,则B 有413 4C 种取法,于是413 452 4()C p B C =; (3) 设C 为“没有两张同一花色”,则C 有4 13种取法,于是4 452 13()p C C =; (4) 设D 为“同色”,则D 有426 2C 种取法,于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中,求第一只盒子中没有硬币的概率? 解:把12枚硬币任意投入三个盒中,有12 3种等可能结果,记A 为“第一个盒中没有硬币”,则A 有12 2种结果,于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球,乙袋中有4个白球和6个黑球,从两个袋中各任取一球,求取到的两个球同色的概率? 解:从两个袋中各任取一球,有11 810C C ?种等可能取法,记A 为“取到的两个球同色”,则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法,于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率? 解:把10本书任意放在书架上,有10!种等可能放法,记A 为“指定的三本书放在一起”,则A 有3!8!?种放法,于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯,假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求5个人在不同楼层走出的概率? 1 第一章 事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间。 (1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数(设以百分制记分)。 (2)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和。 (3)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数。 (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 (5)在单位正方形内任意取一点,记录它的坐标。 (6)实测某种型号灯泡的寿命。 解 (1)}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级 人数。 (2)}18,,4,3{ =Ω。 (3)},11,10{ =Ω。 (4)=Ω{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,0111,1111},其中 0表示次品,1表示正品。 (5)=Ω{(x,y)| 0 2 (1)A 发生,B 与C 不发生。 (2)A 与B 都发生,而C 不发生。 (3)A ,B ,C 中至少有一个发生。 (4)A ,B ,C 都发生。 (5)A ,B ,C 都不发生。 (6)A ,B ,C 中不多于一个发生。 (7)A ,B ,C 至少有一个不发生。 (8)A ,B ,C 中至少有两个发生。 解 (1)C B A ,(2)C AB ,(3)C B A ++,(4)ABC ,(5)C B A , ( 6 ) C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++, (7)C B A ++, ( 8 ) BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3.指出下列命题中哪些成立,哪些不成立,并作图说明。 (1)B B A B A = (2)AB B A = (3)AB B A B =?则若, (4)若 A B B A ??则, (5)C B A C B A = (6) 若Φ =AB 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题: 1.设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?0 2x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复 的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数,则P (Y =2)= 。 ?==≤4120 21)21(xdx X P 64 9 )43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为: ax+b 0 6.若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度,则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(__1____。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ,则 P (ξ=0.8)= 0 ;)62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管,其寿命(以小时记)为一随机变量,概率密度)(x ?= ()?????≥) (0100100 2其他x x ,某一个电子设备内配有3个这样的电子管,则电子管使用150小时都不需要更换的概率为___8/27_____。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P (ξ≥150)=1-F(150)=1-??=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B (n, p )分布,已知EX =1.6,DX =1.28,则参数n =___________, P =_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ,解之得:n = 8 ,p = 0.2 10. 设随机变量x 服从参数为(2,p )的二项分布,Y 服从参数为(4,p )的二项分布,若P (X ≥1)=9 5 ,则P (Y ≥1)=_65/81______。 解: 11. 随机变量X ~N (2, σ2) ,且P (2<X <4)=0.3,则P (X <0)=__0.2___ % 2.8081 65 811614014==-=-=q p C o ) 0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??= ≥p q q X p X p X p 第一章 随机事件和概率 一、选择题 1.设A, B, C 为任意三个事件,则与A 一定互不相容的事件为 (A )C B A ?? (B )C A B A ? (C ) ABC (D ))(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ,与B B A =?不等价的是 (A )B A ? (B )A ?B (C )φ=B A (D )φ=B A 3.设A 、B 是任意两个事件,A B ?,()0P B >,则下列不等式中成立的是( ) .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4.设()01P A <<,()01P B <<,()()1P A B P A B +=,则( ) .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5.设随机事件A 与B 互不相容,且()(),P A p P B q ==,则A 与B 中恰有一个发生的概率等于( ) .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6.对于任意两事件A 与B ,()P A B -=( ) .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7.若A 、B 互斥,且()()0,0P A P B >>,则下列式子成立的是( ) .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8.设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===,则下列结论中正确的是( ) .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆 习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水,其含碳量(%)分别为 问若标准差不改变,总体平均值有无显着性变化(α=) 【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0,认为总体平均值有显着性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量(%)经测定为: 设含镍量服从正态分布,问在α=下能否接收假设:这批矿砂的含镍量为. 【解】设 0010 /20.005 0.005 : 3.25;: 3.25. 5,0.01,(1)(4) 4.6041 3.252,0.013, (3.252 3.25) 0.344, 0.013 (4). H H n t n t x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-== == - === < 所以接受H0,认为这批矿砂的含镍量为. 3. 在正常状态下,某种牌子的香烟一支平均1.1克,若从这种香烟堆中任取36支作为样本;测得样本均值为(克),样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟(支)的重量(克)近似服从正态分布(取α=). 【解】设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0,认为这堆香烟(支)的重要(克)正常. 4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时,标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池,得到它们的寿命(以小时计)为19,18,20,22,16,25,问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地 第二章 事件与概率 1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概率是多少? 解:这五个字母自左往右数,排第i 个字母的事件为A i ,则 42)(,52)(121== A A P A P ,2 1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。 利用乘法公式,所求的概率为 ()()()() 12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30 1 121314252=????= 2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。 解:有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女},B={三个孩子中至少有一男},A 的有利场合数为7,AB 的有利场合为6,依题意所求概率为P (B|A ),则 ()7 6 8/78/6)()(=== A P A B P A B P . 3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。 3、解:(1)M 件产品中有m 件废品,m M -件正品。设A={两件有一件是废品},B={两件都是废 品},显然B A ?,则 () 1122()/m M m m M P A C C C C -=+ 2 2/)(M m C C B P =, 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1 21 /)(/2 2112 2---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . (2)设A={两件中有一件不是废品},B={两件中恰有一件废品},显然A B ?,则 () ,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 2 11/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1 2/)(/2 1122 11-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . (3)P{取出的两件中至少有一件废品}=( ) ) 1() 12(/2 2 11---= +-M M m M m C C C C M m m M m . 概率论与数理统计课后习题答案 第一章总习题 1.填空题 (1)假设B A ,是两个随机事件,且B A AB ?=,则()A B =U ,()=AB ; 解:AB A B AB A B =??=即AB 与A B U 互为对立事件,又AB A B ?U 所以()(),.AB A B A B AB A B AB Ω==?== (2)假设B A ,是任意两个事件,则( )()()() ()P A B A B A B A B ??=?? . 解 : ()( )()() ()()P A ?= ? () () 0P B == . (3).已知41)()()(= ==C P B P A P , 0)(=AB P , 16 1 )()(==BC P AC P 。则事件A 、B 、C 全不发生的概率为 解:所求事件的概率即为() P ABC ,又,ABC AB ?从而()()00,P ABC P AB ≤≤=则 ()0P ABC =,所以 ()() ()1P ABC P A B C P A B C ==- ()()()()()()()313 11.488 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =---+++-=-+= 2.选择题 (1)设8.0)(=A P ,7.0)(=B P ,()8.0=B A P ,则下列结论正确的是(). (A )事件A 与事件B 相互独立;(B )事件A 与事件B 互逆; (C )A B ?;(D )()()()P A B P A P B =+. 解:因为()56.0)()(==B A P B P AB P ,而56.0)()(=B P A P ,即)()()(B P A P AB P =,所以事件A 与事件B 相互独立,选(A ).概率论第一章小测试
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