八年级上第二章特殊三角形复习讲义二
学生：科目：数学年级：八年级教师：占老师
所以∠BCA ＝∠NBC －∠NAC ＝30°－15°＝15°． 所以∠BCA ＝∠BAC ， 所以BC ＝AB ＝24（海里）（等角对等边）． 在△CDB 中，∠CDB ＝90°，∠DBC ＝30°，
所以CD ＝1
2
BC ＝12（海里）．
因为12＜，
所以该渔船继续向正北航行，有触礁危险． 知识概括、方法总结与易错点分析
评析：（1）过去我们习惯利用三角形全等来证明线段相等和角相等，通过本例可以看出，有时利用等腰三角形的性质证明则更为简便．由本例还可以看到，图形中若具有很强的“左右对称性”，可以联想构造“三线合一”．
（2）解决实际问题的关键是构造直角三角形，把角的问题转化为线段问题．
针对性练习：
例：1. 如图，在△ABC 中，∠C=25°，AD ⊥BC ，垂足为D ，且AB+BD=CD ，则∠BAC 的度数是多少度。
2、如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为多少。
3、如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为
4、下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为．
浙教版初中数学八年级上册第二章《特殊三角形》单元复习试题精选 (32)
浙教版初中数学试卷 2019-2020年八年级数学上册《特殊三角形》测试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．(2分)三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（） A．中线上B．平分线上C．高上D．中垂线上 2．(2分)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（） A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD，BD与BC 3．(2分)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（） A．43B．33C．23D．3 4．(2分)如图，跷跷板的支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB可以绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，那么横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（） A．40°B．30°C．20°D．10° 5．(2分)三角形的三边长a、b、c满足等式（22 +-=，则此三角形是（） ()2 a b c ab A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形 6．(2分)以下四组木棒中，可以做成一个直角三角形的是（） A．7 cm，12 cm,15 cm B．8cm，12cm，15cm C．12 cm，15 cm，17 cm D．8 cm，15 cm,17 cm 7．(2分)把等边三角形ABC一边AB延长一倍到D，则∠ADC是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不能确定 8．(2分)下列命题不正确的是（） A．在同一三角形中，等边对等角 B．在同一三角形中，等角对等边 C．在等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍 D．等腰三角形是等边三角形 9．(2分)连结等边三角形各边的中点所得到的三角形是（） A．等边三角形B．直角三角形C．非等边三角形D．无法确定 10．(2分)如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（） A．B．C．D． 11．(2分)如果△ABC是等腰三角形，那么∠A，∠B的度数可以是（） A．∠A=60°，∠B=50°B．∠A=70°，∠B=40° C．∠A=80°，∠B=60°D．∠A=90°，∠B=30° 12．(2分)下列说法：④如果“a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4,那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是l2、25、21,那么此三角必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a>b=c）,那么a2 :b2：c2=2：1：1．其中正确的是（） A．①②B．①③C．①④D．②④ 二、填空题 13．(2分)如图，在平面直角坐标系中，OA=10，点B的坐标为(8，0)，则点A 的坐标 为 . 14．(2分)在△ABC中,∠A=90°，∠B=60°，则∠C=_______度.
322几种特殊的三角形.docx
322 几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC屮，三角形的内心/、重心G、垂心H必然在一条直线上. 例 5 在口ABC 中，AB = AC = 3,BC = 2.求 (1)UABC的面积彳磁及AC边上的高BE； (2)DABC的内切圆的半径厂； (3)UABC的外接圆的半径 解(1)如图，作AD丄BC于D. ???AB = AC9:.D为BC的中点, ??? AD = JAB? - BD，= 2>/2, /. S ABC =丄x2x2V2 = 2V2. 2 又S ABC=丄AC ? BE,解得BE =也? 2 3 (2)如图，/为内心，贝I"到三边的距离均为厂, S QJABC = +S QJB C+S“AC 9 即2V2=-AB r + -BC r + -CA-r, 2 2 2 解得r =乜. 2 (3) -a ABC是等腰三角形， ???夕卜心O在AD上，连BO, 则RtDOBD屮，OD = AD-R, OB2 =BD2-^-OD\ :.R2 = (2>/2 —R)2 +1\ 解得R = 9A/2 图 3.2- 10 图 3.2- 11 图 3.2- 12
在直角三角形ABC中，DA为直角，垂心为直角顶点A,外心0为斜边BC的中点， 内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为h °（其中a",c分别为三角形的三边图3213 2 BQCAAB的长），为什么？ 该直角三角形的三边长满足勾股定理：AC2 + AB2= BC2. 例6 如图，在7ABC中，AB=AC , P为BC上任意一点?求证: AP2= AB2? PB2PC ? 证明：过4作AZ）A BC于D. 在RtVABD中,AD2= AB2? BD2?图 3.2-14 在RtNAPD中，AP2= AD2? DP2? \ AP2= AB—BD2 + DP2 = AB—(BD+ DP)(BD? DP). QAB= AC.AD^ BC,\ BD= DC. \ BD- DP= CD? DP= PC. \ AP2= AB2? PB2PC. 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合该点称为正三角形的中心. 例7 已知等边三角形ABC和点P,设点P到三边AB, AC, BC 三角形ABC的高为/z, “若点P在一边BC上,此时包=0,可得结论：入+饥+饨=/1T
第二章特殊三角形单元基础检测卷(含精析)
第2章 特殊三角形 基础检测卷 、选择题。（本题有 10个小题，每小题3分，共30分） 如图，三角形纸片 ABC , AB=10cm , BC=7cm , AC=6cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角 形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△AED 的周长为（ ） 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40 °则其顶角为（ 如图，在等腰直角 ABC 中，.ACB =90°, O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直 角边AC 、BC 上，且.DOE =90°, DE 交OC 于点P .则下列结论: （1） 图形中全等的三角形只有两对； （2） ABC 的面积等于四边形 CDOE 面积的2倍； （3） CD CE “ 2OA ； 2 2 （4） AD 2 BE 2 =2OP OC .其中正确的结论有（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 5. 如图，在厶 ABC 中，AB = AC , / B = 40o, D 为 BC 上一点，DE // AC 交 AB 于 E ,则/ BED 的度数为（ ） A . 140o B . 80o C . 100o D . 70o 6. 如图，在厶ABC 中，AB=AC , / ABC 、/ ACB 的平分线相交于点 D ，过点D 作直线EF // BC , 交AB 于E ,交AC 于F ，图中等腰三角形的个数共有（ B . 15 3和6,那么该三角形的周长为（ C . 10 D . 12 或 15 A . 50 ° B . 130 ° C . 50 或 130 ° D . 55。或 130 ° B.13cm A.9cm 2. A . 12 C.16cm （第4题） D.IOcm B
特殊三角形常见题型
八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3√10 B 、10√3 C 、9 D 、9√2 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2√3 C 、4 D 、 8√3 3 - 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小并求出它的最小值； % （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x 2 +4+√(8?x )2+16 的最小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 ！ 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 E B C A D P 第2题 B O A P C D 第1题 B O A C N 第3题 D E C
浙教版八年级上册数学 第二章特殊三角形测试题
八年级（上）第二章测试卷 班级_______________,姓名________________得分________________。 一、选择题（10*3=30） 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） （A）17 （B）22 （C）17或22 （D）13 2、等边三角形的对称轴有（） A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条 3、以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是（） A 1, 1 ,2 B 5, 8 10 C 6 ,7 ,8 D 3 ,4 ,5 4、已知ΔABC的三边分别是3cm, 4cm, 5cm,则ΔABC的面积是（） A 6c㎡, B 7.5c㎡ C 10c㎡ D 12c㎡ 5、三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（） A 中线上 B 角平分线上 C 高线上 D 不能确定 6、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（） A 两个锐角对应相等 B 一条边和一个锐角对应相等 C 两条直角边对应相等 D 一条直角边和一条斜边对应相等 7、等腰三角形的一个顶角为40o，则它的底角为（） （A）100o（B）40o（C）70o（D）70o或40o 8、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（） （A）∠A=30o、∠B=60o（B）∠A=50o、∠B=80o （C）AB=AC=2，BC=4 （D）AB=3、BC=7，周长为13 9、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为（）（A）等边三角形（B）等腰三角形（C）直角三角形（D）钝角三角形 10、如图∠B C A=90，C D⊥A B，则图中与∠A互余的角有（）个 A．1个B、2个C、3个D、4个 二．填空题（10*3=30） 1、一个等腰三角形底上的高、________和顶角的________互相重合。 2、在Rt△ABC中,∠C=90度,∠B=25度,则∠A=______度. 3、等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______. 4、已知等边三角形的周长为24cm，则等边三角形的边长为_______cm 5、Rt△ABC的斜边AB的长为10cm，则AB边上的中线长为________ D C B A
三角形是一种特殊的三角形
评《13.3.1等腰三角形》 9月29日七校联谊，我们听了侯老师做的示范课，使我受益匪浅。 本节课中，性质的引入体现了新课程的理念，学生合作学习，课堂上，学生充分猜想、验证，用实验方法得出各种不同的结论，借助小组合作学习的方式，使学生的思维充分展开，在课堂上通过讨论，点评了两种方法，其余给学生课后验证，拓展了课堂的空间。从“折叠等腰三角形”这个实践中，通过“小组内交流→小组间交流→小组内归纳”这个过程，总结出等腰三角形的各种性质（现象），学生学习的兴趣增强了，对知识的探究也深入了，印象也比较深刻，明显比教师讲解有更强的作用。另一方面也说明了教师有深厚的学科功底，对教材的理解非常深刻，是在“用课本教”而不是在“教课本”。 其次，本节课的容量非常大，教师对知识的使用和引申也非常熟练，在学生提出问题后能够即时实行解释。同时，对学生没想到的方法，也能实行补充。培养学生的发散性思维。 第三，老师对例题的变形处理，“特殊→一般”的数学思想，数学知识和生活实例的联系等方面的教学安排，值得借鉴。 教学方法设计为“合作探究型”，上好一节课改尝试课（可借鉴此课）。还应处理好以下几点： ⑴等腰三角形“三线合一”定理的强调，尤其是书写。因为它需要两个条件，推出两个结论，学生第一次碰到，比较困难。 ⑵增强证题前的分析，引导学生从已知条件出发，探究解题思路，此时可能有多种途径选择，最好结合所要求证的结论一起考虑，
按需择取。 ⑶增强学生的书写水平的培养。本节课学生书写板演基本没有，比较欠缺，可能学生能说不会写，或者写不好。 ⑷课后要做好总结，尤其是证线段相等或角相等的方法。明确给学生：证线段（角）相等，也可直接利用等腰三角形性质，不一定老是用全等，再去重复定理的证明过程。
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习
浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》复习 一、知识结构 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示： 二、重点回顾 1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： 有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质： 等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定： 有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定： 有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。 一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。 7．直角三角形全等的判定： 斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。 8．角平分线的性质： 在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。 三、重点解读 1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质； 2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”； 3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便； 4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5； 5．“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于 1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
浙教版八年级上册数学-第二章特殊三角形测试题
浙教版八年级上册数学-第二章特殊三角形测 试题 https://www.360docs.net/doc/d014338359.html,work Information Technology Company.2020YEAR
八年级（上）第二章测试卷 班级_______________,姓名________________得分________________。 一、选择题（10*3=30） 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） （A）17 （B）22 （C）17或22 （D）13 2、等边三角形的对称轴有（） A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条 3、以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是（） A 1, 1 ,2 B 5, 8 10 C 6 ,7 ,8 D 3 ,4 ,5 4、已知ΔABC的三边分别是3cm, 4cm, 5cm,则ΔABC的面积是（） A 6c㎡, B 7.5c㎡ C 10c㎡ D 12c㎡ 5、三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（） A 中线上 B 角平分线上 C 高线上 D 不能确定 6、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（） A 两个锐角对应相等 B 一条边和一个锐角对应相等 C 两条直角边对应相等 D 一条直角边和一条斜边对应相等 7、等腰三角形的一个顶角为40o，则它的底角为（） （A）100o（B）40o（C）70o（D）70o或40o 8、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（） （A）∠A=30o、∠B=60o（B）∠A=50o、∠B=80o （C）AB=AC=2，BC=4 （D）AB=3、BC=7，周长为13 D C B A
第二章-特殊三角形单元测试题
一、填空题（每小题3分，共30分） 1．等腰三角形一边长为1cm，另一边长为5cm，它的周长是_____cm． 2．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B=_______． 3．△ABC为等腰直角三角形，D、E、F分别为AB、BC、AC边上的 中点，则图中共有_____个等腰直角三角形． 4．现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根 长度相同的火柴棒，则斜边需要用______根． 5. 等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______. 6. 在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示 y，得y= . 7．如图，在△ABC 中，∠C=902，AD 平分∠BAC，BC=10㎝，BD=6㎝， 则D点到AB的距离为________． 8．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=700，BD=CF， 则∠EDF= 2。 二、选择题 9．下列图形中，不是轴对称图形的是（） A 线段 B 角 C 等腰三角形 D 直角三角形 10．等腰三角形的一个顶角为40o，则它的底角为（） A 100o B 40o C 70o D 70o或40o 11．下列判断正确的是（） A 顶角相等的的两个等腰三角形全等 B 腰相等的两个等腰三角形全等 C 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等 D顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等 12．已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边长都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为（） A 1cm B 2cm C 3cm D 4cm 13．如图所示，△ABC 中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（） A 55° B 60° C 65° D 70° 14．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC?与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE的度数为（）B A D C F E
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形的定义、性质及判定 |
? 等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 | 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ~ 等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.
（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； > ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释： 已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 ￥
浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》测试卷含答案
浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》测试卷 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1.下列图形中是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则这个等腰三角形的周长为（） A. 12 B. 12或15 C. 15 D. 9 3.在中，，，则BC边上的高为（） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 4.若等腰三角形一个外角等于100 ，则它的顶角度数为（） A. 20° B. 80° C. 20°或80° D. 50°或80° 5.如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D交AC于点E，那么下列结论中正确的是（） ①△BDF和△CEF都是等腰三角形②DE=BD+CE③△ADE的周长等于AB和AC的和④BF=CF A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ① 6.如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°，得到，若点在线段BC的延长线上，则的大小为（） A. 70° B. 80° C. 84° D. 86° （第5题）（第6题）（第7题）（第9题） 7.如图，正方形A，B，C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为( ) A. 4 B. 15 C. 16 D. 18 8.以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（） A. 5，12, 13 B. C. ，3，4 D. 2，3，4 9.如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是（） A. B. C. D. . 10.如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 （第10题）（第11题） 11.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（）
特殊三角形基本知识点
特殊三角形基本知识点整理
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特殊三角形的定义、性质及判定 三角形类型定义性质判定 等腰三角形有两条边相等的三角 形是等腰三角形，其 中相等的两条边分别 叫做腰，另一条边叫 做底边，两腰的夹角 叫顶角，腰和底边的 夹角为底角 1、等腰三角形是对称图形，顶 角平分线所在直线为它的 对称轴 2、等腰三角形两底角相等，即 在同一个等腰三角形中，等 边对等角 3、等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线和高线互相 重合，简称等腰三角形的三 线合一 1、（定义法）有两 条边相等的三角形 是等腰三角形 2、如果一个三角形 有两个角相等，那 么这个三角形是等 腰三角形，即，在 同一个三角形中， 等角对等边 等边三角形三条边都相等的三角 形是等边三角形，它 是特殊的等腰三角 形，也叫正三角形 1、等边三角形的内角都相等， 且为60° 2、等边三角形是轴对称图形， 且有三条对称轴 3、等边三角形每条边上的中 线，高线和所对角的角平分 线三线合一，他们所在的直 线都是等边三角形的对称 轴 1、三条边都相等 的三角形是等 边三角形 2、三个内角都等 于60°的三角 形是等边三角 形 3、有一个角是 60°的等腰三 角形是等边三 角形 直角三角形有一个角是直角的三 角形是直角三角形， 即“R t△” 1、直角三角形的两锐角互余 2、直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 3、直角三角形中30°角所对 的直角边等于斜边的一半 4、直角三角形中两条直角边 的平方和等于斜边的平方 （勾股定理） 1、有一个角是直 角的三角形是 直角三角形 2、有两个角互余 的三角形是直 角三角形 3、如果一个三角 形中两条边的 平方和等于第 三条边的平 方，那么这个 三角形是直角 三角形（勾股 定理逆定理）
几种特殊的三角形
3.2.2 几种特殊的三角形（十二讲） 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC 中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上. 例5 在ABC 中，3, 2.AB AC BC ===求 （1）ABC 的面积ABC S 及AC 边上的高BE ； （2）ABC 的内切圆的半径r ； （3）ABC 的外接圆的半径R . 解 （1）如图，作AD BC ⊥于D . ,AB AC D =∴ 为BC 的中点， 2222, 1 2222 2. 2ABC AD AB BD S ∴=-=∴=??= 又1,2ABC S AC BE = ? 解得423 BE =. （2）如图，I 为内心，则I 到三边的距离均为r ， 连,,IA IB IC ， ABC IAB IBC IAC S S S S =++ ， 即111 22222 AB r BC r CA r =?+?+?， 解得22 r = . （3）ABC 是等腰三角形， ∴外心O 在AD 上，连BO ， 则Rt OBD 中，,OD AD R =-222,OB BD OD =+ 222(22)1,R R ∴=-+解得92 .8 R = 在直角三角形ABC 中，A D为直角，垂心为直角顶点A ， 外心O 为斜边BC 的中点，内心I 在三角形的内部，且内切圆的半径为2 b c a +-（其中,,a b c 分别为 三角形的三边BC ,CA ,AB 的长），为什么？ 该直角三角形的三边长满足勾股定理：222AC AB BC +=. 图3.2-10 图3.2-13 图3.2-11 图3.2-12
例6 如图，在ABC V 中，AB =AC ，P 为BC 上任意一点.求证：22AP AB PB PC =- . 证明：过A 作AD BC ^于D . 在Rt ABD V 中，222AD AB BD =-. 在Rt APD V 中，222AP AD DP =-. 22222()().AP AB BD DP AB BD DP BD DP \=-+=-+- ,,AB AC AD BC BD DC =^\=Q . BD DP CD DP PC \-=-=. 22AP AB PB PC \=- . 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 例7 已知等边三角形 ABC 和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，三角形ABC 的高为h ， “若点P 在一边BC 上，此时30h =，可得结论：123h h h h ++=.” 请直接应用以上信息解决下列问题： 当（1）点P 在ABC V 内（如图b ），（2）点在ABC V 外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,h h h 与h 之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）. 解 （1）当点P 在ABC V 内时， 法一 如图，过P 作''B C 分别交,,AB AM AC 于',','B M C ， 由题设知'AM PD PE =+， 而'AM AM PF =-， 故PD PE PF AM ++=，即123h h h h ++=. 法二 如图，连结， ABC PAB PAC PBC S S S S =++V V V V Q ， 111 1 222 2 BC AM AB PD AC PE BC PF \ ??? ， 又AB BC AC ==， AM PD PE PF \=++，即123h h h h ++=. 图3.2-14 图3.2-15 图3.2-16 图3.2-17
浙教版八年级上第2章特殊三角形单元测试题及答案
D B A C E 80 60 D C B A D C B A E 第二章 特殊三角形单元测试 一、选择题: 1、等腰三角形的对称轴有（ ） A.1 条 B.1条或3条 C.3条 D.4条 2.下图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小琴A 角走到C 角，至少走（ ） A. 90米 B. 100米 C. 120米 D. 140米 3.使两个直角三角形全等的条件是（ ） A ．斜边相等 B ．一直角边和一条斜边对应相等 C ．一锐角对应相等 D ．两锐角对应相等 4、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为（ ） A 、等边三角形 B 、等腰三角形 C 、直角三角形 D 、钝角三角形 5、若等腰三角形的顶角为α，则它一腰上的高与底边的夹角等于（ ） A ．α-?90 B ．2 90α - ? C ．2 90α - ? D ． 2 α 6、如果等腰三角形的一个底角比顶角大15 o，那么顶角为（ ） A 、45 o B40 o C55 o D50 o 7.如图,AB=AC,∠B=50°,D 是BC 中点,则∠DAC 度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.70° 8、已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ） A 、12 B 、16 C 、20 D 、16或20 9.直角三角形两条直角边长分别是5和12,则第三边上的中线长( ) A.5 B.6 C.6.5 D.12 10. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ， 交BC 于D ，若AB=10，AC=6，则△ACD 的周长为（ ） A 、16 B 、14 C 、20 D 、18 二、填空题: 11、已知三角形三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为 . 12、等腰三角形有一个角为30°,则它的底角度数是_________. 13、如图，在△ABC 中，∠A=40o，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，
第二章特殊三角形复习教案(浙教版初中数学八年级上册)
第二章特殊三角形 [复习目标] 1、等腰三角形、等边三角形及有关概念性质。 2、等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴 3、等腰三角形的两个底角相等性质及三线合一定理和运用 4、等腰三角形的判定定理及应用 5、直角三角形的性质-----两锐角互余 6、有两个角互余的三角形是直角三角形。 7、直角三角形性质的运用 8、勾股定理及逆定理的运用 [复习重点] 1、等腰三角形的各部分名称，了解等腰三角形是轴对称图形 2、理解等腰三角形的性质 3、等腰三角形的判定方法 4、等边三角形的判定和性质 5、直角三角形的性质和判定 6、直角三角形全等的判定 [复习过程] 一、提问特殊三角形这一章的所有有关的概念、性质和判定。 二、典型例题讲解 基础题训练 1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。 2、在△ABC中，AB=AC，∠B=400，则∠A= 。 3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为。 4、下列说法正确的是（） A、等腰三角形的底角是锐角 B、等腰三角形的角平分线，中线和高线是同一条线段 C、等腰三角形有可能是一个直角三角形 D、等腰三角形的顶角有可能大于底角。 5、等边三角形两条角平分线所夹的锐角的度数是（）
A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 6、适合条件∠A= 21∠B=3 1 ∠C 的△ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 7、在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，若AC=12厘米，BC=5厘米，则CD= 厘米。 8、已知△ABC 中，∠A=Rt ∠，BC=a ，AC=b ，AB=c ， （1） 若b=6，c=8，求a （2） 若a=25，c=20，求b 。 9、 根据下列条件，分别判断以a 、b 、c 为边的三角形是不是直角三角形。 （1）a=； ，，14 3 45 == c b （2）a=b=2，c=33 10、具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1（其中∠C=∠C 1=Rt ∠）是否全等？儿歌全等，在括号里填写理由；如果不全等，在括号里打“×”。 （1）AC=A 1C 1，∠A=∠A 1； （ ） （2）AC= A 1C 1，BC=B 1C 1； （ ） （3）∠A=∠A 1，∠B=∠B 1； （ ） （4）AC=A 1C 1，∠B=∠B 1； （ ） （5）AC=A 1C 1，AB=A 1B 1， （ ） [中等题训练] 例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定 选B 解题思路点拨：题中：腰上的中线把三角形周长分为差为3cm 的两部分的差可以是腰长与底边长的差，也可以是底边长和腰长的差，所以很多同学会选择C ，这是因为没有考虑三角形必须满足“三角形两边之和大于第三边”这个条件。所以我们在解题时必须考虑全面。 例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。 解题思路点拨：解集合题时，然后题目没有给出图，我们在解题的时候就应该根据题意先画出符合条件的图形。 A B C
特殊三角形知识点及例题
特殊三角形 一、知识结构 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示： 等腰Rt 两直角三角形全等的判定 直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形 等腰三角形特殊三角形 二、重点回顾 1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： 有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 3．等边三角形的性质： 等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定： 有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：
第2章特殊三角形期末专项练习
第二章特殊三角形期末专项练习 一．选择题（共20小题） 1．下列四个汉字是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，AC＝6，则BC等于（） A．6B．6C．6D．12 3．如图，在△ABC中，点D为边AC上一点，且AB＝DB＝DC，∠C＝40°，则∠ABD的度数是（） A．20°B．40°C．60°D．80° 4．满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1；②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1；④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 5．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝α，则∠EDF等于（）
A．90°﹣αB．45°+αC．90°﹣αD．45°+α 6．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为26和10，则正方形A的边长是（） A．4B．8C．16D．36 7．如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（） A．6B．8C．10D．12 8．已知△ABC中∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，若a+b＝17cm，c＝13cm，则△ABC 的面积为（） A．15cm2B．30cm2C．45cm2D．60cm2 9．如图，在∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是点G，点P关于ON的对称点是点H，连接GH分别交OM，ON于点A，B．若GH的长是12cm，则△P AB的周长为（）
A．12B．13C．14D．15 10．下列说法正确的是（） A．在Rt△ABC中，若∠A＝90°，则三角形对应的三边满足a2+b2＝c2 B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方 C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 11．在△ABC中，有下列条件： ①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B ＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 12．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（） A．6B．7C．12D．15 13．在Rt△ABC中，有两边的长分别为1和2，则第三边的长（）
特殊三角形基本知识点整理讲解学习
特殊三角形的定义、性质及判定
等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的
一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释：Array已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点： 1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜 边上的中线。