数学苏教版必修4导学案：1.1.2 弧度制
1.1.2弧度制
1．弧度制与角度制 (1)概念：①规定周角的
1
360
为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．②长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
(2)弧度与角度的换算：①360°＝2π rad ；②1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad ；③1 rad ＝180
π
度
≈57.30°.
α＝k ·360°＋π
3
(k ∈Z )这种写法正确吗？为什么？
提示：不正确．虽然弧度制与角度制都可度量角的大小，但单位不同，所以不能混用． 2．弧长公式及弧度数与实数间的关系 (1)扇形的弧长及面积公式：
设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为圆心角的弧度数，则l ＝|α|r ，扇形的面积S 扇形＝1
2
rl
＝1
2
|α|r 2. (2)角的集合与实数集之间的关系：
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：即每一个角都对应惟一的一个实数(即这个角的弧度数)；反过来，每一个实数也都对应惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)．
预习交流2
(1)将5π
12化为角度制是__________，5 rad 是第__________象限角；
(2)将54°化为弧度制是__________；
(3)地球的赤道半径约为6 370 km ，则赤道上1度的圆心角所对的弧长是__________，1弧度的圆心角所对的弧长是__________．
提示：(1)75° 四 (2)3π10 (3)637π
18
km 6 370 km
预习交流
弧度制与角度制有何区别与联系？
提示：区别：(1)单位不同：弧度制是以“弧度”为单位，角度制是以“度”为单位；(2)进位制不同：弧度制是10进制，角度制是60进制；(3)单位“1”不同：弧度制中“1”代表长度
等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，角度制中“1”代表周角的1
360为1度的角．联系：(1)角度与弧度可以相互转化；(2)无论角度制还是弧度制，角的大小都是一个与半径无关的定值；(3)两种单位制下，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应关系.
一、角度数与弧度数的换算
将下列各角的弧度化为度，度化为弧度：
(1)92°30′；(2)－1 080°；(3)－7π
18
；(4)2.
思路分析：对于角度与弧度之间的换算问题，解题的关键是要抓住π＝180°的关系，由
比例关系得：弧度数＝度数×π180
，度数＝弧度数×????180°π. 解：(1)92°30′＝92.5°＝92.5×π180＝37π
72；
(2)－1 080°＝－1 080×π
180
＝－6π；
(3)－7π18 rad ＝－7π18×180°π
＝－70°；
(4)2 rad ＝2×180°π
＝????
360π°.
将下列各角的弧度化为度，度化为弧度：
(1)－9π4；(2)2 160°；(3)－11π5
；(4)33°45′.
解：(1)－9π4 rad ＝－9π4×180°
π
＝－405°；
(2)2 160°＝2 160×π
180
＝12π；
(3)－11π5 rad ＝－11π5×180°π
＝－396°；
(4)33°45′＝33.75°＝33.75×π180＝3π
16
.
二、用弧度制表示终边相同的角
将下列各角化成2k π＋α(k ∈Z )且0≤α＜2π的形式，并指出它们是第几象限角：
(1)－1725°；(2)64π
3
.
思路分析：先把－1 725°化成k ·360°＋α(k ∈Z )的形式，再用弧度制表示． 解：(1)∵－1 725°＝－5×360°＋75°，
∴－1 725°＝－10π＋5π
12.
∴－1 725°角与5π
12
角的终边相同．
又5π
12
角是第一象限角， ∴－1 725°角是第一象限角．
(2)∵64π3＝20π＋4π3，∴64π3角与4π
3角的终边相同．
∴64π3
角是第三象限角．
把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出它们是第几象限角：
(1)－11π
4
；(2)1 485°；(3)－4.
解：(1)－11π4＝－4π＋5π
4
，是第三象限角．
(2)1 485°＝1 485×π180＝33π4＝8π＋π
4
，是第一象限角．
(3)－4＝－2π＋(2π－4)，π
2
＜2π－4＜π，是第二象限角．
在角度制中，所有与α终边相同的角可
以写成α＋k ·360°(k ∈Z )的形式，而在弧度制中可以写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，0≤α＜2π，且α为弧度数；判断一个用弧度数表示的角所在的象限，一般是先将其化成2k π＋θ(k ∈Z,0≤θ＜2π)的形式，然后再根据θ所在的象限进行判断．
三、与弧长和扇形面积有关的问题
一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 思路分析：设扇形圆心角、半径→求圆心角→求面积→转化为二次函数 解：设扇形圆心角为θ，半径为r ， 则2r ＋θ·r ＝20.
∴θ＝20－2r r .
∴S 扇形＝12θr 2＝12·20－2r r
·r 2
＝(10－r )r
＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜20)．
∴当r ＝5时，扇形面积的最大值为25. 此时θ＝2.
圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为__________． ★答案★：2 解析：如图．
设内切圆半径为r ，则OO ′＝2r ，R ＝3r .
由弧长公式得2π＝π
3
·3r ，解得r ＝2.
弧度制下涉及扇形问题的解题思想：
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝1
2
|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆
心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
1．72°对应的弧度数为__________，4π
5
化为角度是__________．
★答案★：2π
5
144°
解析：72°＝72×π180＝2π5；4π5＝4π5×180°
π
＝144°.
2．下列各命题中，正确命题的个数是__________． ①用弧度来表示的角都是正角；
②“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
③1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的1
2π
；
④根据弧度的定义，180°一定等于π弧度；
⑤不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关． ★答案★：3
解析：①⑤不正确．②③④正确． 3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为______．
★答案★：－4π＋5π
6
解析：方法一：－570°＝－????570×π180＝－196
π， ∴－196π＝－4π＋5π6.
方法二：－570°＝－2×360°＋150°，
∴－570°＝－4π＋5π
6
.
4．如图，公路弯道处AB 的长度l (精确到1 m ，图中长度单位：m)为__________m.
★答案★：47
解析：∵60°＝π
3，
∴l ＝|α|r ＝π
3
×45＝15π≈47(m)．
5．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，写出终边相同的角的集合，并指出它们是第几象限角：
(1)－46π
3
；(2)－1 485°.
解：(1)－46π3＝－8×2π＋2π
3
，是第二象限角，
终边相同的角的集合为????
??
α|α＝2k π＋2π3，k ∈Z .
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π
4，是第四象限角，
终边相同的角的集合为????
??
α|α＝2k π＋7π4，k ∈Z .