1.1集合的概念(教师用)

集合的概念讲义

知能点全解：

知能点一：集合与元素的概念

1、定义：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。集合中每一个对象称为该集合的元素，简称元。

2、集合通常用大写的字母表示，如……；元素通常用小写的字母表

知能点二：集合中元素的特性

1、确定性：设是一个给定的集合，是某一具体的对象，则或者是的元素，或者不是的元素，二者必居其一，不能模棱两可．

例1：能够组成集合的是（ C ）

A．与2非常接近的全体实数； B．很著名的科学家的全体；

C．某教室内的全体桌子； D．与无理数相差很

2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元素只能算是一个。如方程有两个重根，其解集只能记为，而不能记为。

例 2：已知，且，求。

解：∵ ∴或 解得：或

又∵时，且 与集合中元素的互异性矛盾

知能点三：元素与集合的关系

一般地，如果是集合的元素，就说属于，记作；如果不是集合的元

知能点四：集合的分类：

1、按照集合中元素的个数是有限还是无限，集合可分为：有限集和无限集。

（1）有限集：含有有限个元素的集合；

（2）无限集：含有无限个元素的集合

（3）空集：特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作．空集是个特殊的集合，空集归

入有限集。如：。

2、按照集合中元素的形式，性质及属性，集合可分为：

（1）单元素集：只含一个元素的集合；如，。

（2）数集：有一些数字组成的集合；

（3）点集：由符合某一条件的点，组成的集合；

（4）解集：由方程或方程组，不等式或不等式组的解组成的解的集合，简称解集。

如：方程的解集是：。

知能点五：常用数集及记法

1、回顾初中关于数的关系：

2、常用数集及记法：

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。 记作：（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。 记作：或

（3）整数集：全体整数的集合。 记作：

（4）有理数集：全体有理数的集合。 记作：

（5）实数集：全体实数的集合。 记作：

例 3：用符号和填空：

1、 ， ， ， ， ， 。

2、已知集合，则 ， ， ， 。

3、设集合。若，则 ， 。

知能点六：集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

用列举法表示下列集合

1、；

2、

解：1 ∵， ∴ ∴

2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。根据确定条件描述方法的不同，可分为两种类型：

（1）公式描述法：

①格式：；②含义：它表示集合由具有性质的所有元素构成的。其中为该集合中元素的代表形式，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么样”；表明了的范围；为该集合中元素所具有的特征。

如：不等式的解集可以表示为：或。

（2）语言描述法：用文字来描述确定条件，并把它写在大括号内表示

集合的方法。

如：，等。

例 5：下面三个集合：①；②；③。

（1）它们是不是相同的集合；（2）它们各自的含义是什么。

解：（1）不是同一集合；

（2）集合①的含义由使这个等式有意义的所有实数组成的集合，∴ 实质上=；

集合②的含义是满足条件的的取值范围是，

∴；

集合③的代表元素是，其含义是由满足这个等式的所有点组成的集合。

∴

如：集合可用韦恩图表示为：

知能点拓展：

例 6：若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的。已知集合由正整数的平方组成，即，则对下列运算封闭的是：（ C ）