五年级下学期奥数班第28讲 圆的周长和面积(一)
同学们能够牺牲己的课余时间来学习知识，我为大家而骄傲！今天让我们一起来学习——
圆的周长和面积（一） 月 日 姓 名
【知识要点】 1.圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。直径是通过圆心且两个端点都在圆周上的线段。
2.圆的周长:围成圆的曲线的长叫圆的周长.C=πd=2πr
3.圆周率: 任何一个圆的周长除以它直径都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数，π=3.141592653……通常计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。
4.圆的面积:圆所占的平面的大小叫做圆的面积.S=π
2r 5.圆环的面积:环形的面积=大圆的面积-小圆的面积。 【基础闯关】 一.填空题
1.圆是平面上的（ ）线图形。（ ）决定圆的位置，用字母（ ）表示；（ ）决定圆的大小，用字母（ ）表示。
2.（ ）叫做圆的周长.
3.画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的（ ）；两端都在圆上的线段中，（ ）最长。
4．在同一个圆里，直径是半径的（ ），半径是直径的（ ）。
二.判断
1.圆的直径是半径的2倍。 （ ）
2.3.14是圆的周长和直径的比值。 （ ）
3.甲圆的半径等于乙圆的直径，甲、乙两个圆的周长的比是1比2。 （ ）
4.圆的半径扩大3倍，圆的周长也扩大3倍。 （ ）
5.直径大的圆,半径也一定大. ( )
6.任何直径都要经过圆心. ( )
7.两个半径就是一条直径. ( )
三.计算
先判断下列圆的半径，直径根据其数据，求出圆的周长与面积。
求出下面圆的周长和面积．
（1）r=5分米（2）d=8厘米
四.应用大战
1.有一个圆形鱼池的半径是10米，如果绕其周围走一圈，要走多少米？圆形鱼池的面积是多少平方米？
2．在一个长8厘米、宽4厘米的长方形纸片上剪下一个最大的半圆，剪下的半圆的周长是多少厘米？
3. 某市民广场有一个圆形喷水池,周长是75.36米,它的直径是多少米?半径是多少米?
4. 圆的周长是12.56厘米，这个圆的面积是多少平方厘米?
随堂小测
姓名成绩
一.选择题。
1.从圆心到圆上任意一点的线段叫做（）
A.直径
B.半径
C.直线
2.周长相等的长方形、正方形、圆，（）面积最大。
A.正方形
B.长方形
C.圆
3.大圆直径是小圆直径的3倍，大圆的面积是小圆面积的（）倍。
A .3 B.6 C .9 D.12
4.圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了（）平方厘米。
A.9
B.45
C.45π
三.计算:
求出下面圆的周长．
（1）ｒ＝0.4米（2）d=5.8分米
求出下面圆的面积.
（1）d=9.02厘米（2）r=5.12分米
四.应用题
1. 一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是8米，有效杀伤面积是多少平方米？
2. 一个圆的周长是7.85米．它的半径是多少米？
3.一辆自行车轮胎的外直径约是71厘米。如果平均每分钟转100周，通过一座1100米长的桥，大约需要几分钟？（保留整数）
4．下图是王师傅加工的一个圆环形薄饼.它的外圆半径是10厘米,内圆半径是6厘米,这块
薄饼的面积是多少?
五年级奥数第一讲：因数与倍数
五年级奥数 第一讲：因数与倍数 知识点拨 1、因数和倍数： 如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。 例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。 如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。 2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 例如：15的因数有哪些？ 方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止） 所以15的因数就是1, 3, 5, 15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。 3、一个数的倍数的求法： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。 例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数 如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。 4、2、 5、3的倍数的特征： ①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 ②个位上是0或5的数，是5的倍数。 ③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5、常见数字的整除判定方法： （1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数 注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质： ①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除 ②从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 ③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除 6、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数的和是偶数 性质4：奇数个奇数的和是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
奥数训练——圆的周长和面积附答案
奥数训练——圆的周长和面积附答案 ．填空题（共 11 小题） 1．边长是 10 厘米的正方形和直径是 10 厘米的半圆组成如图所示，其中 P 点是半圆的中点，点 Q 是正方形一 边的中点，则阴影部分的面积为 _______ 平方厘米．（取 π=3.14） 2．如图是一个边长为 4 厘米的正方形，则阴影部分的面积是 ____ 平方厘米． 3．如图，ABCD 是边长为 10厘米的正方形，且 AB 是半圆的直径，则阴影部分的面积是 平方厘米．（π 取 3.14 ） 4．如图是半径为 6 厘米的半圆，让这个半圆绕 A 点按顺时针方向旋转 30°，此时 B 点移动到 B ′点，则阴影 部分的面积是 平方厘米． 的面积等于 _______ 平方厘米（取 π=3）． 6．两个半径为 2 厘米的 圆如右图摆放，其中四边形 OABC 是正方形，图中阴影部分的面积是 ___ 平方厘 米． 7．如右图，正方形 DEOF 在四分之一圆中， 如果圆的半径为 1 厘米，那么， 阴影部分的面积是 平 方厘米．（π 取 3.14 ．） 8．如图， ABC 是等腰直角三角形， D 是半圆周的中点， BC 是半圆的直径．已知 AB=BC=10厘米，那么阴影部分 的面积是 平方厘米．（π 的值取 3.14 ） 9．如图，其中 AB=10厘米，C 点是半圆的中点． 那么，阴影部分的面积是 平方厘米．（π 取 3.14 ） 5．如图， ABCD 是正方形，边长是 10．如图，以直角三角形的直角边长 米． BC= ． 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7 a 厘米， 厘米，其中，圆弧 BD 的圆心
五年级奥数第1讲平均数和答案(最新整理)
第 1 讲平均数(一) 一、知识要点 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数 二、精讲精练 【例题 1】有 4 箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱 42 个，梨、橘子、桃平均每箱 36 个，苹果和桃平均每箱 37 个。一箱苹果多少个？ 练习 1： 1.一次考试，甲、乙、丙三人平均分 91 分，乙、丙、丁三人平均分 89 分，甲、丁二人平均分 95 分。问：甲、丁各得多少分？ 2.甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重 120 千克，甲、丙、丁三人 共重 126 千克，丙、丁二人的平均体重是 40 千克。求四人的平均体重是多少千克？ 3.甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树 18 棵，甲、丙两组平均每组植树 17 棵，乙、丙两组平均每组植树 19 棵。三个小组各植树多少棵？
【例题 2】一次数学测验，全班平均分是 91.2 分，已知女生有 21 人，平均每人 92 分；男生平均每人 90.5 分。求这个班男生有多少人？ 练习 2： 1.两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳 152 下。甲组有 6 人，平均每人跳 140 下，乙组平均每人跳 160 下。乙组有多少人？ 2.有两块棉田，平均每亩产量是 92.5 千克，已知一块地是 5 亩，平均每亩产量是101.5 千克；另一块田平均每亩产量是 85 千克。这块田是多少亩？ 3.把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖 7 元，已知甲级糖有 4 千克，平均每千 克 8 元；乙级糖有 2 千克，平均每千克多少元？ 【例题 3】某 3 个数的平均数是 2.如果把其中一个数改为 4，平均数就变成了 3。被改的数原来是多少？
(完整)小学六年级奥数圆的周长和面积
附加专题2：圆的周长和面积 一、填空： １、圆是平面上的一种（）图形，围成圆的（）的长叫做圆的周长。在大大小小的圆中，它们的周长总是各自圆直径的（）倍多一些，我们把这个固定的数叫做（），用字母（）表示，它是一个（）小数，在计算时，一般只取它的近似值（）。 2、一个圆的直径扩大5倍，它的半径扩大（）倍，它的周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。 3、画一个周长12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离是（）厘米。 4、在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是（）厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是（）厘米，周长是（），面积是（）。 5、（）叫做圆的面积。把圆沿着它的半径r分成若干等份，剪开后可以拼成一个近似的（），这个图形的长相当于圆周长的（），用字母表示是（）；宽相当于圆的（），用字母表示是（）。所以圆的面积S＝( )×( ) ＝( )。 二、判断： 1、圆的周长是这个圆的直径的3.14倍。（） 2、小圆的圆周率比大圆的圆周率小。（） 3、把一张圆形纸片对折若干次，所有折痕相交于圆心。（） 4、圆的半径扩大3倍，它的直径就扩大6倍。（） 5、半圆的周长等于圆周长的一半。（） 6、经过一点可以画无数个圆。（） 一、填空 1、圆周率表示一个圆的（）和（）的倍数关系。π约等于（）。 2、在一个圆中，圆的周长是直径的（）倍，是半径的（）倍。 4、要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两角之间的距离是（）厘米。 6、在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长是6.28厘米，这正方形的面积是 （）平方厘米。剩下的面积是（）平方厘米。 7、大圆半径是3分米，小圆半径是2分米，小圆面积是大圆面积的（）。 8、有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆的（），大圆面积是小圆的（）。 9、用一根长12.56厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是（）平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是（）平方厘米。 二、判断题（对的打√，错的打×） 1,所有的直径都相等,所有的半径都相等. （） 2,两端在圆上的线段,直径最长. （） 3,经过圆心的线段就是直径. （） 4,小圆的圆周率比大圆的圆周率小. （） 5、圆的周长是6.28分米，那么半圆的周长是3.14分米。（） 三、选择题。将正确答案的序号填在括号里。 （1）周长相等的图形中，面积最大的是（）。 ①圆②正方形③长方形 （2）圆周率表示（） ①圆的周长②圆的面积与直径的倍数关系③圆的周长与直径的倍数关系 （3）圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大（）。 ① 3倍② 6倍③ 9倍
小学奥数圆的周长与面积
小学奥数圆的周长与面积 It was last revised on January 2, 2021
第11讲圆的周长与面积（一） 例1：右图中大圆的周长与大圆中四个小圆周长的和相比，谁大？ 思路分析：设大圆的直径为D，四个小圆的直径为d1，d2，d3，d4，则有D= d1＋d2＋d3＋d4。大圆的周长=πD，四个小圆周长的和 =πd1＋πd2＋πd3＋πd4=π（d1＋d2＋d3＋d4），显然两周长相等。 解：两圆周长相等。 例2：求右图中阴影部分的周长。 思路分析：阴影部分周长包括三个部分：半圆的直径（扇形的 一条半径）；二是半圆的弧长；三是圆心角为30°的扇形的弧长。 解：半圆的弧长：×30÷2=（厘米） 扇形的弧长：2××30÷12=（厘米） 阴影部分周长：＋＋30=（厘米） 例3：如右图，已知正方形的面积是60平方厘米，求圆的面积。 思路分析：圆的面积公式是S=πr2，但这里不能求出半径。我们可以将r2看作一个整体，就可以求出圆的面积。 解：×（60÷4）=（平方厘米） 例4：右图中，三个圆的面积都是200平方分米，求阴影部分面积。 思路分析：首先三个圆的半径相等，而阴影部分拼起来正好是 一个半圆。（三角形内角和为180°） 解：200÷2=100（平方分米） 例5：下图中，圆的半径为6厘米，求阴影部分面积。
思路分析：将左图沿水平直径折叠，使阴影部分拼合成两个三角形，如图 （a ）。再将图（a ）带阴影的三角形绕长方形AB 边中点O 逆时针方向旋转90°，于是两个带阴影的三角形就拼合成了一个正方形，如图（b ）。 解：S=6×6=36（平方厘米） 例6：求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 思路分析：连结点A 与圆心O 。阴影部分的面积可用扇形 ABO 的面积减去△ABO 的面积求得。阴影部分的面积还可以 用半圆的面积先减去扇形AOC 的面积，再减去△ABO 的面积 求得。 解法一：12÷2=6（厘米） ×62×（180－30×2）÷360－6×÷2 =（平方厘米） 解法二：×62÷2－×62×60÷360－6×÷2=（平方厘米） 例7：如图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点。已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少（π取） 思路分析：过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以O 为AB 中点。 有2ABCD DPC 101S 1010100S 12.522 ππ=?==??=半圆，（）. 作业： 1．图中的等边三角形边长10厘米，求阴影部分周长。 2．右图中有A 、B 、C 三个圆，已知C 圆的半径是1厘米， 求 A 、B 两个圆的周长相差几厘米？
第一讲(五年级奥数)
第一讲 初等数论1－最小公倍数和最大公约数 〖知识点〗 1、整数a 能被整数b(b ≠0)整除，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数，记作: b/a 。 2、几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，公约数的个数是有限的，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 若,1a 2a ,…n a 这几个数的最大公约数是d ，可记作：（1a ,2a ,…n a ）=d 3、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，公倍数的个数是无限的，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 若,1a 2a ,…n a 这几个数的最小公倍数是m ，可记作：[1a ,2a ,…n a ]=m 4、性质： ①（a,b)=d,c/d, 则c/a,c/b; ②（a,b)=d,则（d a ,d b )=1; ③若（a,b)=d,[a,b]=m,则dm=ab,且d/m; ④[,1a 2a ,…n a ]=m,而1a /N,2a /N,…,n a /N,那么m/N; ⑤若b/a,则(a,b)=b,[a,b]=a ⑥若a 与b 互质，则（a,b)=1，[a,b]=ab 5、求最大公约数与最小公倍数的常见方法：列举法，短除法，分解质因数法，辗转相除法 〖典型例题〗 例1. 用短除法求42,168,252的最大公约数和最小公倍数。 例2.用分解质因数法求2520,14850,819的最大公约数和最小公倍数。 〖辗转相除法〗 定理：对于正整数a,b,成立带余除法式：a=mb+r, 0≤r 例4. 如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道的一侧等距离装路灯，要求A、B、C处各装一盏路灯，这条街道最少要装多少盏灯？ 1625米 A B 1170米 C 例5.有两个100以内的两位数，这两个两位数的最大公约数是16，这两个数分别是多少？ 例6.三个连续自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和是多少？ 例7.甲每13天去公园一次，乙每15天去公园一次，今年甲在3月30日曾去公园，乙在4月1日曾去公园，他们可能在这公园第一次相遇的日期将是几月几日？ 例8.培训学校给优秀学生发放奖品，奖品共有本297个，笔383枝。将这些奖品等分给若干个优秀学生，最后多出3个本和5枝笔。已知每个学生得到的本和笔的总数不超过20，那么优秀学生有几个？ 第1讲 周期问题 一、知识要点 周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。 二、精讲精练 【例题1】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？ 练习1： 1、有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？ 2、在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这些同学中共有多少个女生？ 【例题2】下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？ 练习2： 1、下面是一个8位数，每3个相邻数字之和都是14，你知道“？”表示的数字是几吗？ 2、下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是15，你知道“？”表示的数字是几吗？这个11位数是多少？ 8 ？ 6 3 ？ 7 8 ？ 3 【例题3】2012年6月1日是星期五，那么，9月1日是星期几？ 练习3： 1、2015年1月1日是星期四，2015年的六月一日是星期几？ 2、如果今天是星期五，再过80天是星期几？ 【例题4】将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？ A B C D E 1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 ………… ………… 小数的巧算 小数“巧”算的基本途径还是灵活应用小数四则运算的法则、运算定律，使题目中的数尽可能转化为整数。在某种意义上讲，“化整”是小数运算技巧的灵魂。 当然，根据小数的特点，在乘除运算中灵活运用小数点的移位：两数相乘，两数中的小数点反向移动相同的位数，其积不变（如0.8×1.25=8×0.125）；两数相除，两数中的小数点同向移动相同的位数，其商不变（如0.16÷0.04=16÷4），也是常见的简化运算方法。 另外，某些特殊小数相乘化整，应熟记于心，如上面的8×0.125=1；0.5×2=0.25×4=1；0.75×4=3；0.625×16=10等等。同学们在平时做题时留心积累这些“窍门”会大大提高自己的运算能力。 一、例题讲解 小数点的移位法则 例1：计算2005×18-200.5×80+20050×0.1 例2：计算75×4.7+15.9×25 练习 （1）计算1.25×3.14+125×0.0257+1250×0.00229 （2）计算22.8×98+45.6 除法变小数为整数 例3：计算0.27÷0.25 练习 1、0.360.16÷ 2、450 1.258÷÷ 3、0.720.125÷ 换成相同的乘数 例4：999.90.280.666680?+? 例5：计算999.9×0.28－0.6666×370 练习 1、999.90.27 6.66630.5?-? 2、5.211111666660.8?+? 3、3.631.443.9 6.4?+? 找相同的乘数 例5：计算7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816 练习 1、3.73 2.638.37 3.73 3.73?+?- 添括号或去括号凑整数 例6：320÷1.25÷8 例7: 18÷（31.25×0.9）+99.36 练习： 1、220÷0.25÷4 2、520÷12.5÷8 3、8÷（21.25÷1.25） 4、40×（31.25×0.75） 整体表示小数的和或者差 14、(20.450.56)(0.450.560.84)(20.450.560.84)(0.450.56)++?++-+++?+ 15、(5 2.12 4.53)(2.12 4.53 6.8)(2.12 4.53)(5 2.12 4.53 6.8)++?++-++++ 16、1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.67.78.89.911.1113.1315.1517.1719.19+++++++++++++ 17、2012201.220.12 2.012+++ 18、41.27.111 1.2553.7 2.9?+?+? 第一讲勾股定理 模块1、常见勾股数及辅助线 例1．（1）如图，下列未知边的长度分别是、、。 （2）如图，下列图形的面积分别是、、。 解：（1）应用勾股定理： 第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5； 第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5，所以另一条直角边的长为12； 第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。 （2）第1个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6， 所以三角形的面积是 1 86242 ??=； 第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2，另一条直角边长为0.5， 所以三角形的面积是 1 1.20.50.32 ??=； 第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S 1=1.5， 斜边长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6， 面积S 2= 1 2.567.52 ??=， 于是面积等于S 1+S 2=9. 例2．（1）如左图，梯形的周长为，面积为；如右图，梯形的周长为，面积为； （2）下图的梯形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直，已知AD =3，AC =9，BD =12，则BC 的长度为。 ? 5 8 1.2 22 22 解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另一条直角边长为16， 于是周长=20+10+16+22=68，面积= 1 16(1022)2562 ??+=； 第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为0.5，0.9， 于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=1 1.2(0.62) 1.562 ??+=。 （2）如图平移AC 到DE ，连结CE ，CE =AD =3，DE =AC =9， 在直角三角形BDE 中，BD =12，DE =9，所以斜边BE =15， 解得BC =BE ?CE =15?3=12。 模块2、勾股定理及其重要模型 例3．（1）以直角三角形ABC 的三边向外做三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积为。 （2）下面的图形是以直角三角形ABC 的三边为直径向外做半圆得到，半圆内的数表示所在半圆的面积，求未知半圆的面积为。 解：（1）AB 2=3，BC 2=14，所以AC 2=3+14=17； （2）最小的半圆面积等于 2πr 12=7，第二个半圆面积等于2 π r 22=15， 圆的周长和面积（1） 一．填空题（共11小题） 1．（2011?温江区）边长是10厘米的正方形和直径是10厘米的半圆组成如图所示，其中P点是半圆的中点，点Q 是正方形一边的中点，则阴影部分的面积为_________平方厘米．（取π=3.14） 第1题第2题第3题第4题2．（2013?广州模拟）如图是一个边长为4厘米的正方形，则阴影部分的面积是_________平方厘米． 3．如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14） 4．如图是半径为6厘米的半圆，让这个半圆绕A点按顺时针方向旋转30°，此时B点移动到B′点，则阴影部分的面积是_________平方厘米． 第5题第6题第7题第8题 5．如图，ABCD是正方形，边长是a厘米，BE=厘米，其中，圆弧BD的圆心是C点．那么，图中阴影部分的面积等于________平方厘米（取π=3）． 6．两个半径为2厘米的圆如右图摆放，其中四边形OABC是正方形，图中阴影部分的面积是___平方厘米． 7．如右图，正方形DEOF在四分之一圆中，如果圆的半径为1厘米，那么，阴影部分的面积是_________平方厘米．（π取3.14．） 8．如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知AB=BC=10厘米，那么阴影部分的面积是_________平方厘米．（π的值取3.14） 9．如图，其中AB=10厘米，C点是半圆的中点．那么，阴影部分的面积是_________平方厘米．（π取3.14）10．如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的面积小16平方厘米．BC= _________． 第9题第10题第11题 11．如图，阴影部分的面积是_________平方厘米． 二．解答题（共7小题） 12．（2012?中山模拟）如图是一个圆心为O，半径是10厘米的圆．以C为圆心，CA为半径画一圆弧，求阴影部分的面积． 奥数训练——圆的周长和面积附答案 一．填空题（共11小题） 1．边长是10厘米的正方形和直径是10厘米的半圆组成如图所示，其中P点是半圆的中点，点Q是正方形一边的中点，则阴影部分的面积为_________ 平方厘米．（取π=3.14） 第1题第2题第3题第4题 2．如图是一个边长为4厘米的正方形，则阴影部分的面积是_________ 平方厘米． 3．如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是______ 平方厘米．（π取3.14） 4．如图是半径为6厘米的半圆，让这个半圆绕A点按顺时针方向旋转30°，此时B点移动到B′点，则阴影部分的面积是_________ 平方厘米． 第5题第6题第7题第8题 5．如图，ABCD是正方形，边长是a厘米，BE=厘米，其中，圆弧BD的圆心是C点．那么，图中阴影部分的面积等于________ 平方厘米（取π=3）． 6．两个半径为2厘米的圆如右图摆放，其中四边形OABC是正方形，图中阴影部分的面积是___ 平方厘米． 7．如右图，正方形DEOF在四分之一圆中，如果圆的半径为1厘米，那么，阴影部分的面积是_________ 平方厘米．（π 取3.14．） 8．如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知AB=BC=10厘米，那么阴影部分的面积是_________ 平方厘米．（π的值取3.14） 9．如图，其中AB=10厘米，C点是半圆的中点．那么，阴影部分的面积是_________ 平方厘米．（π取3.14） 10．如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的面积小16平方厘米．BC= _________ ． 3 13 2 第一讲 勾股定理 模块 1、常见勾股数及辅助线 例 1．（1）如图，下列未知边的长度分别是 、 、 。 ? 5 4 ? ? 25 24 （2）如图，下列图形的面积分别是 、 、 。 10 1.3 6.5 8 1.2 1.5 2 解：（1）应用勾股定理： 第 1 个直角三角形中两条直角边分别是 3 和 4，所以斜边长为 5； 第 2 个直角三角形中斜边长为 13，一条直角边长为 5，所以另一条直角边的长为 12； 第 3 个直角三角形中，斜边长为 25，一条直角边长为 24，所以另一条直角边的长为 7。 （2）第 1 个直角三角形的斜边长为 10，一条直角边长为 8，另一条直角边长为 6， 1 所以三角形的面积是 ? 8 ? 6 = 24 ； 2 第 2 个直角三角形的斜边长为 1.3，一条直角边长为 1.2，另一条直角边长为 0.5， 1 所以三角形的面积是 ?1.2 ? 0.5 = 0.3 ； 2 第 3 的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为 2 和 1.5，它的面积是 S 1=1.5， 斜边长为 2.5，大直角三角形的斜边是 6.5，一条直角边长为 2.5，所以另一条直角边长为 6， 面积 S 2= 1 ? 2.5 ? 6 = 7.5 ， 于是面积等于 S 1+S 2=9. 例 2．（1）如左图，梯形的周长为 ，面积为 ；如右图，梯形的周长为 ，面积 为 ； 10 0.6 10 0.6 20 1.3 1.2 1.5 16 20 1.3 1.2 1.5 22 22 12 0.5 0.6 0.9 圆的周长和面积 姓名： 知识要点 π是一个无限不循环小数： π＝3.14159265358979323846… 圆的周长：C ＝2πr 或C ＝πd 圆的面积：S ＝π r 2＝π (2 d )2 ＝π(2C π )2＝ 24C π 扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。如果扇形的圆心角是n ，那么当圆周长C ＝2πr 时，扇形的弧长计算方法： L ＝ 360n ×2πr ＝180n ×πr S 扇形＝360 n ×πr 2例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)如图，ABCD 是边长为10厘米的正方形，且AB 是半圆的直径，则阴影部分的面积是 平方厘米。(π取3.14) 解 答：阴影部分的面积是73.875平方厘米。 例2 将半径分别是4厘米和3厘米的两个半圆，如图放置。求阴 影部分的周长。 解 (1)两个半圆的弧长是： (2)两条线段的长： (3)阴影部分的周长为： 答：阴影部分的周长是( )厘米。 例3 直径均为1分米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起， 如下图。试求金属带的长度和阴影部分的面积。 解 答：阴影部分的周长是( )分米。阴影部分的面积是( )平 r s 方分米。 例4 如图，圆的周长是12.56厘米，圆的面积是长方形面积的25 ， 求阴影部分的周长。 解 半圆的弧长： 长方形的面积： 长方形的长： 阴影部分的周长： 答：阴影部分的周长为（ ）厘米。 竞赛能级训练 A 级 1.(第十一届“华罗庚金杯”邀请赛试题)如下左图，圆O 中直径AB 与CD 互相垂直，AB ＝10厘米，CA ＝50厘米。以C 为圆心，CA 为半 径画弧A AEB 。求月牙ADBEA(阴影部分) 的面积。2.(第五届“希望杯”邀请赛试题)如上右图，大圆直径上的黑点是 五等分点，则A 、B 、C 三部分的面积比为 。 3.如下左图所示，正方形的边长为10厘米，在正方形中画了两个四 分之一圆，试求图中阴影面积。 4.如上右图，三角形ABC 是直角三角形，阴影工的面积比阴影Ⅱ的面积小23平方厘米。问BC 的长度是多少厘米？( 取3) 五年级奥数第32讲算式迷 一、专题简析： 算式谜一般是指一些含有未知数或缺少运算符号的算式。解决这类问题,可以根据四则运算的规定,四则运算算式中的数量关系以及数的组成,逐步确定算式中的未知数和运算符号。 解答算式谜的关键是找准突破口,推理时应注意： 1、认真分析算式中所包含的数量关系,找出尽可能多的隐蔽条件,选择有特征的部分作出局部判断； 2、采用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合题意的数字； 3、算式谜解出后,务必要验算一遍。 二、精讲精练 例题1 有一个六位数,它的个位数字是6,如果将6移至第一位前面,所得的新六位数是原数的4倍。求原六位数。 练习一 1、已知六位数1ABCDE,这个六位数的3倍正好是ABCDE1,求这个六位数。 2、下面式子中每个汉字代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字,请说出各个汉字分别代表什么数字。 2华罗庚金杯×3=华罗庚金杯2 例题 2 下面竖式中每个小方格都代表一个数字,请把这个算式写完整。 2 8 5 ×□□ 1 □ 2 □ □□□ □ 9 □□ 练习二 1、把下面的算式写完整。 □□□ × 8 9 □□□□ □□□ □□□□ 2、在算式的（）里填上合适的数字。 （） 2 （）（） ×（） 6 （）（） 0 4 （）（） 7 （） （）（）（）（）（） 例题3下图的五个方格中已经填入84和72两个两位数,请你在其余的三格中也分别填入一个两位数,使得横行的三个数与竖行的三个数之和相等,并且这五个两位数正好由0～9十个数字组成。 练习三 1、把0～9这十个数字填到圆圈内,每个数字只能用一次,使三个算式 成立。 ○＋○=○○－○=○○×○=○○ 2、将1～9九个数字填入下列九个○中,使等式成立。 ○○○×○○=○○×○○=5568 例题4 把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字填入下面的小方格中,使三个等式都成立。 □＋□=□ □－□=□ □×□=□□ 练习四 1、将1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、9九个不同的数字分别填在○中,使下面的三个算式成立。 圆的周长与面积1、圆周率的概念 2、同圆或等圆中圆的半径与直径的关系 3、圆的周长、半圆的周长 4、圆的面积、半圆面积 5、扇形的面积 6、圆环的面积 7、正方形的面积 8、等腰直角三角形的面积 9、勾股定理 10、n边形内角和 例1：计算阴影部分的周长。 练一练：计算阴影部分的周长。（单位：厘米） 例2：现有两根圆木，横截面直径都是2分米，如果把它们用铁丝捆在一起，两端各捆一圈（接头不计），那么应准备多长的铁丝？ 练一练：求右图阴影部分的周长（每个圆的半径都是2厘米）。 例3：求右图外圆的周长。（单位：分米） 练一练：求右图阴影部分的周长。 例4：如右图，已知正方形面积是60平方厘米，求圆的面积。 练一练：已知右图中阴影部分的面积是300平方厘米，求圆的面积。 例5：已知右图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。 练一练：右图中平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。 例6：有一个半圆形零件，周长是20.56厘米，求这个半圆形零件的面积。 练一练：如右图，一个扇形的圆心角是90°，它的周长是14.28厘米，求它的面积。 例7：图中ABCD是边长为4米的正方形，分别以AB、BC、CD、AD为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。 练一练：图中三角形ABC是边长为6厘米的正三角形，求阴影部分的面积。 例8：计算阴影部分的面积。 练一练：计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 例9：求出右图中正方形面积与圆的面积比。 练一练：右图圆的面积是942平方分米，那么正方形的面积是多少？如果正方形的面积是360平方厘米，那么圆的面积是多少？ 教师寄语：【“勤”是先苦後甘，“ 懒”是先甘後苦，後果完全相反，你选择哪个】 天才=99％的汗水＋1％的灵感 第1讲消去问题（一） 一、考点热点回顾 在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”。 二、典型例题 在学习例题前，我们先进行一些基本数量关系的练习，为用消去法解题作好准备。 (1)买1个皮球和1个足球共用去40元，买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元 (2)3袋大米和3袋面粉共重225千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克 （3）6行桃树和6行梨树一共120棵，照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵 （4）学校买了4个水瓶和25个茶杯，一共用去172元，每个水瓶18元，每个茶杯多少元 例1.学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118元。水瓶和茶杯的单价各是多少元 例2.买3个篮球和5个足球共、用去480元，买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。篮球和足球的单价各是多少元 三、课堂练习 １、 1袋黄豆和1袋绿豆共重50千克，同样的7袋黄豆和7袋绿豆共重（）千克。 ２、买5条毛巾和5条枕巾共用去90元，买1条毛巾和1条枕巾要（）元。 ３、买4本字典和4本笔记本共、用去了68元，买同样的9本字典和9本笔记本一共要（）元。４、9筐苹果和9筐梨共重495千克，找这样计算，2筐苹果和2筐梨共重（）千克。 ５、妈妈买了５米画布和３米白布，一共用去１０２元。花布每米１５元，白布每米多少元 ６、果园里有１４行桃树和２０行梨树，桃树和梨树一共有４４０棵。每行梨树１５棵，每行桃树多少棵 第11讲圆的周长与面积（一） 例1：右图中大圆的周长与大圆中四个小圆周长的和相比，谁大？ 思路分析：设大圆的直径为D，四个小圆的直径为d1，d2，d3， d4，则有D= d1＋d2＋d3＋d4。大圆的周长=πD，四个小圆周长的和 =πd1＋πd2＋πd3＋πd4=π（d1＋d2＋d3＋d4），显然两周长相等。 解：两圆周长相等。 例2：求右图中阴影部分的周长。 思路分析：阴影部分周长包括三个部分：半圆的直径（扇形的 一条半径）；二是半圆的弧长；三是圆心角为30°的扇形的弧长。 解：半圆的弧长：3.14×30÷2=47.1（厘米） 扇形的弧长：2×3.14×30÷12=15.7（厘米） 阴影部分周长：47.1＋15.7＋30=92.8（厘米） 例3：如右图，已知正方形的面积是60平方厘米，求圆的面积。 思路分析：圆的面积公式是S=πr2，但这里不能求出半径。我们 可以将r2看作一个整体，就可以求出圆的面积。 解：3.14×（60÷4）=47.1（平方厘米） 例4：右图中，三个圆的面积都是200平方分米，求阴影部分面积。 思路分析：首先三个圆的半径相等，而阴影部分拼起来正好是 一个半圆。（三角形内角和为180°） 解：200÷2=100（平方分米） 例5：下图中，圆的半径为6厘米，求阴影部分面积。 思路分析：将左图沿水平直径折叠，使阴影部分拼合成两个三角形，如图（a）。再将图（a）带阴影的三角形绕长方形AB边中点O逆时针方向旋转90°，于是两个带阴影的三角形就拼合成了一个正方形，如图（b）。 解：S=6×6=36（平方厘米） 例6：求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 思路分析：连结点A与圆心O。阴影部分的面积可用扇形 ABO的面积减去△ABO的面积求得。阴影部分的面积还可以 用半圆的面积先减去扇形AOC的面积，再减去△ABO的面积 求得。 解法一：12÷2=6（厘米） 3.14×62×（180－30×2）÷360－6×5.2÷2 =22.08（平方厘米） 解法二：3.14×62÷2－3.14×62×60÷360－6×5.2÷2=22.08（平方厘米） 例7：如图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点。已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）思路分析：过P做AD平行线，交AB于O点，P为半圆周的中点，所以O为AB中点。 第二十二周作图法解题 专题简析： 用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。 在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。 例题1 五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五（1）班原有男、女生各多少人？ 分析根据题意作出示意图： 从图中可以看出，由于女生比男生多抽去26－18=8名去合唱队，所以，剩下的男生人数是女生人数的3倍，而这8名同学正好相当于剩下女生人数的2倍，剩下的女生人数有8÷2=4名，原来女生人数是26＋4=30名。 练习一 1，两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？ 2，甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？ 3，哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。哥哥原来存有多少钱？ 例题2 同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。红花比紫花多几朵？ 分析通过线段图来观察： 从图中可以看出：红花比紫花多的朵数由两部分组成，一部分是36朵，另一部分是12朵，所以，红花比紫花多36＋12=48朵。 练习二 1，奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。奶奶家养的鸡比鹅多几只？ 2，批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。运来的香蕉比苹果少多少筐？ 3，期末测试中，明明的语文得了90分。数学比语文和作文的总分少70分。明明的数学比作文高多少分？ 小学六年级数学（圆的周长和面积） 1、把4个啤酒瓶扎在一起（如图所示），捆4圈至少用绳子多少厘米？ 2、计算下图中阴影部分的周长。（单位：厘米） 3、一个街心花园如下图的形状，中间正文形的边长是20米，四周为半圆形，这个街心花园的周长是多少米？ 4、如下图，从点A到点B沿着大圆周走和沿着中、小圆周走的路程相同吗？ 5、下图中，从A点到B点沿着大圆周走和沿着小圆周走，路程相同吗？ 6、已知AB=50厘米，求图中各圆的周长总和。 7、将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如下图形状放置，求阴影部分的周长。 8、一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的直径是多少厘米？ 9、以B与C为圆心的两个半圆的直径都是4分米，求阴影部分的周长。 10、下图中圆的面积等于长方形的面积，已知圆的周长是36厘米，那么图中的阴影部分的周长是多少厘米？ 11、求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 12、下图小半圆的半径为4厘米，求阴影部分面积。 13、下图中三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积是多少？ 14、一个大圆内有三个大小不等的小圆（如图），这些小圆的圆心在大圆的同一直径上，连同大圆在内每相邻的两个圆相切，已知大圆的周长是20厘米，求这三个小圆的周长之和是多少？ 15、求下图中外围的周长。（单位：厘米） 16、正方形ABCD的边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，求阴影部分的周长。 17、下图中，直径为3厘米的半圆绕A逆时针旋转600，使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长。 18、根据右下图中条件，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 19、右下图中阴影部分的面积是40平方厘米，那么环形的面积是多少平方厘米？ 20、如下图，三个圆的周长都是25.12厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 21、下图正方形的边长是4厘米，求中间阴影部分的面积。 第一讲定义新运算 一、a、b是自然数，规定a※b=(a+b)÷2,求：3※（4※6）的值。 二、对于任意两个自然数a、b，定义一种新运算“*”：a*b=ab+a÷b， 求75*5=？，12*4=？ 三、定义运算符“◎”：a◎b=3a+4b-5，求6◎9=？9◎6=？ 四、定义两种运算“○＋”和“○×”，对于任意两个整数a、b规定：a○＋b=a+b-1，a○×b=a×b-1，那么8○× [（6○＋10）○＋（5○×3）]等于多少？ 五、定义运算“○＋”=（a+b）÷3，那么（3○＋6）○＋12与3○＋（6○＋ 12）哪一个大？大的比小的大多少？ 六、a、b是自然数，规定a⊙b= ab-a-b-10，求8⊙8=？ 七、如果1*2=1+2，2*3=2+3+4，3*4=3+4+5+6，……，请按照此规则 计算3*7=？ 八、规定运算a@b=（a+b）÷2，且3@（x@2）=2，求x=？ 九、规定a△b=ab+2a， a▽b=2b-a，求（8△3）▽（9△5）的值。 第二讲定义新运算作业 十、定义新运算“*”：a*b=3a+4b-2，求（1）10*11；（2）11*10。 十一、定义新运算“△”：a△b= a÷b×3，求（1）24△6；（2）36△9。 十二、规定a○＋b，表示自然数a到b的各个数之和，例如：3 ○＋10=3+4+5+6+7+8+9+10=52，求1○＋200的值。 十三、定义新运算“○×”，a○×b=10a+20b，求（3○×7）+（4○×8）。 十四、定义新运算“△”：a△b=6a+3b+7，那么5△6和6△5哪个大？大的比小的大多少？ 十五、规定a*b=（a+b）÷2，求[（1*9）*9]*3的值。五年级奥数第1讲 周期问题
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